Определение моделей состояния пространства с отдельными описаниями технологического и измерительного шума

Общая структура модели

Идентифицированная линейная модель используется для моделирования и прогнозирования выходов системы для заданных входных и шумовых сигналов. Входные сигналы измеряются, в то время как шумовые сигналы известны только посредством их статистического среднего значения и дисперсии. Общая форма государственно-пространственной модели, часто связанная с кальмановской фильтрацией, является примером такой модели, и определяется как:

\begin{matrix} x (t+1) =A (θ) x (t) +B (θ) u \\ (t) +w (t) y (t) =C (θ) x (t) \end{matrix}

+D (θ) u (t) +v (t),

(1)

где, в момент времени t:

x (t) - вектор состояний модели.
u (t) - измеренные входные данные.
y (t) - измеренные выходные данные.
w (t) - технологический шум.
v (t) - шум измерения.

Шумовые возмущения являются независимыми случайными переменными с нулевым средним значением и ковариациями:

$\begin{matrix} E [w (t^{)} w⊺ (t_{)}] = \\ R1 (start) E [^{v} (t)_{v⊺} (t \\ )] = {R2}^{} (start) E_{[w} (t \end{matrix}$ ) v⊺ (t)] = R12 (start)

Вектор startпараметризирует модель, включая коэффициенты системных матриц и ковариации шума. Однако все элементы модели не обязательно свободны. Если у вас есть физическое понимание состояний системы и источников шума, модель может иметь специфическую структуру с небольшим количеством параметров в векторе start.

Инновации формируют и одношаговый предиктор

Для заданного значения, равного, нужно предсказать наилучшие оценки x (t) и y (t) при наличии каких-либо возмущений. Требуемые уравнения модели предиктора получены из методики фильтрации Калмана:

\begin{matrix} \overset{}{x}^(t + 1, λ) = A (start) x (t) + B (start) u (t) \overset{+}{} K (start) [y (t) - \\ C \overset{(}{} start) x^(t, \overset{start}{}) - D (start) u ( \end{matrix}

t)] y ^ (t,

(2)

где $\overset{}{x}^(t,$ start) - предсказанное значение вектора состояния x (t) в момент времени t, $\overset{}{} а y^$ (t, start) - предсказанное значение выходного значения y (t). Переменные u (t) и y (t) в вышеприведенном уравнении представляют измеренные входные и выходные значения в момент времени t. Матрица Калмана усиления, K (

$K (θ) = [(θ) Γ^{} (θ) C_{⊺} (θ) {+R12 (θ)]^{[} C {(θ)}_{} Γ}^{(θ)} C$ ⊺ (θ) +R2 (θ)] −1,

где $Γ (λ$ ) - ковариация ошибки оценки состояния:

$Γ (start) \overset{=}{} E [[x \overset{}{} (t) - {x^(t \overset{}{,} start)] [x}^{} (t$ ) − x ^ (t, start)] ⊺].

$Γ (λ$ ) - решение алгебраического уравнения Риккати. Дополнительные сведения см. в разделеdare(Панель инструментов системы управления) и [1]

Обозначая ошибку выходного предсказания как $e (t) = y \overset{t}{(}) - y$ ^ (t, start), можно записать общую модель состояния-пространства в более простой форме:

\begin{matrix} x (t + 1, λ) = A (start) x (t) + B (start) \\ u (t) + K (start) e (t) y (t) = C \end{matrix}

(start) x (t) + D (start) u (t) + e (t).

(3)

Это более простое представление является инновационной формой модели состояния-пространства и имеет только один уникальный источник возмущения, e (t). Эта форма соответствует выбору _R2 = I_, R12 = K _и ^R1 = KKT для общей структуры модели. Программное обеспечение System Identification Toolbox™ использует инновационную форму в качестве основного представления государственно-космических моделей.

Как общая, так и инновационная форма модели приводят к одной и той же модели предиктора, как показано в уравнении 2. Используйте predict команду для вычисления прогнозируемого отклика модели и для генерации этой системы предиктора.

Идентификация модели

Задача идентификации состоит в том, чтобы использовать входные и выходные данные измерений для определения вектора параметризации Используемый подход зависит от объема имеющейся предварительной информации о системе и шумовых возмущениях.

Идентификация черного ящика

Когда доступны только измерения данных ввода-вывода, и вы не знаете структуру шума, вы можете оценить модель только в форме инноваций. Для этого мы используем подход минимизации ошибок прогнозирования на один шаг вперед (PEM) для вычисления наилучшего выходного предиктора. Для этого подхода матрица K параметризуется независимо от других системных матриц, и никакая предшествующая информация о состояниях системы или выходных ковариациях не рассматривается для оценки. Оценочная модель может быть возвращена в общую структуру модели многими неуникальными способами, одним из которых является предположение, что _R2 = I, _R12 = K _и ^R1 = KKT. Инновационная форма является системным представлением предсказателя, в котором e (t) не обязательно представляет действительный шум измерения.

Оценка моделей состояния-пространства в форме инноваций с использованием n4sid, ssest, и ssregest команды. Системные матрицы A, B, C, D и K параметризуются независимо, и идентификация минимизирует взвешенную норму ошибки предсказания e (t). Дополнительные сведения см. в разделе Оценка моделей состояния-пространства с использованием ssest, ssregest и n4sid и примеров оценки в разделеssest.

Примечание

В этом случае алгоритм оценки выбирает состояния модели произвольно. В результате трудно представить физически значимые описания состояний и источников влияющих на них возмущений.

Структурированная идентификация

В некоторых ситуациях, в дополнение к данным ввода-вывода, вы знаете что-то о состоянии и возмущениях измерения. Чтобы понятие возмущений состояния было значимым, необходимо, чтобы состояния были четко определены, например, положения и скорости в системе механической комкованной массы. Хорошо определенные состояния и известные источники шума приводят к структурированной модели состояния-пространства, которую затем можно параметризовать с помощью общей структуры модели уравнения 1.

Чтобы идентифицировать такие модели, используйте подход моделирования «серый ящик», который позволяет использовать любые предшествующие знания о параметрах системы и ковариациях шума. Например, вы можете знать, что только первый элемент _R1 является ненулевым или что все внедиагональные члены _R2 равны нулю. Используя моделирование серой коробки, обеспечьте начальные предполагаемые значения для вектора параметризации, θ. Если состояния модели являются физически значимыми, то должна быть возможность определить начальные оценки для параметров, указанных в λ.

Для оценки серой модели с параметризованными возмущениями:

Создайте функцию MATLAB ®, называемую файлом ODE, которая:
- Вычисляет параметризованные матрицы состояния-пространства A, B, C и D, используя вектор параметра, который подается в качестве входного аргумента.
- Вычисляет ковариационные матрицы шума _R1, _R2 и _R12. Каждая из этих матриц может быть полностью или частично неизвестной. Любые неизвестные матричные элементы определяются в терминах параметров, выраженных в λ.
- Использует системные матрицы A и C и ковариации шума с kalman Команда (Control System Toolbox) для поиска матрицы усиления Калмана, К.
  [~,K] = kalman(ss(A,eye(nx),C,zeros(ny,nx),Ts),R1,R2,R12);
  Здесь, nx - количество состояний модели, ny - количество выходов модели, и Ts - время выборки. kalman для выполнения команды требуется программное обеспечение Toolbox™ системы управления.
- Возвращает A, B, C, D и K в качестве выходных аргументов.
Создание idgrey модель, в которой используется функция ОДУ и начальное начальное приближение для вектора параметра
Сконфигурируйте любые параметры оценки с помощью greyestOptions команда.
Оцените, используя greyest команда.

Пример использования параметризованных возмущений при моделировании в сером ящике см. в разделе Оценка модели дискретного времени в сером ящике с параметризованным возмущением.

Резюме

Используйте форму «Инновации», если имеются только измеренные данные ввода-вывода. Стоит использовать общую форму только в том случае, если можно определить параметризацию системы со значимыми состояниями и иметь нетривиальные знания о ковариациях шума. В этом случае используйте оценку «серый ящик» для идентификации модели «состояние-пространство».

И общая форма, и инновационная форма приводят к одному и тому же предиктору. Таким образом, если конечной целью является развертывание модели для прогнозирования будущих результатов или для выполнения моделирования, удобнее использовать инновационную форму модели.

Ссылки

[1] Люнг, Л. «Государственные космические модели». Раздел 4.3 в «Идентификация системы: теория для пользователя». 2-я ред. река Верхнее Седло, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1999, стр. 93-102.

См. также

Документация