Подгонка однофакторной модели

Поскольку корпоративные значения по умолчанию встречаются редко, при калибровке моделей по умолчанию обычно используется прокси-сервер для обеспечения кредитоспособности. Однофакторная копула моделирует кредитоспособность компании с использованием скрытой переменной A:

где X является системным кредитным фактором, w - вес, определяющий чувствительность компании к одному фактору, а $$ϵ$$ - идиосинкратический фактор. w и $$ϵ$$ имеют среднее значение 0 и дисперсию 1 и обычно считаются либо гауссовыми, либо другими t распределениями.

Вычислите корреляцию между X и A:

Поскольку X и A имеют дисперсию 1 по конструкции и $$ϵ$$ не коррелируется с X, то:

Если возврат запаса используется в качестве прокси для A, а возврат рыночного индекса является прокси для X, то весовой параметр w является корреляцией между акцией и индексом.

Подготовка данных

Используйте доходность Dow Jones Industrial Average (DJIA) в качестве сигнала для общего движения кредита на рынке. Доходность для 30 комплектующих компаний используется для калибровки чувствительности каждой компании к системному кредитному движению. Таким же образом оцениваются веса для других компаний на фондовом рынке.

% Read one year of DJIA price data
t = readtable('dowPortfolio.xlsx');

% The table contains dates and the prices for each company at market close
% as well as the DJIA.
disp(head(t(:,1:7)))

      Dates       DJI      AA       AIG      AXP      BA        C  
    _________    _____    _____    _____    _____    _____    _____

     1/3/2006    10847    28.72    68.41    51.53    68.63    45.26
     1/4/2006    10880    28.89    68.51    51.03    69.34    44.42
     1/5/2006    10882    29.12     68.6    51.57    68.53    44.65
     1/6/2006    10959    29.02    68.89    51.75    67.57    44.65
     1/9/2006    11012    29.37    68.57    53.04    67.01    44.43
    1/10/2006    11012    28.44    69.18    52.88    67.33    44.57
    1/11/2006    11043    28.05     69.6    52.59     68.3    44.98
    1/12/2006    10962    27.68    69.04     52.6     67.9    45.02

% We separate the dates and the index from the table and compute daily returns using
% tick2ret.
dates = t{2:end,1};
index_adj_close = t{:,2};
stocks_adj_close = t{:,3:end};

index_returns = tick2ret(index_adj_close);
stocks_returns = tick2ret(stocks_adj_close);

Вычислить однофакторные веса

Вычислите однофакторные веса на основе коэффициентов корреляции между доходностью индекса и доходностью акций для каждой компании.

[C,daily_pval] = corr([index_returns stocks_returns]);
w_daily = C(2:end,1);

Эти значения могут использоваться непосредственно при использовании однофакторного creditDefaultCopula или creditMigrationCopula.

Линейная регрессия часто используется в контексте факторных моделей. Для однофакторной модели линейная регрессия доходности акций на рыночную доходность используется путем использования того факта, что коэффициент корреляции соответствует квадратному корню коэффициента определения (R-квадрат) линейной регрессии.

w_daily_regress = zeros(30,1);
for i = 1:30
    lm = fitlm(index_returns,stocks_returns(:,i));
    w_daily_regress(i) = sqrt(lm.Rsquared.Ordinary);
end

% The regressed R values are equal to the index cross correlations
fprintf('Max Abs Diff : %e\n',max(abs(w_daily_regress(:) - w_daily(:))))

Max Abs Diff : 7.771561e-16

Эта линейная регрессия подходит под модель вида $\mathit{A}=\alpha \mathit{+}\beta$X+ϵ, которая в целом не соответствует спецификациям однофакторной модели. Например, $\mathit{}$A $\mathit{}$и X не имеют нулевого среднего и стандартного отклонения 1. В целом, отсутствует связь между $$коэффициентом β и стандартным отклонением $$члена ошибки ϵ. Линейная регрессия используется выше только как инструмент для получения коэффициента корреляции между переменными, заданными квадратным корнем от значения R-квадрата.

Для калибровки однофакторной модели полезной альтернативой является подгонка линейной регрессии с использованием стандартизированных данных о доходности акций и рынка $\stackrel{A\sim }{\mathit{}}$ и $\stackrel{X\sim }{\mathit{}}$. «Стандартизировать» здесь означает вычесть среднее и разделить на стандартное отклонение. Модель $\stackrel{}{\mathit{}}\stackrel{}{}\stackrel{A\sim =\alpha \sim +\beta \sim }{}\stackrel{}{\mathit{}}\stackrel{X\sim +ϵ\sim }{}$. Однако, поскольку и $\stackrel{A\sim }{\mathit{}}$, и $\stackrel{X\sim }{\mathit{}}$ имеют нулевое среднее, пересечение $\stackrel{\sim }{\alpha }$ всегда равно нулю, и поскольку и $\stackrel{A\sim }{\mathit{}}$, и $\stackrel{X\sim }{\mathit{}}$ имеют стандартное отклонение 1, стандартное отклонение члена ошибки удовлетворяет $\mathrm{std}\stackrel{}{(\text{ϵ}}\sim )\sqrt{\mathrm{}=\stackrel{1-\beta }{{}^{\mathrm{}}}}$2∼. Это точно соответствует спецификациям коэффициентов однофакторной модели. Однофакторный $\mathit{}$параметр w установлен на $\stackrel{}{\text{коэффициент}}$β ∼ и является таким же, как значение, найденное непосредственно через корреляцию ранее.

w_regress_std = zeros(30,1);
index_returns_std = zscore(index_returns);
stocks_returns_std = zscore(stocks_returns);
for i = 1:30
    lm = fitlm(index_returns_std,stocks_returns_std(:,i));
    w_regress_std(i) = lm.Coefficients{'x1','Estimate'};
end

% The regressed R values are equal to the index cross correlations
fprintf('Max Abs Diff : %e\n',max(abs(w_regress_std(:) - w_daily(:))))

Max Abs Diff : 5.551115e-16

Этот подход делает естественным изучение допущения распределения переменных. creditDefaultCopula и creditMigrationCopula объекты поддерживают либо нормальные распределения, либо t распределений для базовых переменных. Например, при использовании normplot рыночная доходность имеет тяжелые хвосты, поэтому t-копула более согласуется с данными.

normplot(index_returns_std)

Оценка корреляций для более длительных периодов

Веса вычисляются на основе ежедневной корреляции между акциями и индексом. Тем не менее, обычной целью является оценка потенциальных потерь от дефолтов по кредитам на некоторое время дальше в будущем, часто один год назад.

Для этого необходимо откалибровать веса таким образом, чтобы они соответствовали годичным корреляциям. Калибровку непосредственно по историческим данным о годовом доходе нецелесообразно, поскольку любой разумный набор данных не имеет достаточного количества данных, чтобы быть статистически значимым из-за разреженности точек данных.

Затем возникает проблема вычисления корреляции годового возврата из более часто отбираемого набора данных, например, суточной отдачи. Один из подходов к решению этой проблемы заключается в использовании перекрывающегося окна. Таким образом можно рассмотреть набор всех перекрывающихся периодов заданной длины.

% As an example, consider an overlapping 1-week window.
index_overlapping_returns = index_adj_close(6:end) ./ index_adj_close(1:end-5) - 1;
stocks_overlapping_returns = stocks_adj_close(6:end,:) ./ stocks_adj_close(1:end-5,:) - 1;

C = corr([index_overlapping_returns stocks_overlapping_returns]);
w_weekly_overlapping = C(2:end,1);

% Compare the correlation with the daily correlation.
% Show the daily vs. the overlapping weekly correlations
barh([w_daily w_weekly_overlapping])
yticks(1:30)
yticklabels(t.Properties.VariableNames(3:end))
title('Correlation with the Index');
legend('daily','overlapping weekly');

Максимальное значение p взаимной корреляции для ежедневных результатов показывает сильную статистическую значимость.

maxdailypvalue = max(daily_pval(2:end,1));
disp(table(maxdailypvalue,...
    'VariableNames',{'Daily'},...
    'rownames',{'Maximum p-value'}))

                         Daily   
                       __________

    Maximum p-value    1.5383e-08

Переход к перекрывающейся еженедельной корреляции в стиле скользящего окна дает несколько другие корреляции. Это удобный способ оценки более длительных корреляций периодов на основе ежедневных данных. Однако возвращаемые значения соседних перекрывающихся окон коррелируются, так что соответствующие значения p для перекрывающихся еженедельных возвращаемых значений недействительны, так как вычисление значения p в corr функция не учитывает перекрывающиеся наборы данных окна. Например, возврат соседних перекрывающихся окон состоит из многих одних и тех же точек данных. Этот компромисс необходим, поскольку переход к неперекрывающимся окнам может привести к недопустимо разреженной выборке.

% Compare to non-overlapping weekly returns
fridays = weekday(dates) == 6;
index_weekly_close = index_adj_close(fridays);
stocks_weekly_close = stocks_adj_close(fridays,:);

index_weekly_returns = tick2ret(index_weekly_close);
stocks_weekly_returns = tick2ret(stocks_weekly_close);

[C,weekly_pval] = corr([index_weekly_returns stocks_weekly_returns]);
w_weekly_nonoverlapping = C(2:end,1);
maxweeklypvalue = max(weekly_pval(2:end,1));

% Compare the correlation with the daily and overlapping.
barh([w_daily w_weekly_overlapping w_weekly_nonoverlapping])
yticks(1:30)
yticklabels(t.Properties.VariableNames(3:end))
title('Correlation with the Index');
legend('daily','overlapping weekly','non-overlapping weekly');

P-значения для неперекрывающихся недельных корреляций намного выше, что указывает на потерю статистической значимости.

% Compute the number of samples in each series
numDaily = numel(index_returns);
numOverlapping = numel(index_overlapping_returns);
numWeekly = numel(index_weekly_returns);

disp(table([maxdailypvalue;numDaily],[NaN;numOverlapping],[maxweeklypvalue;numWeekly],...
    'VariableNames',{'Daily','Overlapping','Non_Overlapping'},...
    'rownames',{'Maximum p-value','Sample Size'}))

                         Daily       Overlapping    Non_Overlapping
                       __________    ___________    _______________

    Maximum p-value    1.5383e-08        NaN            0.66625    
    Sample Size               250        246                 50    

Экстраполяция ежегодной корреляции

Общее предположение с финансовыми данными состоит в том, что доходность основных средств не коррелируется во времени. То есть возврат основных средств в момент времени T не коррелируется с предыдущим возвратом в момент времени T-1. В этом предположении годовая взаимная корреляция точно равна суточной взаимной корреляции.

Пусть $${}_{\mathrm{Xt}}$$ - дневная логарифмическая доходность индекса рынка на день t, а $${}_{\mathrm{At}}$$ - дневная доходность коррелированного актива. С помощью CAPM уравнение моделируется следующим образом:

Однофакторная модель является частным случаем этой взаимосвязи.

Исходя из предположения, что каждый доход от активов и индекса не соотносится с их соответствующим прошлым, тогда:

y, $$\mathrm{\forall s\ne t}:$$

Пусть совокупная годовая (log) доходность для каждой серии будет

где Т может быть 252 в зависимости от базовых ежедневных данных.

Пусть $${}_{}^{\mathrm{startX2}}={\mathrm{var}}_{}($$Xt) $${}_{и}^{\mathrm{}}\mathrm{startA2}={}_{}$$var (At) - суточные дисперсии, которые оцениваются по данным суточного возврата.

Ежедневная ковариация между $${}_{\mathrm{Xt}}$$ и $${}_{\mathrm{At}}$$ составляет:

Ежедневная корреляция между $${}_{\mathrm{Xt}}$$ и $${}_{\mathrm{At}}$$ составляет:

Рассмотрим отклонения и ковариации для совокупного года возврата. При условии отсутствия автокорреляции:

Годовая корреляция между активом и индексом составляет:

При допущении отсутствия автокорреляции обратите внимание, что ежедневная взаимная корреляция фактически равна годовой взаимной корреляции. Это предположение можно использовать непосредственно в однофакторной модели, установив для однофакторных весов суточную взаимную корреляцию.

Обработка автокорреляции

Если предположение о том, что активы не имеют автокорреляции, ослабляется, то переход от ежедневной к годовой взаимной корреляции между активами не так прост. Теперь $$\underset{}{\overset{}{}}$$‾ var (X) имеет дополнительные термины.

Сначала рассмотрим простейший случай вычисления дисперсии $$\underset{}{\overset{}{X}}$$‾, когда T равен 2.

Так как $${}_{\mathrm{start1}}{=}_{\mathrm{}}{\mathrm{start2}}_{}$$= startX, то:

Рассмотрим Т = 3. Укажите корреляцию между суточными доходами, которые отделены $$$$друг от друга на k дней, как $${}_{\mathrm{\Delta k}}$$.

В общем случае для дисперсии совокупного Т-дневного возврата с автокорреляцией от завершающих k дней существует:

Это также та же формула для отклонения основного средства:

Ковариация между $$\underset{}{\overset{}{X}}$$‾ и $$\underset{}{\overset{A}{}}$$ ‾, как показано ранее, равна $$\underset{}{\overset{}{\mathrm{\beta var}}}($$X ‾).

Следовательно, взаимная корреляция между индексом и активом с автокорреляцией от конечного 1 через k дней составляет:

Следует отметить, что $$\frac{{}_{}}{{}_{\mathrm{\beta startXstartA}}}$$ является весом при условии отсутствия автокорреляции. Член квадратного корня обеспечивает корректировку для учета автокорреляции в серии. Корректировка в большей степени зависит от разницы между автокорреляцией индекса и автокорреляцией запаса, а не от величин этих автокорреляций. Таким образом, годовой однофакторный вес с поправкой на автокорреляцию составляет:

Вычислить веса с помощью автокорреляции

Найдите автокорреляцию в каждой из акций с возвратом за предыдущий день и скорректируйте веса, чтобы включить эффект автокорреляции за один день.

corr1 = zeros(30,1);
pv1 = zeros(30,1);
for stockidx = 1:30
    [corr1(stockidx),pv1(stockidx)] = corr(stocks_returns(2:end,stockidx),stocks_returns(1:end-1,stockidx));
end
autocorrIdx = find(pv1 < 0.05)

autocorrIdx = 4×1

    10
    18
    26
    27

Есть четыре запаса с низкими значениями p, которые могут указывать на наличие автокорреляции. Оцените годовую перекрестную корреляцию с индексом в рамках этой модели с учетом однодневной автокорреляции.

% The weights based off of yearly cross correlation are equal to the daily cross
% correlation multiplied by an additional factor.
T = 252;

w_yearly = w_daily;
[rho_index, pval_index] = corr(index_returns(1:end-1),index_returns(2:end));

% Check to see if our index has any significant autocorrelation
fprintf('One day autocorrelation in the index p-value: %f\n',pval_index);

One day autocorrelation in the index p-value: 0.670196

if pval_index < 0.05
    % If the p-value indicates there is no significant autocorrelation in the index,
    % set its rho to 0.
    rho_index = 0;
end

w_yearly(autocorrIdx) = w_yearly(autocorrIdx) .*...
    sqrt((T/2 + (T-1) .* rho_index) ./ (T/2 + (T-1) .* corr1(autocorrIdx)));

% Compare the adjusted annual cross correlation values to the daily values
barh([w_daily(autocorrIdx) w_yearly(autocorrIdx)])
yticks(1:4);
allNames = t.Properties.VariableNames(3:end);
yticklabels(allNames(autocorrIdx))
title('Annual One Factor Weights');
legend('No autocorrelation','With autocorrelation','location','southeast');