GRED = bstmr(G) GRED = bstmr(G,order) [GRED,redinfo] = bstmr(G,key1,value1,...) [GRED,redinfo] = bstmr(G,order,key1,value1,...)
bstmr возвращает модель сокращенного заказа GRED из G и массив структуры redinfo содержит границу ошибки уменьшенной модели и сингулярные значения Ханкеля фазовой матрицы исходной системы [2].
Граница ошибки вычисляется на основе сингулярных значений Ханкеля фазовой матрицы G. Для стабильной системы эти значения указывают соответствующую энергию состояния системы. Следовательно, уменьшенный порядок может быть непосредственно определен путем анализа этих значений.
Только с одним входным аргументом G, функция покажет график сингулярного значения Ханкеля фазовой матрицы G и запрос номера заказа модели для уменьшения.
Этот метод гарантирует ошибку, связанную с бесконечной нормой мультипликативного ∥ GRED–1(G-GRED) ∥ ∞ или относительная ошибка ∥ G-–1(G-GRED) ∥ ∞ для хорошо обусловленного сокращения моделей [1]:
В этой таблице описаны входные аргументы для bstmr.
Аргумент | Описание |
|---|---|
| Модель LTI должна быть уменьшена (без каких-либо других входных данных построят график ее сингулярных значений Ханкеля и предложат уменьшить порядок) |
| (Необязательно) целое число для требуемого порядка уменьшенной модели или вектор требуемых заказов для пакетных прогонов |
Пакетное выполнение серии различных моделей сокращенного заказа может быть создано путем указания order = x:y, или вектор целых чисел. По умолчанию вся антистабильная часть системы сохраняется, поскольку с точки зрения стабильности управления избавление от нестабильного состояния (состояний) опасно для моделирования системы.
'MaxError' может быть указан таким же образом, как альтернатива для 'ORDER'. В этом случае уменьшенный порядок будет определен, когда накопленное произведение сингулярных значений Ханкеля, показанных в вышеприведенном уравнении, достигнет 'MaxError'.
Аргумент | Стоимость | Описание |
|---|---|---|
'MaxError' | Действительное число или вектор различных ошибок | Сокращение для достижения H∞ ошибки. При наличии, |
'Display' |
| Отображение сингулярных графиков Hankel (по умолчанию |
'Order' | Целое число, вектор или массив ячеек | Порядок уменьшенной модели. Используйте, только если не указан в качестве второго аргумента. |
В этой таблице описываются выходные аргументы.
Аргумент | Описание |
|---|---|
GRED | Модель сокращенного заказа LTI. Становитесь многозначным массивом, когда входные данные представляют собой последовательность различных массивов порядка модели. |
REDINFO | Массив STRUCT с тремя полями:
|
G может быть стабильным или нестабильным, непрерывным или дискретным.
Примечание
bstmr основан на balred.
Учитывая непрерывную или дискретную, стабильную или нестабильную систему, G, следующие команды могут получить набор моделей уменьшенного порядка на основе выбранных вами вариантов:
rng(1234,'twister');
G = rss(30,5,4);
G.D = zeros(5,4);
[g1, redinfo1] = bstmr(G); % display Hankel SV plot
% and prompt for order (try 15:20)
[g2, redinfo2] = bstmr(G,20);
[g3, redinfo3] = bstmr(G,[10:2:18]);
[g4, redinfo4] = bstmr(G,'MaxError',[0.01, 0.05]);
for i = 1:4
figure(i)
eval(['sigma(G,g' num2str(i) ');']);
end
Учитывая пространство состояния (A, B, C, D) системы и k, желаемый уменьшенный порядок, следующие этапы будут производить преобразование подобия для усечения исходной системы состояния-пространства до модели с уменьшенным k-м порядком.
Найти граммиан управляемости P и граммиан наблюдаемости Q левого спектрального фактора Λ = Γ (λ) Γ * (-λ) = Λ * (-
AP + PAT + BBT = 0
BW = PCT + BDT
QA + AT Q + (QBW - CT) (-DDT) (QBW - CT) T = 0
Найдите разложение Шура для PQ в порядке возрастания и убывания соответственно.
Найдите левые/правые ортонормированные собственные основания PQ, связанные с k-мя большими сингулярными значениями Ханкеля матрицы полной фазы (W * (s)) -1G (s).
k
SMALL]
Найти SVD (VT L, BIGVR, BIG) = U (U)
Сформировать левое/правое преобразование для последней модели уменьшенного порядка k
SL, BIG = VL, BIG U (1: k, 1: k) - ½
SR, BIG = VR, BIG V (1: k, 1: k) - ½
Наконец,
BIGTBCSR, BIGD]
Доказательство алгоритма Schur BST можно найти в [1].
Примечание
Теория уменьшения модели BST требует, чтобы исходная матрица модели D имела полный ранг, в противном случае решатель Riccati дает сбой. Для любой проблемы со строго правильной моделью, вы можете сдвинуть jλ-ось через bilin так, что аппроксимация BST/REM может быть достигнута вплоть до конкретного частотного диапазона интересов. Кроме того, можно присоединить небольшую, но полную матрицу ранга D к исходной задаче, но затем удалить матрицу D модели с уменьшенным порядком. Пока размер матрицы D является незначительным внутри полосы пропускания управления, модель с уменьшенным порядком должна быть довольно близка к истинной модели. По умолчанию bstmr программа назначит матрицу полного ранга D, масштабированную на 0,001 минимального собственного значения исходной модели, если ее матрица D не является полной рангом для начала. Это служит цели для большинства проблем, если пользователь не хочет проходить через проблемы претрансформации модели.
[1] Чжоу, К., «Уменьшение частотно-взвешенной модели с L∞ границами ошибок», System. Contr. Летт., том 21, 115-125, 1993.
[2] Сафонов, М.Г. и Р.Я. Чианг, «Модель уменьшения для надежного управления: метод относительной ошибки Шура», International J. of Adaptive Control and Signal Processing, Vol. 2, p. 259-272, 1988.