В этом примере показано, как осуществлять смешанный синтез mu с помощью musyn в Toolbox™ надежного управления. Здесь musyn используется для проектирования надежного контроллера для двухмассовой пружинно-демпферной системы с неопределенностью жесткости пружины, соединяющей две массы. Этот пример взят из статьи «Надежные характеристики синтеза смешанных мю для системы масс-пружин с неопределенностью жесткости», Д. Баррос, С. Фекри и М. Атанс, Средиземноморская конференция по контролю 2005 года.
Рассмотрим систему масса-пружина-демпфер на рисунке 1. Весна k2 и демпфер b2 прикреплены к стене и формообразующему элементу m2. Масса m2 также присоединен к массе m1 через пружину k1 и демпфер b1. На массу 2 воздействует возмущающая сила f2. Управление системой осуществляется с помощью силы f1 воздействуя на массу m1.
Нашей конструктивной целью является использование силы управления f1 для ослабления влияния возмущения f2 о положении массы m2. Сила f1 не действует непосредственно на массу m2, скорее он действует через жесткость пружины k1. Отсюда любая неопределенность в жесткости пружины k1 усложнит задачу контроля. Проблема контроля формулируется следующим образом:
Контроллер измеряет шумное смещение массы m2 и прикладывает управляющее усилие f1. Шум датчика, Wn, моделируется как константа 0,001.
Команда привода наказывается коэффициентом 0,1 на низкой частоте и коэффициентом 10 на высокой частоте с частотой пересечения 100 рад/с (фильтр Wu).
Единичная величина, цветовой фильтр первого порядка, Wdist, на возмущении имеет полюс на 0,25 рад/с.
Задача производительности - ослабить возмущение на массе m2 в 80 раз ниже 0,1 рад/с.
Номинальные значения параметров системы: m1=1, m2=2, k2=1, b1=0.05, b2=0.05, и k1=2.
Wn = tf(0.001); Wu = 10*tf([1 10],[1 1000]); Wdist = tf(0.25,[1 0.25],'inputname','dist','outputname','f2'); Wp = 80*tf(0.1,[1 0.1]); m1 = 1; m2 = 2; k2 = 1; b1 = 0.05; b2 = 0.05;
Значение жесткости пружины k1 является неопределенным. Он имеет номинальное значение 2, и его значение может варьироваться от 1,2 до 2,8.
k1 = ureal('k1',2,'Range',[1.2 2.8]);
Существует также временная задержка tau между управляемой силой привода f1 и его применение к массе m1. Максимальная задержка составляет 0,06 секунды. Игнорирование этой временной задержки приводит к мультипликативной ошибке exp(-s*tau)-1. Эта ошибка может рассматриваться как немодированная динамика, ограниченная по величине фильтром верхних частот Wunmod = 2.6*s/(s + 40):
tau = ss(1,'InputDelay',0.06); Wunmod = 2.6*tf([1 0],[1 40]); bodemag(tau-1,Wunmod,logspace(0,3,200)); title('Multiplicative Time-Delay Error: Actual vs. Bound') legend('Actual','Bound','Location','NorthWest')
Построение неопределенной модели состояния-пространства установки с управляющей силой f1 и возмущения f2 в качестве входных данных.
a1c = [0 0 -1/m1 1/m2]'*k1;
a2c = [0 0 1/m1 -1/m2]'*k1 + [0 0 0 -k2/m2]';
a3c = [1 0 -b1/m1 b1/m2]';
a4c = [0 1 b1/m1 -(b1+b2)/m2]';
A = [a1c a2c a3c a4c];
plant = ss(A,[0 0;0 0;1/m1 0;0 1/m2],[0 1 0 0],[0 0]);
plant.StateName = {'z1';'z2';'z1dot';'z2dot'};
plant.OutputName = {'z2'};
Добавьте немодулированную динамику задержки на первом входе установки.
Delta = ultidyn('Delta',[1 1]); plant = plant * append(1+Delta*Wunmod,1); plant.InputName = {'f1','f2'};
Постройте график реакции Боде от f1 до z2 для 20 выборочных значений неопределенности. Неопределенность по значению k1 вызывает колебания собственных частот режимов установки.
bode(plant(1,1),{0.1,4})
Для синтеза контроллера используется следующая структура:
Рисунок 2
Использовать connect для построения соответствующего соединения с разомкнутым контуром IC. Обратите внимание, что IC является неопределенной моделью с неопределенными переменными k1 и Delta.
Wu.u = 'f1'; Wu.y = 'Wu'; Wp.u = 'z2'; Wp.y = 'Wp'; Wn.u = 'noise'; Wn.y = 'Wn'; S = sumblk('z2n = z2 + Wn'); IC = connect(plant,Wdist,Wu,Wp,Wn,S,{'dist','noise','f1'},{'Wp','Wu','z2n'})
IC =
Uncertain continuous-time state-space model with 3 outputs, 3 inputs, 8 states.
The model uncertainty consists of the following blocks:
Delta: Uncertain 1x1 LTI, peak gain = 1, 1 occurrences
k1: Uncertain real, nominal = 2, range = [1.2,2.8], 1 occurrences
Type "IC.NominalValue" to see the nominal value, "get(IC)" to see all properties, and "IC.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.
Можно использовать команду musyn синтезировать надежный контроллер для межсоединений с разомкнутым контуром IC. По умолчанию musyn обрабатывает все неопределенные реальные параметры, в этом примере k1, как сложная неопределенность. Напомним, что k1 - вещественный параметр с номинальным значением 2 и диапазоном от 1,2 до 2,8. В комплексном мю-синтезе он заменяется комплексным неопределенным параметром, изменяющимся на диске с центром 2 и радиусом 0,8. На графике ниже сравнивается диапазон значений k1, когда k1 рассматривается как вещественное (красное х) и комплексное (синее *).
k1c = ucomplex('k1c',2,'Radius',0.8); % complex approximation % Plot 80 samples of the real and complex parameters k1samp = usample(k1,80); k1csamp = usample(k1c,80); plot(k1samp(:),0*k1samp(:),'rx',real(k1csamp(:)),imag(k1csamp(:)),'b*') hold on % Draw value ranges for real and complex k1 plot(k1.Nominal,0,'rx',[1.2 2.8],[0 0],'r-','MarkerSize',14,'LineWidth',2) the=0:0.02*pi:2*pi; z=sin(the)+sqrt(-1)*cos(the); plot(real(0.8*z+2),imag(0.8*z),'b') hold off % Plot formatting axis([1 3 -1 1]), axis square ylabel('Imaginary'), xlabel('Real') title('Real vs. complex uncertainty model for k1')
Синтезируйте надежный контроллер Kc с использованием комплексного мю-синтеза (обработка k1 как комплексный параметр).
[Kc,mu_c,infoc] = musyn(IC,1,1);
D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-----------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU D Fit D
1 2.954 2.452 2.483 16
2 1.145 1.143 1.154 18
3 1.086 1.086 1.09 18
4 1.082 1.081 1.083 18
5 1.085 1.085 1.086 18
Best achieved robust performance: 1.08
Обратите внимание, что mu_c превышает 1, поэтому контроллер Kc не удается надежно достичь требуемого уровня производительности.
Смешанный синтез mu учитывает неопределенные реальные параметры непосредственно в процессе синтеза. Включите смешанный синтез mu, установив значение MixedMU опция для 'on'.
opt = musynOptions('MixedMU','on'); [Km,mu_m] = musyn(IC,1,1,opt);
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 2.954 2.081 2.367 16 8
2 1.606 1.388 1.503 14 12
3 0.9359 1.087 1.29 16 8
4 0.9167 0.9923 1.099 16 8
5 0.924 0.9477 1.008 16 8
6 0.9223 0.9321 0.9606 16 8
7 0.921 0.9242 0.9565 16 8
8 0.9128 0.9184 0.9814 20 8
9 0.9035 0.91 0.9242 20 8
10 0.8942 0.9035 0.9196 20 8
Best achieved robust performance: 0.903
Смешанный синтез mu способен найти контроллер, который достигает желаемых показателей производительности и надежности. Сравнение откликов с разомкнутым контуром показывает, что контроллер смешанного mu Km дает меньший запас фазы около 3 рад/с, потому что он должен только защищать от реальных вариаций k1.
clf % Note: Negative sign because interconnection in Fig 2 uses positive feedback bode(-Kc*plant.NominalValue(1,1),'b',-Km*plant.NominalValue(1,1),'r',{1e-2,1e2}) grid legend('P*Kc - complex mu loop gain','P*Km - mixed mu loop gain','location','SouthWest')
Сравнение двух контроллеров показывает, что использование «реальности» k1 обеспечивает лучшую производительность и надежность контроллера.
Оценить наихудшую производительность замкнутого цикла Kc и Km, сформировать замкнутое соединение, показанное на рис. 2, и использовать команду wcgain определить, насколько велика норма нарушения до ошибки для заданной неопределенности установки.
clpKc = lft(IC,Kc); clpKm = lft(IC,Km); [maxgainKc,badpertKc] = wcgain(clpKc); maxgainKc
maxgainKc =
struct with fields:
LowerBound: 2.0837
UpperBound: 2.0879
CriticalFrequency: 1.4303
[maxgainKm,badpertKm] = wcgain(clpKm); maxgainKm
maxgainKm =
struct with fields:
LowerBound: 0.8926
UpperBound: 0.8944
CriticalFrequency: 0.1480
Смешанный контроллер mu Km имеет наихудший коэффициент усиления 0,88, в то время как комплексный контроллер mu Kc имеет наихудший коэффициент усиления 2,2, или в 2,5 раза больше.
Сравнение характеристик отбраковки возмущений Kc и Km, сначала построить модели с замкнутым контуром передачи от входного возмущения dist кому f2, f1, и z2 (положение массы m2)
Km.u = 'z2'; Km.y = 'f1'; clsimKm = connect(plant,Wdist,Km,'dist',{'f2','f1','z2'}); Kc.u = 'z2'; Kc.y = 'f1'; clsimKc = connect(plant,Wdist,Kc,'dist',{'f2','f1','z2'});
Ввести белый шум в фильтр нижних частот Wdist для моделирования входного возмущения f2. Номинальные характеристики замкнутого контура двух конструкций почти идентичны.
t = 0:.01:100; dist = randn(size(t)); yKc = lsim(clsimKc.Nominal,dist,t); yKm = lsim(clsimKm.Nominal,dist,t); % Plot subplot(311) plot(t,yKc(:,3),'b',t,yKm(:,3),'r') title('Nominal Disturbance Rejection Response') ylabel('z2') subplot(312) plot(t,yKc(:,2),'b',t,yKm(:,2),'r') ylabel('f1 (control)') legend('Kc','Km','Location','NorthWest') subplot(313) plot(t,yKc(:,1),'k') ylabel('f2 (disturbance)') xlabel('Time (sec)')
Затем сравните наихудшие сценарии для Kc и Km путем установки неопределенности установки на худшие значения, вычисленные с помощью wcgain.
clsimKc_wc = usubs(clsimKc,badpertKc); clsimKm_wc = usubs(clsimKm,badpertKm); yKc_wc = lsim(clsimKc_wc,dist,t); yKm_wc = lsim(clsimKm_wc,dist,t); subplot(211) plot(t,yKc_wc(:,3),'b',t,yKm_wc(:,3),'r') title('Worse-Case Disturbance Rejection Response') ylabel('z2') subplot(212) plot(t,yKc_wc(:,2),'b',t,yKm_wc(:,2),'r') ylabel('f1 (control)') legend('Kc','Km','Location','NorthWest')
Это показывает, что контроллер mixed-mu Km значительно превосходит Kc в наихудшем случае. Используя тот факт, что k1 является реальным, контроллер смешанного mu способен обеспечить лучшую производительность при равной надежности.
Смешанный контроллер mu Km имеет относительно высокий порядок по сравнению с растением. Для получения более простого контроллера используйте musynвозможность настройки фиксированного порядка. Используется hinfstruct вместо hinfsyn для стадии синтеза. Вы можете попробовать различные заказы, чтобы найти самый простой контроллер, который поддерживает надежную производительность. Например, попробуйте настроить контроллер пятого порядка. Используйте опцию «RandomStart» для выполнения нескольких циклов синтеза mu, каждый из которых начинается от другого начального значения K.
K = tunableSS('K',5,1,1); % 5th-order tunable state-space model opt = musynOptions('MixedMU','on','MaxIter',20,'RandomStart',2); rng(0), [CL,mu_f] = musyn(lft(IC,K),opt);
=== Synthesis 1 of 3 ============================================
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 3.088 2.906 2.907 16 8
2 2.314 2.163 2.163 20 8
3 1.654 1.652 1.759 20 8
4 1.263 1.259 1.26 18 8
5 1.088 1.087 1.116 18 8
6 1.021 1.037 1.163 18 8
7 1.032 1.031 1.073 18 8
8 1.037 1.036 1.087 18 8
Best achieved robust performance: 1.03
=== Synthesis 2 of 3 ============================================
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 3 2.904 2.904 16 8
2 2.019 1.872 1.892 20 8
3 1.589 1.529 1.553 12 8
4 1.172 1.17 1.17 18 8
5 1.018 1.016 1.115 16 8
6 1.035 1.034 1.093 18 8
7 1.031 1.031 1.069 18 8
Best achieved robust performance: 1.02
=== Synthesis 3 of 3 ============================================
DG-K ITERATION SUMMARY:
-------------------------------------------------------------------
Robust performance Fit order
-------------------------------------------------------------------
Iter K Step Peak MU DG Fit D G
1 3.017 2.919 2.92 16 8
2 2.043 2.014 2.029 16 8
3 1.555 1.586 1.677 18 8
4 1.273 1.272 1.274 20 8
5 1.162 1.158 1.206 20 8
6 1.079 1.078 1.262 20 8
7 1.081 1.08 1.09 18 8
8 1.046 1.046 1.145 18 8
9 1.033 1.033 1.033 18 8
10 1.008 1.008 1.244 18 8
11 1.044 1.042 1.043 20 8
12 1.014 1.014 1.099 18 8
Best achieved robust performance: 1.01
Лучший контроллер почти обеспечивает желаемую надежную производительность (надежная производительность mu_f близок к 1). Сравните два контроллера.
clf, bode(Km,getBlockValue(CL,'K')) legend('Full order','5th order')
