Рассмотрим систему управления, установка которой номинально является интегратором с некоторой аддитивной динамической неопределенностью. Создайте модель завода.

delta = ultidyn('delta',[1 1],'bound',0.4); 
G = tf(1,[1 0]) + delta;

Создайте контроллер PD для модели. Предположим, вы хотите изучить наихудший случай отказа от нарушения. Создайте функцию чувствительности по замкнутому контуру для изучения наихудшего коэффициента усиления возмущения на входе в установку.

C = pid(2,0,-0.04,0.02);
S = feedback(1,G*C);

Из-за неопределенности частотная характеристика этой передаточной функции находится в пределах некоторой огибающей. Величина частоты-отклика нескольких выборок системы дает ощущение этой огибающей.

bodemag(S)

Каждый образец имеет различный пиковый коэффициент усиления. Найдите максимальное значение пикового коэффициента усиления в огибающей и соответствующие значения для неопределенных элементов.

[wcg,wcu] = wcgain(S);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 5.1036
           UpperBound: 5.1140
    CriticalFrequency: 10.7241

LowerBound и UpperBound поля wcg показать, что наихудший пиковый коэффициент усиления составляет около 5,1. Это усиление происходит на критической частоте около 10,6 рад/с.

Продукция wcu - структура, которая содержит возмущение delta это вызывает наихудший выигрыш. Подтвердите результат, подставив это значение в функцию чувствительности.

Swc = usubs(S,wcu);
getPeakGain(Swc)

ans = 5.1037

Поскольку система имеет динамическую неопределенность delta с коэффициентом усиления не более 0,4, наихудшее значение delta должна быть системой с пиковым коэффициентом усиления 0,4. Подтвердите этот результат.

getPeakGain(wcu.delta)

ans = 0.4000

Рассмотрим модель системы управления, содержащей неопределенные элементы.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
delta = ultidyn('delta',[1 1]); 
G = tf(18,[1 1.8 k]) * (1 + 0.5*delta);
C = pid(2.3,3,0.38,0.001);
CL = feedback(G*C,1);

По умолчанию wcgain возвращает только наихудший пиковый коэффициент усиления для всех частот. Для получения значений наихудшего коэффициента усиления на нескольких частотах используйте 'VaryFrequency' вариант wcOptions. Например, вычислить максимально возможный коэффициент усиления системы в частотных точках от 0,1 до 10 рад/с.

opts = wcOptions('VaryFrequency','on');
[wcg1,wcu1,info1] = wcgain(CL,{0.1,10},opts);
info1

info1 = struct with fields:
                 Model: 1
             Frequency: [19x1 double]
                Bounds: [19x2 double]
     WorstPerturbation: [19x1 struct]
           Sensitivity: [1x1 struct]
    BadUncertainValues: [19x1 struct]
            ArrayIndex: 1

wcgain возвращает вектор частот в info выходные данные, в Frequencies поле. info.Bounds содержит верхнюю и нижнюю границы наихудшего коэффициента усиления на каждой частоте. Эти значения используются для построения графика частотной зависимости наихудшего коэффициента усиления.

semilogx(info1.Frequency,info1.Bounds)
title('Worst-Case Gain vs. Frequency')
ylabel('Gain')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound','Location','northwest')

Кривая показывает огибающую с высоким коэффициентом усиления для всех систем в пределах диапазонов неопределенности CL. Также можно использовать wcsigmaplot для построения этой оболочки вместе с образцами системы.

При использовании 'VaryFrequency' опция, wcgain автоматически выбирает точки частоты. Частоты, которые он выбирает, гарантированно включают в себя частоту, при которой наихудший коэффициент усиления является наибольшим (в пределах заданного диапазона). Просмотрите возвращенные значения частоты для подтверждения того, что они включают критическую частоту.

info1.Frequency

ans = 19×1

    0.1000
    0.1061
    0.1425
    0.1914
    0.2572
    0.3455
    0.4642
    0.6236
    0.8377
    1.1253
      ⋮

wcg1.CriticalFrequency

ans = 6.0670

Кроме того, вместо использования 'VaryFrequency', можно указать конкретные частоты для вычисления наихудших коэффициентов усиления. info.Bounds содержит наихудшие коэффициенты усиления на всех указанных частотах.

w = logspace(-1,1,24); 
[wcg2,wcu2,info2] = wcgain(CL,w);
semilogx(w,info2.Bounds)
title('Worst-Case Gain vs. Frequency')
ylabel('Gain')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound','Location','northwest')

При предоставлении частотной сетки таким образом результаты не гарантируют включение общего наихудшего коэффициента усиления, который может упасть между указанными частотными точками. Чтобы увидеть это, изучите wcg1 и wcg2, которые содержат границы для двух подходов.

wcg1

wcg1 = struct with fields:
           LowerBound: 2.0848
           UpperBound: 2.0893
    CriticalFrequency: 6.0670

wcg2

wcg2 = struct with fields:
           LowerBound: 2.0349
           UpperBound: 2.0370
    CriticalFrequency: 6.7002

wcg1, вычислено с использованием VaryFrequency, находит более высокий пиковый коэффициент усиления, чем указанная частотная сетка.

Рассмотрим петлю обратной связи с заводом первого заказа и ПИ-контроллером. Постоянная времени установки является неопределенной, и контур обратной связи учитывает немодированную динамическую неопределенность. Вычисление наихудшего коэффициента усиления функции чувствительности Si на заводских вводах. Используйте 'Sensitivity' вариант wcOptions вычислять, насколько чувствителен этот наихудший коэффициент усиления к каждому неопределенному элементу.

% Create uncertain system and controller
delta = ultidyn('delta',[1 1]);
tau = ureal('tau',5,'range',[4 6]);
P = tf(1,[tau 1])*(1+0.25*delta);
C = pid(4,4);

opt = wcOptions('Sensitivity','on');
Si = inv(1 + C*P);
[wcg,~,info] = wcgain(Si,opt);

Sensitivity области info структура вывода включает в себя данные, которые отражают, насколько изменяется максимальный коэффициент усиления функции чувствительности ввода с каждым неопределенным элементом.

info.Sensitivity

ans = struct with fields:
    delta: 44
      tau: 9

Этот результат показывает, что если диапазон неопределенности дельты увеличивается на 10%, пиковая входная чувствительность увеличивается примерно на 4,4%. Аналогично, увеличение диапазона неопределенности тау на 10% вызывает увеличение пиковой входной чувствительности примерно на 0,9%.

Задание определенных опций для вычисления структурированного сингулярного значения, лежащего в основе вычисления наихудшего коэффициента усиления, в некоторых случаях может дать лучшие результаты. Например, рассмотрим пример установки и контроллера.

load('wcgExampleData.mat')

Эта команда загружается gPlantустановка MIMO с 10 выходами, 8 входами и 11 неопределенными элементами. Он также нагружает Kmu, модель контроллера состояния-пространства. Создайте замкнутую систему с этими моделями и изучите наихудший коэффициент усиления.

CL = lft(gPlant,Kmu);
[wcg,wcu] = wcgain(CL);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 10.8742
           UpperBound: 11.2135
    CriticalFrequency: 6.6794

Существует большая разница между нижней и верхней границами для наихудшего коэффициента усиления. Чтобы получить лучшую оценку фактического наихудшего коэффициента усиления, увеличьте число перезапусков, которые wcgain использует для вычисления наихудшего возмущения и связанной с ним нижней границы. Это может привести к более плотной нижней границе. Эта опция не влияет на расчет верхней границы.

opt = wcOptions('MussvOptions','m3');
[wcg,wcu] = wcgain(CL,opt);
wcg

wcg = struct with fields:
           LowerBound: 10.8742
           UpperBound: 11.2135
    CriticalFrequency: 6.6794

Разница между нижней границей и верхней границей при наихудшем коэффициенте усиления значительно меньше. Критическая частота также различна.