Вращающийся спутник

Этот пример мотивируется регулированием поперечных угловых скоростей в вращающемся спутнике (см. Справочный документ [2]). Цилиндрическое тело вращается вокруг своей оси симметрии ($$\mathrm{оси\; z}$$) с постоянной угловой скоростью $$\Lambda$$. Цель состоит в том, чтобы независимо управлять угловыми скоростями $${}_{\mathrm{по}}$$ $${}_{}$$$$$$$$$$осям x и y, используя крутящие моменты $${}_{\mathrm{ux}}$$ и $${}_{\mathrm{uy}}$$. Уравнения движения приводят к модели второго порядка с двумя входами и двумя выходами:

Рассмотрим закон статического управления, который объединяет действия обратной связи и обратной связи:

$$u{=}_{}$$Kfr-start.

Установка коэффициента усиления прямой связи следующим образом обеспечивает идеальное разъединение и заставляет каждый цикл реагировать как на систему первого порядка с единичной постоянной времени.

Результирующая система представляет собой двухконтурную систему управления следующей схемы.

Создайте модель состояния-пространства спутника и контроллера, чтобы увидеть производительность системы с этим контроллером.

% Plant
a = 10;
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
P = ss(A,B,C,D);

% Prefilter
Kf = [1 -a;a 1]/(1+a^2);

% Closed-loop model
T = feedback(P,eye(2))*Kf;
step(T,10)

Коэффициент усиления по контуру и поля фазы

Классический коэффициент усиления и фазовые поля являются обычным способом измерения устойчивости петель обратной связи SISO к неопределенности установки. В системах управления MIMO поля усиления и фазы часто оцениваются по одному контуру за раз, что означает, что поля вычисляются независимо для каждого канала обратной связи с другими замкнутыми контурами. Надежность явно вызывает сомнения, когда обнаруживается, что одна петля имеет слабые края. К сожалению, обратное не соответствует действительности. Каждый отдельный контур может иметь сильный коэффициент усиления и фазовые поля, в то время как общая устойчивость является слабой. Это происходит потому, что подход «петля во времени» не учитывает петлевые взаимодействия и кондиционирование передачи петли MIMO. Пример вращающегося спутника является прекрасной иллюстрацией этой точки.

Для вычисления коэффициента усиления и фазовых полей в режиме «петля во времени» введите точку анализа на входе установки, чтобы облегчить доступ к откликам в режиме «петля разомкнута».

uAP = AnalysisPoint('u',2);
T = feedback(P*uAP,eye(2))*Kf;

Использовать getLoopTransfer для доступа к передаче контура SISO в $${}_{\mathrm{точке\; ux}}$$ с $$$$замкнутым контуром y и в точке $${}_{\mathrm{uy}}$$ с $$$$замкнутым контуром x.

Lx = getLoopTransfer(T,'u(1)',-1);
Ly = getLoopTransfer(T,'u(2)',-1);

Наконец, используйте margin для вычисления классического коэффициента усиления и фазовых полей.

[gmx,pmx] = margin(Lx)

gmx = Inf

pmx = 90

[gmy,pmy] = margin(Ly)

gmy = Inf

pmy = 90

margin сообщает запас усиления в размере Inf и запас фазы 90 °, как устойчивый к изменениям усиления и фазы, как может быть контур SISO. Этот результат неудивителен, учитывая, что цикл переноситсяLx и Ly являются чистыми интеграторами.

tf(Lx), tf(Ly)

ans =
 
  From input "u(1)" to output "u(1)":
  1
  -
  s
 
Continuous-time transfer function.


ans =
 
  From input "u(2)" to output "u(2)":
  1
  -
  s
 
Continuous-time transfer function.

Несмотря на этот результат цикла в момент времени, цикл обратной связи MIMO Т может быть дестабилизирован 10% изменением усиления, влияющим на оба цикла. Чтобы продемонстрировать эту дестабилизацию, умножьте установку на статическое усиление, которое уменьшает усиление на 10% в $${}_{}$$канале ux и увеличивает его на 10% в $${}_{}$$канале uy. Затем вычислите полюса единичного контура обратной связи, чтобы увидеть, что один из них переместился в правую полуплоскость, приводя контур в неустойчивое состояние.

dg = diag([1-0.1,1+0.1]);  
pole(feedback(P*dg,eye(2)))

ans = 2×1

   -2.0050
    0.0050

Поскольку неопределенность модели обычно влияет на все циклы обратной связи, поля цикла в то время имеют тенденцию переоценивать фактическую надежность и могут упустить важные проблемы с конструкциями MIMO.

Поля диска

Понятие запаса диска дает более полную оценку надежности в контурах обратной связи MIMO путем явного моделирования и учета взаимодействий циклов. Дополнительные сведения см. в разделе Анализ стабильности с использованием полей диска. Для вычисления полей дисков SISO и MIMO для примера вращающегося спутника извлеките передачу цикла MIMO L и используйте diskmargin команда.

L = getLoopTransfer(T,'u',-1);
[DM,MM] = diskmargin(L);

Первый выход DM содержит поля на основе диска с закольцовыванием. Это более низкие оценки классического усиления и полей фазы. Для этой модели дисковые поля также сообщают запас усиления, равный Inf и запас фазы 90 ° для каждого отдельного контура. Пока ничего нового.

DM(1)

ans = struct with fields:
           GainMargin: [0 Inf]
          PhaseMargin: [-90 90]
           DiskMargin: 2
           LowerBound: 2
           UpperBound: 2
            Frequency: 0
    WorstPerturbation: [2x2 ss]

DM(2)

ans = struct with fields:
           GainMargin: [0 Inf]
          PhaseMargin: [-90 90]
           DiskMargin: 2
           LowerBound: 2
           UpperBound: 2
            Frequency: 0
    WorstPerturbation: [2x2 ss]

Второй выход MM содержит поля на диске MIMO.

MM

MM = struct with fields:
           GainMargin: [0.9051 1.1049]
          PhaseMargin: [-5.7060 5.7060]
           DiskMargin: 0.0997
           LowerBound: 0.0997
           UpperBound: 0.0999
            Frequency: 1.0000e-04
    WorstPerturbation: [2x2 ss]

Этот запас на основе многолучевого диска является наиболее надежным показателем надежности MIMO, поскольку он учитывает независимое усиление и фазовые изменения во всех каналах цикла одновременно. Здесь MM сообщает запас усиления [0,905,1,105], что означает, что коэффициент усиления с разомкнутым контуром может увеличиваться или уменьшаться в 1,105 раз при сохранении стабильности с замкнутым контуром. Запас по фазе - 5,7 °. Этот результат соответствует дестабилизирующему возмущениюdg выше которого соответствует относительному изменению коэффициента усиления в диапазоне [0,90,1,10].

diskmarginplot позволяет визуализировать поля на диске как функцию частоты. Для этой системы, что дисковые поля являются наиболее слабыми вблизи постоянного тока (нулевая частота).

clf
diskmarginplot(L)
grid

Структура MM также содержит наименьшее дестабилизирующее возмущение MM.WorstPerturbation. Это динамическое возмущение представляет собой реализацию наименьшего дестабилизирующего изменения усиления и фазы. Следует отметить, что это возмущение изменяет как коэффициент усиления, так и фазу в обоих каналах обратной связи.

WGP = MM.WorstPerturbation;
pole(feedback(P*WGP,eye(2)))

ans = 8×1 complex

  -1.0000 + 0.0001i
  -1.0000 - 0.0001i
  -0.0002 + 0.0002i
  -0.0002 - 0.0002i
  -0.0000 + 0.0001i
  -0.0000 - 0.0001i
  -0.0000 + 0.0000i
  -0.0000 - 0.0000i

Сравнение динамического возмущения WGP со статическим усилением dg используется выше для дестабилизации системы.

bode(ss(dg),WGP), grid
title('Smallest destabilizing perturbation')
legend('dg','smallest')

Заключение

Для систем управления с несколькими контурами запас дисков является более надежным и надежным тестом стабильности, чем коэффициент усиления и запас по фазе. diskmargin функция вычисляет поля дисков loop-at-a-time и MIMO и соответствующие наименьшие дестабилизирующие возмущения. Эти возмущения можно использовать для дальнейшего анализа и оценки риска, например, путем их введения в подробное нелинейное моделирование системы.

Чтобы узнать, как спроектировать контроллер с адекватным запасом устойчивости для этого завода, см. пример Надежный контроллер для вращающегося спутника.

Ссылки

[1] Дойл, Дж. «Надежность многолучевых систем линейной обратной связи». В 1978 году Конференция IEEE по принятию решений и контролю, включая 17-й симпозиум по адаптивным процессам, 12-18. Сан-Диего, Калифорния, США: IEEE, 1978. https://doi.org/10.1109/CDC.1978.267885.

[2] Чжоу, К., J.C.Doyle и К. Гловер. Надежный и оптимальный контроль, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1996, раздел 9.6.