Модель установки

Модель растения аналогична описанной в MIMO Stability Margins for Spinning Satellite.

a = 10;
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
Gnom = ss(A,B,C,D);

Номинальная смешанная чувствительность

Начните с базовой конструкции со смешанной чувствительностью с помощью mixsyn. Выберите весовые коэффициенты для достижения хорошей производительности и ограничения пропускной способности и усилий по управлению. (Подробные сведения об этом методе и выборе функций взвешивания см. в разделе Формирование цикла смешанной чувствительности.)

wS = makeweight(1e3,1,1e-1);
wKS = makeweight(0.5,[500 1e2],1e4,0,2);
wT = makeweight(0.5,20,100);
bodemag(wS,wKS,wT), grid
legend('wS','wKS','wT')

Вычислите оптимальный контроллер MIMO K1 с mixsyn.

[K1,~,gam] = mixsyn(Gnom,wS,wKS,wT);
gam

gam = 0.7166

Оптимальная производительность составляет около 0,7, что указывает на то, что mixsyn легко уложился в границы на $$S,KS,$$T. Замкните цикл обратной связи и постройте график ответа на шаг.

T = feedback(Gnom*K1,eye(2));
step(T,2), grid

Номинальные ответы быстрые с небольшим перепадом.

Поля диска

Чтобы оценить надежность этого контроллера, проверьте маржу диска на входах и выходах установки.

diskmarginplot(K1*Gnom,'b',Gnom*K1,'r--') 
grid
legend('At plant inputs','At plant outputs')

Оба хорошо с около 10 дБ запаса усиления и 50 градусов запаса фазы. Также проверьте границы диска, когда коэффициент усиления и фаза могут изменяться как на входах, так и на выходах установки.

MMIO = diskmargin(Gnom,K1)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.9915 1.0085]
          PhaseMargin: [-0.4863 0.4863]
           DiskMargin: 0.0085
           LowerBound: 0.0085
           UpperBound: 0.0085
            Frequency: 9.9988
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Поля ввода-вывода чрезвычайно малы. В этой первой конструкции также отсутствует надежность. Вы можете подтвердить плохую надежность, вводя наименьшие дестабилизирующие возмущения, возвращаемые diskmargin на входах и выходах установки. (см. diskmargin для получения дополнительной информации о WorstPerturbation поле его выходных структур.)

WP = MMIO.WorstPerturbation;
bode(WP.Input,WP.Output)
title('Smallest destabilizing perturbation')
legend('Input perturbation','Output perturbation')

Tpert = feedback(WP.Output*Gnom*WP.Input*K1,eye(2));
step(Tpert,5)
grid

Ступенчатая реакция продолжает колебаться после начального переходного процесса, указывающего на предельную нестабильность. Убедитесь, что нарушенная система замкнутого контура Tpert имеет полюс на воображаемой оси с критической частотой MMIO.Frequency.

[wn,zeta] = damp(Tpert); 
[~,idx] = min(zeta); 
[zeta(idx) wn(idx) MMIO.Frequency]

ans = 1×3

    0.0000    9.9988    9.9988

Надежная конструкция

Создание неопределенной модели завода с параметром a (частота вращения) изменяется в диапазоне [7 13].

a = ureal('a',10,'range',[7 13]);
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
Gunc = ss(A,B,C,D);

Вы можете использовать musyn разработать надежный контроллер для этой неопределенной установки. Для повышения надежности используйте umargin элемент для моделирования усиления и фазовой неопределенности как на входе, так и на выходе, так что musyn обеспечивает надежность для моделируемого диапазона неопределенности. Предположим, что требуется по крайней мере 2 дБ запаса усиления при каждом вводе-выводе (всего 4 дБ для каждого канала). Если ваш umargin elements model, который весь диапазон вариаций, musyn может не дать хороших результатов, потому что он пытается обеспечить надежную производительность по сравнению с смоделированной неопределенностью, а также надежную стабильность. musyn скорее всего, не может поддерживать желаемую производительность для такого большого изменения коэффициента усиления. Вместо этого масштабируйте целевое значение до 1 дБ изменения коэффициента усиления в каждом вводе-выводе.

GM = 1.1; % about 1 dB
u1 = umargin('u1',GM);
u2 = umargin('u2',GM);
y1 = umargin('y1',GM);
y2 = umargin('y2',GM);
InputMargins = append(u1,u2);
OutputMargins = append(y1,y2);
Gunc = OutputMargins*Gunc*InputMargins;

Дополнить установку весами смешанной чувствительности и использовать musyn для оптимизации надежной производительности для смоделированной неопределенности, которая включает в себя оба параметра a и изменения коэффициента усиления и фазы на входах и выходах установки.

P = augw(Gunc,wS,wKS,wT);
[K2,gam] = musyn(P,2,2);

D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
                       Robust performance               Fit order
-----------------------------------------------------------------
  Iter         K Step       Peak MU       D Fit             D
    1           175.9        2.593        2.606            24
    2            1.21         1.21        1.223            54
    3           1.167        1.167         1.18            50
    4           1.169        1.168        1.174            66
    5            1.17         1.17        1.175            62

Best achieved robust performance: 1.17

Надежная производительность близка к 1, что указывает на то, что контроллер близок к надежному достижению целей смешанной чувствительности. Проверьте запас дисков на заводских вводах-выводах.

MMIO = diskmargin(Gnom,K2)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.6409 1.5602]
          PhaseMargin: [-24.6856 24.6856]
           DiskMargin: 0.4376
           LowerBound: 0.4376
           UpperBound: 0.4456
            Frequency: 2.6184
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Маржа сейчас составляет около 1,6 дБ и 25 градусов, гораздо лучше, чем раньше. Сравните пошаговые ответы с каждым контроллером для 25 выборок неопределенности.

T1 = feedback(Gunc*K1,eye(2));
T2 = feedback(Gunc*K2,eye(2));
rng(0) % for reproducibility
T1s = usample(T1,25);
rng(0)
T2s = usample(T2,25);
opt = timeoptions; 
opt.YLim = {[-1 1.5]};
stepplot(T1s,T2s,4,opt)
grid
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

Вторая конструкция является явным улучшением. Далее сравните функции чувствительности и дополнительной чувствительности.

sigma(eye(2)-T1s,eye(2)-T2s), grid
axis([1e-2 1e4 -80 20])
title('Sensitivity')
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

sigma(T1s,T2s), grid
axis([1e-2 1e4 -80 20])
title('Complementary Sensitivity')
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

В этом примере показано, как использовать umargin неопределенный элемент для улучшения запаса устойчивости как часть надежного синтеза контроллера.