Создание матрицы данных образца y со столбцами, которые являются константами, плюс случайные нормальные возмущения со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

y = meshgrid(1:5);
rng default; % For reproducibility
y = y + normrnd(0,1,5,5)

y = 5×5

    1.5377    0.6923    1.6501    3.7950    5.6715
    2.8339    1.5664    6.0349    3.8759    3.7925
   -1.2588    2.3426    3.7254    5.4897    5.7172
    1.8622    5.5784    2.9369    5.4090    6.6302
    1.3188    4.7694    3.7147    5.4172    5.4889

Выполнить одностороннюю ANOVA.

p = anova1(y)

p = 0.0023

Таблица ANOVA показывает вариацию между группами (Columns) и изменение внутри групп (Error). SS - сумма квадратов, и df - степени свободы. Суммарные степени свободы - общее количество наблюдений минус один, что составляет 25 - 1 = 24. Степенями свободы между группами является число групп минус одна, что равно 5 - 1 = 4. Степени свободы внутри групп - это суммарные степени свободы минус степени свободы между группами, которые равны 24 - 4 = 20.

MS - среднеквадратичная ошибка, которая SS/df для каждого источника изменения. F-статистика представляет собой отношение среднеквадратичных ошибок (13.4309/2.2204). Значение p - это вероятность того, что статистика теста может принять значение, большее, чем значение вычисленной статистики теста, т.е. P (F > 6,05). Малое значение p 0,0023 указывает на то, что различия между столбцами значительны.

Введите данные образца.

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 ...
            78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...
         'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...
         'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

Данные взяты из исследования прочности несущих балок в Хогге (1987). Сила вектора измеряет прогибы пучков в тысячных долях дюйма под 3000 фунтов силы. Векторный сплав идентифицирует каждую балку как сталь ('st'), сплав 1 ('al1'), или сплав 2 ('al2'). Хотя сплав сортируется в этом примере, группирование переменных не требуется.

Проверить нулевую гипотезу о том, что стальные балки по прочности равны балкам, изготовленным из двух более дорогих сплавов. Выключите отображение рисунка и верните результаты ANOVA в массив ячеек.

[p,tbl] = anova1(strength,alloy,'off')

p = 1.5264e-04

tbl=4×6 cell array
  Columns 1 through 5

    {'Source'}    {'SS'      }    {'df'}    {'MS'      }    {'F'       }
    {'Groups'}    {[184.8000]}    {[ 2]}    {[ 92.4000]}    {[ 15.4000]}
    {'Error' }    {[102.0000]}    {[17]}    {[  6.0000]}    {0x0 double}
    {'Total' }    {[286.8000]}    {[19]}    {0x0 double}    {0x0 double}

  Column 6

    {'Prob>F'    }
    {[1.5264e-04]}
    {0x0 double  }
    {0x0 double  }

Суммарные степени свободы - общее количество наблюдений минус один, что равно $\mathrm{}\mathrm{}20-1\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{}$19. Степенями свободы между группами является число групп минус одна, что равно $\mathrm{}\mathrm{}3-1\mathrm{}$= 2. Степени свободы внутри групп - это суммарные степени свободы минус степени свободы между группами, что $\mathrm{}\mathrm{равно}\mathrm{}\mathrm{}\mathrm{19-2}$= 17.

MS - среднеквадратичная ошибка, которая SS/df для каждого источника изменения. F-статистика - это отношение среднеквадратичных ошибок. Значение p - это вероятность того, что статистика теста может принимать значение, большее или равное значению статистики теста. P-значение 1.5264e-04 предполагает отказ от нулевой гипотезы.

Можно получить значения в таблице ANOVA, проиндексировав их в массив ячеек. Сохранение значения F-статистики и значения p в новых переменных Fstat и pvalue.

Fstat = tbl{2,5}

Fstat = 15.4000

pvalue = tbl{2,6}

pvalue = 1.5264e-04

Введите данные образца.

strength = [82 86 79 83 84 85 86 87 74 82 ...
            78 75 76 77 79 79 77 78 82 79];
alloy = {'st','st','st','st','st','st','st','st',...
         'al1','al1','al1','al1','al1','al1',...
         'al2','al2','al2','al2','al2','al2'};

Данные взяты из исследования прочности несущих балок в Хогге (1987). Сила вектора измеряет прогибы пучков в тысячных долях дюйма под 3000 фунтов силы. Векторный сплав идентифицирует каждую балку как сталь (st), сплав 1 (al1), или сплав 2 (al2). Хотя сплав сортируется в этом примере, группирование переменных не требуется.

Выполнение одностороннего ANOVA с использованием anova1. Возврат структуры stats, который содержит статистику multcompare требуется для выполнения нескольких сравнений.

[~,~,stats] = anova1(strength,alloy);

Малое значение p 0,0002 предполагает, что прочность пучков не одинакова.

Выполните многократное сравнение средней прочности балок.

[c,~,~,gnames] = multcompare(stats);

Просмотрите результаты сравнения с соответствующими именами групп.

[gnames(c(:,1)), gnames(c(:,2)), num2cell(c(:,3:6))]

ans=3×6 cell array
  Columns 1 through 5

    {'st' }    {'al1'}    {[ 3.6064]}    {[ 7]}    {[10.3936]}
    {'st' }    {'al2'}    {[ 1.6064]}    {[ 5]}    {[ 8.3936]}
    {'al1'}    {'al2'}    {[-5.6280]}    {[-2]}    {[ 1.6280]}

  Column 6

    {[1.6831e-04]}
    {[    0.0040]}
    {[    0.3560]}

Первые два столбца показывают пару сравниваемых групп. В четвертом столбце показана разница между оцененными значениями группы. Третий и пятый столбцы показывают нижний и верхний пределы для 95% доверительных интервалов истинной разницы средств. Шестой столбец показывает p-значение для гипотезы, что истинная разность средств для соответствующих групп равна нулю.

Первые две строки показывают, что оба сравнения с участием первой группы (стали) имеют доверительные интервалы, которые не включают ноль. Поскольку соответствующие значения p (1,6831e-04 и 0,0040 соответственно) малы, эти различия являются значительными.

Третий ряд показывает, что различия в прочности между двумя сплавами незначительны. 95% доверительный интервал для разницы составляет [-5,6,1.6], поэтому нельзя отвергнуть гипотезу о том, что истинная разница равна нулю. Соответствующее значение p 0,3560 в шестом столбце подтверждает этот результат.

На чертеже синяя полоса представляет интервал сравнения средней прочности материала для стали. Красные полосы представляют интервалы сравнения средней прочности материала для сплава 1 и сплава 2. Ни один из красных стержней не перекрывается с синим стержнем, что указывает на то, что средняя прочность материала для стали значительно отличается от средней прочности материала сплава 1 и сплава 2. Чтобы подтвердить значительную разницу, щелкните на стержнях, представляющих сплав 1 и 2.