Распределение половинной нормы

Обзор

Распределение полунормы является частным случаем сложенного нормального и усеченного нормального распределения. Некоторые применения распределения полунормы включают моделирование данных измерений и данных о сроке службы.

Параметры

Распределение половинной нормы использует следующие параметры:

Параметр	Описание
$−∞<μ<∞$	Параметр местоположения
$σ≥0$	Параметр масштаба

Поддержка полунормального распределения составляет x ≥ λ.

Использовать makedist с заданными значениями параметров для создания объекта распределения вероятности половинной нормы HalfNormalDistribution. Использовать fitdist для подгонки объекта распределения вероятности с половинной нормой к данным выборки. Использовать mle для оценки значений полупостоянного параметра распределения из данных выборки без создания объекта распределения вероятности. Дополнительные сведения о работе с распределениями вероятностей см. в разделе Работа с распределениями вероятностей.

Реализация Toolbox™ статистики и машинного обучения распределения полунормальных значений предполагает фиксированное значение для параметра местоположения, Поэтому ни то, ни другое fitdist ни mle оценивает значение параметра λ при подгонке распределения полунормы к данным выборки. Можно указать значение для параметра, используя аргумент пары «имя-значение» 'mu'. Значение по умолчанию для 'mu' аргумент равен 0 в обоих fitdist и mle.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) полупостоянного распределения

$y = f (x 'λ, \sqrt{\frac{}{λ}} \frac{)}{} =^{\frac{}{} {\frac{2xeon1, e}{-}}^{}} 12 (x -$ мк, ()) 2; x≥μ,

где λ - параметр местоположения, а λ - параметр шкалы. Если x ≤ λ, то pdf не определен.

Чтобы вычислить pdf распределения половинной нормы, создайте HalfNormalDistribution объект распределения вероятностей с использованием fitdist или makedist, затем используйте pdf метод работы с объектом.

PDF полупостоянного распределения вероятностей

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано изменение значений mu и sigma параметры изменяют форму pdf.

Создайте четыре объекта распределения вероятностей с различными параметрами.

pd1 = makedist('HalfNormal');
pd2 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',2);
pd3 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',3);
pd4 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',5);

Вычислите функции плотности вероятности (pdfs) каждого распределения.

x = 0:0.1:10;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);
pdf4 = pdf(pd4,x);

Постройте график pdfs на том же рисунке.

figure;
plot(x,pdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,pdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'mu = 0, sigma = 1','mu = 0, sigma = 2',...
    'mu = 0, sigma = 3','mu = 0, sigma = 5'},'Location','NE');
hold off;

Figure contains an axes. The axes contains 4 objects of type line. These objects represent mu = 0, sigma = 1, mu = 0, sigma = 2, mu = 0, sigma = 3, mu = 0, sigma = 5.

Как sigma увеличивается, кривая распрямляется, и пиковое значение становится меньше.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) полунормального распределения

$y=F (x) \frac{=erf}{\sqrt{}} (x−μ2σ) \frac{=2Φ}{} (x−μσ) −1;$ x ≥μ,

где λ - параметр местоположения, λ - параметр масштаба, erf (•) - функция ошибки, а Start( •) - cdf стандартного нормального распределения. Если x ≤ λ, то cdf не определен.

Чтобы вычислить cdf полунормального распределения, создайте HalfNormalDistribution объект распределения вероятностей с использованием fitdist или makedist, затем используйте cdf метод работы с объектом.

CDF полупостоянного распределения вероятностей

Открыть сценарий в реальном времени

В этом примере показано изменение значений mu и sigma параметры изменяют форму cdf.

Создайте четыре объекта распределения вероятностей с различными параметрами.

pd1 = makedist('HalfNormal');
pd2 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',2);
pd3 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',3);
pd4 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',5);

Вычислите кумулятивные функции распределения (cdfs) для каждого распределения вероятности.

x = 0:0.1:10;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);
cdf4 = cdf(pd4,x);

Постройте график всех четырех cdfs на одном рисунке.

figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,cdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'mu = 0, sigma = 1','mu = 0, sigma = 2',...
    'mu = 0, sigma = 3','mu = 0, sigma = 5'},'Location','SE');
hold off;

Figure contains an axes. The axes contains 4 objects of type line. These objects represent mu = 0, sigma = 1, mu = 0, sigma = 2, mu = 0, sigma = 3, mu = 0, sigma = 5.

Как sigma увеличивается, кривая cdf сплющивается.

Описательная статистика

Среднее распределение полунормальных значений

$mean = (среднее значение \sqrt{\frac{}{}}$ )

где λ - параметр местоположения, а λ - параметр шкалы.

Дисперсией распределения полунормы является

$var =^{} start2 \frac{(}{1} −$ 2δ),

где λ - параметр шкалы.

Связь с другими дистрибутивами

Если случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение со средним, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, тогда $X = λ +$ λ 'Z | имеет полупостоянное распределение с параметрами λ и λ.

Ссылки

[1] Курей, К. и М.М.А. Ананда. «Обобщение наполовину нормального распределения с приложениями к данным о времени жизни». Коммуникации в статистике - теория и методы. Том 37, номер 9, 2008, стр. 1323-1337.

[2] Пьюси, А. «Вывод большого образца для общего полупостоянного распределения». Коммуникации в статистике - теория и методы. Том 31, номер 7, 2002, стр. 1045-1054.

См. также

HalfNormalDistribution

Документация