Загрузите образцы данных.

load carbig

Переменная MPG имеет мили на галлон для различных моделей автомобилей.

Нарисовать гистограмму MPG данные.

 histogram(MPG)

Распределение несколько правильно искажено. Симметричное распределение, такое как нормальное распределение, может быть неправильным.

Оценка параметров распределения Burr Type XII для MPG данные.

phat = mle(MPG,'distribution','burr')

phat = 1×3

   34.6447    3.7898    3.5722

Максимальные оценки правдоподобия для параметра шкалы α составляют 34,6447. Оценки для двух параметров $$\mathrm{формы\; c}$$ и $$k$$ распределения типа Burr XII составляют 3,7898 и 3,5722 соответственно.

Создайте данные выборки размера 1000 из нецентрального распределения хи-квадрат со степенями свободы 8 и параметром нецентральности 3.

rng default % for reproducibility
x = ncx2rnd(8,3,1000,1);

Оцените параметры нецентрального распределения хи-квадрат по данным выборки. Для этого пользовательское определение нецентрального хи-квадрата pdf с помощью pdf входной аргумент.

[phat,pci] = mle(x,'pdf',@(x,v,d)ncx2pdf(x,v,d),'start',[1,1])

phat = 1×2

    8.1052    2.6693

pci = 2×2

    7.1120    1.6025
    9.0983    3.7362

Оценка степеней свободы равна 8.1052, а параметр нецентральности - 2.6693. 95% доверительный интервал для степеней свободы составляет (7,1121,9,0983), а параметр нецентральности - (1,6025,3,7362). Доверительные интервалы включают истинные значения параметров 8 и 3 соответственно.

Загрузите образцы данных.

load('readmissiontimes.mat');

Данные включают ReadmissionTime, которое имеет время реадмиссии для 100 пациентов. Вектор столбца Censored имеет цензурную информацию для каждого пациента, где 1 указывает цензурное наблюдение, а 0 указывает точное время реадмиссии. Это смоделированные данные.

Определите пользовательскую плотность вероятности и кумулятивную функцию распределения.

custpdf = @(data,lambda) lambda*exp(-lambda*data);
custcdf = @(data,lambda) 1-exp(-lambda*data);

Оцените параметр, lambda, пользовательского распределения для цензурированных выборочных данных.

phat = mle(ReadmissionTime,'pdf',custpdf,'cdf',custcdf,'start',0.05,'Censoring',Censored)

phat = 0.1096

Загрузите образцы данных.

load('readmissiontimes.mat');

Данные включают ReadmissionTime, которое имеет время реадмиссии для 100 пациентов. Вектор столбца Censored имеет цензурную информацию для каждого пациента, где 1 указывает цензурное наблюдение, а 0 указывает точное время реадмиссии. Это смоделированные данные.

Определите пользовательскую логарифмическую плотность вероятности и функцию выживания.

custlogpdf = @(data,lambda,k) log(k)-k*log(lambda)+(k-1)*log(data)-(data/lambda).^k;
custlogsf = @(data,lambda,k) -(data/lambda).^k;

Оцените параметры, lambda и k, пользовательского распределения для цензурированных выборочных данных.

phat = mle(ReadmissionTime,'logpdf',custlogpdf,'logsf',custlogsf,...
    'start',[1,0.75],'Censoring',Censored)

phat = 1×2

    9.2090    1.4223

Параметры масштаба и формы пользовательского распределения - 9.2090 и 1.4223 соответственно.

Загрузите образцы данных.

load('readmissiontimes.mat')

Данные включают ReadmissionTime, которое имеет время реадмиссии для 100 пациентов. Это смоделированные данные.

Определите функцию отрицательного логарифмического правдоподобия.

custnloglf = @(lambda,data,cens,freq) - length(data)*log(lambda) + sum(lambda*data,'omitnan');

Оцените параметры определенного распределения.

phat = mle(ReadmissionTime,'nloglf',custnloglf,'start',0.05)

phat = 0.1462

Создайте 100 случайных наблюдений из биномиального распределения с числом испытаний, $$n$$ = 20, и вероятностью успеха, $$p$$ = 0,75.

data = binornd(20,0.75,100,1);

Оцените вероятность успеха и 95% доверительные пределы, используя смоделированные данные выборки.

[phat,pci] = mle(data,'distribution','binomial','alpha',.05,'ntrials',20)

phat = 0.7615

pci = 2×1

    0.7422
    0.7800

Оценка вероятности успеха составляет 0,7615, а нижний и верхний пределы 95% доверительного интервала составляют 0,7422 и 0,78. Этот интервал охватывает истинное значение, используемое для моделирования данных.

Создайте данные выборки размера 1000 из нецентрального распределения хи-квадрат со степенями свободы 10 и параметром нецентральности 5.

rng default % for reproducibility
x = ncx2rnd(10,5,1000,1);

Предположим, что параметр noncentrality зафиксирован значением 5. Оцените степени свободы нецентрального распределения хи-квадрат по данным выборки. Для этого пользовательское определение нецентрального хи-квадрата pdf с помощью pdf входной аргумент.

[phat,pci] = mle(x,'pdf',@(x,v,d)ncx2pdf(x,v,5),'start',1)

phat = 9.9307

pci = 2×1

    9.5626
   10.2989

Оценка для параметра нецентральности составляет 9,9307, с 95% доверительным интервалом 9,5626 и 10,2989. Доверительный интервал включает в себя истинное значение параметра, равное 10.

Создайте данные выборки размера 1000 из распределения Rician с параметром нецентральности 8 и параметром масштаба 5. Сначала создайте дистрибутив Rician.

r = makedist('Rician','s',8,'sigma',5);

Теперь создайте образец данных из созданного выше распределения.

rng default % For reproducibility
x = random(r,1000,1);

Предположим, что параметр масштаба известен, и оцените параметр нецентральности по данным выборки. Для этого используйте mle, необходимо задать пользовательскую функцию плотности вероятности Rician.

[phat,pci] = mle(x,'pdf',@(x,s,sigma) pdf('rician',x,s,5),'start',10)

phat = 7.8953

pci = 2×1

    7.5405
    8.2501

Оценка для параметра нецентральности составляет 7,8953, с 95% доверительным интервалом 7,5404 и 8,2501. Доверительный интервал включает истинное значение параметра, равное 8.

Добавьте параметр масштаба в распределение хи-квадрат для адаптации к масштабу данных и подгоните его. Во-первых, сформировать данные выборки размера 1000 из распределения хи-квадрат со степенями свободы 5 и масштабировать их в 100 раз.

rng default % For reproducibility
x = 100*chi2rnd(5,1000,1);

Оцените степени свободы и коэффициент масштабирования. Для этого пользователь определяет функцию плотности вероятности хи-квадрат с помощью pdf входной аргумент. Для функции плотности требуется $$\mathrm{}$$коэффициент 1/с для данных, масштабированных на $$s$$.

[phat,pci] = mle(x,'pdf',@(x,v,s)chi2pdf(x/s,v)/s,'start',[1,200])

phat = 1×2

    5.1079   99.1681

pci = 2×2

    4.6862   90.1215
    5.5297  108.2146

Оценка степеней свободы составляет 5.1079, а шкала 99.1681. Доверительный интервал 95% для степеней свободы равен (4,6862,5,5279), а параметр масштаба - (90.1215 108.2146). Доверительные интервалы включают истинные значения параметров 5 и 100 соответственно.