Поиск MLE набора данных с цензурой с помощью normfit, а затем найти отрицательную логику MLE, используя normlike.

Загрузите образцы данных.

load lightbulb

Первый столбец данных содержит срок службы (в часах) двух типов лампочек. Второй столбец содержит двоичную переменную, указывающую, является ли колба флуоресцентной или накаливающей. 1 показывает, что колба является флуоресцентной, и 0 указывает, что колба является накаливающей. Третий столбец содержит цензурную информацию, где 0 указывает, что лампочка наблюдается до отказа, а 1 указывает, что элемент (лампочка) подвергается цензуре.

Найдите индексы флуоресцентных лампочек.

idx = find(lightbulb(:,2) == 0);

Найдите MLE параметров нормального распределения. Второй входной аргумент normfit определяет уровень достоверности. Пройти внутрь [] для использования значения по умолчанию 0,05. Третий входной аргумент указывает цензурную информацию.

censoring = lightbulb(idx,3) == 1;
[muHat,sigmaHat] = normfit(lightbulb(idx,1),[],censoring)

muHat = 9.4966e+03

sigmaHat = 3.0640e+03

Найдите отрицательную логику MLE.

nlogL = normlike([muHat,sigmaHat],lightbulb(idx,1),censoring)

nlogL = 376.2305

Функция normfit находит среднее значение выборки и квадратный корень несмещенного оценщика дисперсии без цензуры. Среднее значение выборки равно MLE среднего параметра, но квадратный корень несмещенного оценщика дисперсии не равен MLE параметра стандартного отклонения.

Поиск параметров нормального распределения с помощью normfit, преобразовать их в MLE, а затем сравнить отрицательный log вероятностей оценок с помощью normlike.

Создайте 100 нормальных случайных чисел из стандартного нормального распределения.

rng('default') % For reproducibility
n = 100;
x = normrnd(0,1,[n,1]);

Найдите среднее значение выборки и квадратный корень несмещенного оценщика дисперсии.

[muHat,sigmaHat] = normfit(x)

muHat = 0.1231

sigmaHat = 1.1624

Преобразуйте квадратный корень несмещенного оценщика дисперсии в MLE параметра стандартного отклонения.

sigmaHat_MLE = sqrt((n-1)/n)*sigmaHat

sigmaHat_MLE = 1.1566

Разница между sigmaHat и sigmaHat_MLE ничтожно мало для больших n.

Кроме того, можно найти MLE с помощью функции. mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    0.1231    1.1566

phat(1) и phat(2) - MLE среднего значения и параметра стандартного отклонения соответственно.

Подтвердите, что вероятность регистрации MLE (muHat и sigmaHat_MLE) больше логарифмической вероятности непредвзятых оценщиков (muHat и sigmaHat) с помощью normlike функция.

logL = -normlike([muHat,sigmaHat],x)

logL = -156.4424

logL_MLE = -normlike([muHat,sigmaHat_MLE],x)

logL_MLE = -156.4399

Найдите оценки максимального правдоподобия (MLE) параметров нормального распределения, а затем найдите доверительный интервал соответствующего обратного значения cdf.

Создайте 1000 нормальных случайных чисел из нормального распределения со средним значением 5 и стандартным отклонением 2.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,[n,1]);

Поиск MLE для параметров распределения (среднее и стандартное отклонение) с помощью mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

Оценка ковариации параметров распределения с помощью normlike. Функция normlike возвращает аппроксимацию к асимптотической ковариационной матрице, если передать MLE и выборки, используемые для оценки MLE.

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

Найдите обратное значение cdf на уровне 0,5 и его 99% доверительный интервал.

[x,xLo,xUp] = norminv(0.5,muHat,sigmaHat,pCov,0.01)

x = 4.9347

xLo = 4.7721

xUp = 5.0974

x - обратное значение cdf, использующее нормальное распределение с параметрами muHat и sigmaHat. Интервал [xLo,xUp] - 99% доверительный интервал обратного значения cdf, оцениваемого как 0,5, учитывая неопределенность muHat и sigmaHat использование pCov. 99% доверительный интервал означает вероятность того, что [xLo,xUp] содержит истинное обратное значение cdf, равное 0,99.