Exponenta Banner
exponenta event banner

chebyshevT

Многочлены Чебышёва первого рода

свернуть все на странице

Синтаксис

чебышевТ (n, x)

Описание

пример

chebyshevT(n,x) представляет nмногочлен Чебышева первой степени в точке x.

Примеры

Первые пять чебышёвских многочленов первого рода

Найти первые пять многочленов Чебышёва первого рода для переменной x.

syms x
chebyshevT([0, 1, 2, 3, 4], x)
ans =
[ 1, x, 2*x^2 - 1, 4*x^3 - 3*x, 8*x^4 - 8*x^2 + 1]

Многочлены Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevT возвращает результаты с плавающей запятой или точные символьные результаты.

Найдите значение многочлена Чебышёва пятой степени первого рода в этих точках. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, chebyshevT возвращает результаты с плавающей запятой.

chebyshevT(5, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])
ans =
    0.7428    0.9531    0.9918    0.5000   -0.4856   -0.8906

Найдите значение полинома Чебышева пятой степени первого рода для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для символьных чисел: chebyshevT возвращает точные символьные результаты.

chebyshevT(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))
ans =
[ 361/486, 61/64, 241/243, 1/2, -118/243, -57/64]

Вычислить полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей запятой многочленов Чебышева прямыми вызовами chebyshevT численно стабилен. Однако сначала вычисление многочлена с использованием символьной переменной, а затем подстановка значений точности переменной в это выражение может быть численно нестабильным.

Найти значение многочлена Чебышева 500-й степени первого рода в 1/3 и vpa(1/3). Вычисление с плавающей запятой численно стабильно.

chebyshevT(500, 1/3)
chebyshevT(500, vpa(1/3))
ans =
    0.9631
 
ans =
0.963114126817085233778571286718

Теперь найдите символический многочлен T500 = chebyshevT(500, x), и заменить x = vpa(1/3) в результат. Этот подход является численно нестабильным.

syms x
T500 = chebyshevT(500, x);
subs(T500, x, vpa(1/3))
ans =
-3293905791337500897482813472768.0

Аппроксимировать коэффициенты многочлена с помощью vpa, а затем заменить x = sym(1/3) в результат. Этот подход также является численно нестабильным.

subs(vpa(T500), x, sym(1/3))
ans =
1202292431349342132757038366720.0

Сюжет Чебышёвских многочленов первого рода

Постройте первые пять многочленов Чебышёва первого рода.

syms x y
fplot(chebyshevT(0:4,x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('T_n(x)')
legend('T_0(x)','T_1(x)','T_2(x)','T_3(x)','T_4(x)','Location','Best')
title('Chebyshev polynomials of the first kind')

Figure contains an axes. The axes with title Chebyshev polynomials of the first kind contains 5 objects of type functionline. These objects represent T_0(x), T_1(x), T_2(x), T_3(x), T_4(x).

Входные аргументы

свернуть все

Степень многочлена, определяемая как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка вычисления, заданная как число, символьное число, переменная, выражение или функция, либо как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Подробнее

свернуть все

Чебышёвские многочлены первого рода

  • Многочлены Чебышёва первого рода определяются как Tn (x) = cos (n * arccos (x)).

    Эти многочлены удовлетворяют формуле рекурсии

    T (0, x) = 1, T (1, x) = x, T (n, x) = 2 x T (n − 1, x) − T (n − 2, x)

  • Многочлены Чебышёва первого рода ортогональны на интервале -1 ≤ x ≤ 1 относительно весовой функции w (x) = 11 − x2.

    ∫−11T (n, x) T (m, x) 1 − x2 dx = { 0if n≠mπif n = m = 0ā2, если n=m≠0.

  • Многочлены Чебышёва первого рода - особые случаи многочленов Якоби

    T (n, x) = 22n (n!) 2 (2n)! P (n, − 12, − 12, x)

    и многочлены Гегенбауэра

    T (n, x) ={12lima→0n+aaG (n, a , x), если n≠0lima→0G (0, a, x) = 1, если n = 0

Совет

  • chebyshevT возвращает результаты с плавающей запятой для числовых аргументов, не являющихся символьными объектами.

  • chebyshevT действует элементарно на нескалярные входы.

  • По крайней мере один входной аргумент должен быть скаляром, либо оба аргумента должны быть векторами или матрицами одного размера. Если один входной аргумент является скаляром, а другой - вектором или матрицей, то chebyshevT расширяет скаляр в вектор или матрицу того же размера, что и другой аргумент со всеми элементами, равными этому скаляру.

Ссылки

[1] Хохштрассер, У. В. «Ортогональные многочлены». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Стегун, ред.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Коул, Говард С. и Коннор Маккензи. «Обобщения и специализации генерирующих функций для полиномов Якоби, Гегенбауэра, Чебышева и Лежандра с определёнными интегралами». Журнал классического анализа, № 1 (2013): 17-33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

См. также

| | | | |

Представлен в R2014b

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка