Exponenta Banner
exponenta event banner

gegenbauerC

Многочлены Гегенбауэра

свернуть все на странице

Синтаксис

gegenbauerC (n, a, x)

Описание

пример

gegenbauerC(n,a,x) представляет nполином Гегенбауэра (ультразвуковой) с параметром a в точке x.

Примеры

Первые четыре полинома Гегенбауэра

Найти первые четыре полинома Гегенбауэра для параметра a и переменная x.

syms a x
gegenbauerC([0, 1, 2, 3], a, x)
ans =
[ 1, 2*a*x, (2*a^2 + 2*a)*x^2 - a,...
((4*a^3)/3 + 4*a^2 + (8*a)/3)*x^3 + (- 2*a^2 - 2*a)*x]

Полиномы Гегенбауэра для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, gegenbauerC возвращает результаты с плавающей запятой или точные символьные результаты.

Найти значение полинома Гегенбауэра пятой степени для параметра a = 1/3 в этих точках. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, gegenbauerC возвращает результаты с плавающей запятой.

gegenbauerC(5, 1/3, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])
ans =
    0.1520    0.1911    0.1914    0.0672   -0.1483   -0.2188

Найдите значение полинома Гегенбауэра пятой степени для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для символьных чисел: gegenbauerC возвращает точные символьные результаты.

gegenbauerC(5, 1/3, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))
ans =
[ 26929/177147, 4459/23328, 33908/177147, 49/729, -26264/177147, -7/32]

Вычислить полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка полиномов Гегенбауэра с плавающей запятой прямыми вызовами gegenbauerC численно стабилен. Однако сначала вычисление многочлена с использованием символьной переменной, а затем подстановка значений точности переменной в это выражение может быть численно нестабильным.

Найти значение многочлена Гегенбауэра 500-й степени для параметра 4 в 1/3 и vpa(1/3). Вычисление с плавающей запятой численно стабильно.

gegenbauerC(500, 4, 1/3)
gegenbauerC(500, 4, vpa(1/3))
ans =
  -1.9161e+05
 
ans =
-191609.10250897532784888518393655

Теперь найдите символический многочлен C500 = gegenbauerC(500, 4, x), и заменить x = vpa(1/3) в результат. Этот подход является численно нестабильным.

syms x
C500 = gegenbauerC(500, 4, x);
subs(C500, x, vpa(1/3))
ans =
-8.0178726380235741521208852037291e+35

Аппроксимировать коэффициенты многочлена с помощью vpa, а затем заменить x = sym(1/3) в результат. Этот подход также является численно нестабильным.

subs(vpa(C500), x, sym(1/3))
ans =
-8.1125412405858470246887213923167e+36

Построить полиномы Гегенбауэра

Постройте график первых пяти полиномов Гегенбауэра для параметра a = 3.

syms x y
fplot(gegenbauerC(0:4,3,x))
axis([-1 1 -10 10])
grid on

ylabel('G_n^3(x)')
title('Gegenbauer polynomials')
legend('G_0^3(x)', 'G_1^3(x)', 'G_2^3(x)', 'G_3^3(x)', 'G_4^3(x)',...
                                               'Location', 'Best')

Figure contains an axes. The axes with title Gegenbauer polynomials contains 5 objects of type functionline. These objects represent G_0^3(x), G_1^3(x), G_2^3(x), G_3^3(x), G_4^3(x).

Входные аргументы

свернуть все

Степень многочлена, определяемая как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Параметр, заданный как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка вычисления, заданная как число, символьное число, переменная, выражение или функция, либо как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Подробнее

свернуть все

Полиномы Гегенбауэра

  • Полиномы Гегенбауэра определяются этой формулой рекурсии.

    G (0, a, x) = 1, G (1, a, x) = 2ax, G (n, a, x) = 2x (n + a − 1) nG (n − 1, a, x) − n + 2a − 2nG (n − 2, a, x)

  • Для всех вещественных a > -1/2 многочлены Гегенбауэра ортогональны на интервале -1 ≤ x ≤ 1 относительно весовой функции w (x) = (1 − x2) a − 12.

    ∫−11G (n, a, x) G (m, a, x) (1 − x2) a − 1/2 dx = {0if n≠mπ 21 − 2a Γ (n + 2a) n! (n + a) (Γ (a)) 2 если n = m.

  • Многочлены Чебышёва первого и второго видов - особые случаи многочленов Гегенбауэра.

    T (n, x) ={12lima→0n+aaG (n, a , x), если n≠0lima→0G (0, a, x) = 1, если n = 0

    U (n, x) = G (n, 1, x)

  • Многочлены Легендра также являются частным случаем многочленов Гегенбауэра.

    P (n, x) = G (n, 12, x)

Совет

  • gegenbauerC возвращает результаты с плавающей запятой для числовых аргументов, не являющихся символьными объектами.

  • gegenbauerC действует элементарно на нескалярные входы.

  • Все нескалярные аргументы должны иметь одинаковый размер. Если один или два входных аргумента не являются скалярными, то gegenbauerC разворачивает скаляры на векторы или матрицы того же размера, что и нескалярные аргументы, со всеми элементами, равными соответствующему скаляру.

Ссылки

[1] Хохштрассер, У. В. «Ортогональные многочлены». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Стегун, ред.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Коул, Говард С. и Коннор Маккензи. «Обобщения и специализации генерирующих функций для полиномов Якоби, Гегенбауэра, Чебышева и Лежандра с определёнными интегралами». Журнал классического анализа, № 1 (2013): 17-33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

См. также

| | | | |

Представлен в R2014b

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка