Первые пять многочленов Чебышёва второго рода

Найти первые пять многочленов Чебышёва второго рода для переменной x.

syms x
chebyshevU([0, 1, 2, 3, 4], x)

ans =
[ 1, 2*x, 4*x^2 - 1, 8*x^3 - 4*x, 16*x^4 - 12*x^2 + 1]

Многочлены Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevU возвращает результаты с плавающей запятой или точные символьные результаты.

Найдите значение многочлена Чебышёва пятой степени второго рода в этих точках. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, chebyshevU возвращает результаты с плавающей запятой.

chebyshevU(5, [1/6, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5])

ans =
    0.8560    0.9465    0.0000   -1.2675   -1.0982

Найдите значение многочлена Чебышева пятой степени второго рода для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для символьных чисел: chebyshevU возвращает точные символьные результаты.

chebyshevU(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 4/5]))

ans =
[ 208/243, 33/32, 230/243, 0, -308/243, -3432/3125]

Вычислить полиномы Чебышева с числами с плавающей запятой

Оценка с плавающей запятой многочленов Чебышева прямыми вызовами chebyshevU численно стабилен. Однако сначала вычисление многочлена с использованием символьной переменной, а затем подстановка значений точности переменной в это выражение может быть численно нестабильным.

Найти значение многочлена Чебышева 500-й степени второго рода в 1/3 и vpa(1/3). Вычисление с плавающей запятой численно стабильно.

chebyshevU(500, 1/3)
chebyshevU(500, vpa(1/3))

ans =
    0.8680
 
ans =
0.86797529488884242798157148968078

Теперь найдите символический многочлен U500 = chebyshevU(500, x), и заменить x = vpa(1/3) в результат. Этот подход является численно нестабильным.

syms x
U500 = chebyshevU(500, x);
subs(U500, x, vpa(1/3))

ans =
63080680195950160912110845952.0

Аппроксимировать коэффициенты многочлена с помощью vpa, а затем заменить x = sym(1/3) в результат. Этот подход также является численно нестабильным.

subs(vpa(U500), x, sym(1/3))

ans =
-1878009301399851172833781612544.0

Сюжет Чебышёвских многочленов второго рода

Постройте первые пять многочленов Чебышёва второго рода.

syms x y
fplot(chebyshevU(0:4, x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('U_n(x)')
legend('U_0(x)', 'U_1(x)', 'U_2(x)', 'U_3(x)', 'U_4(x)', 'Location', 'Best')
title('Chebyshev polynomials of the second kind')