Поиск многочленов Якоби для числовых и символьных входных данных

Найти многочлен Якоби степени 2 для числовых входных данных.

jacobiP(2,0.5,-3,6)

ans =
    7.3438

Найдите многочлен Якоби для символьных входных данных.

syms n a b x
jacobiP(n,a,b,x)

ans =
jacobiP(n, a, b, x)

Если степень многочлена Якоби не указана, jacobiP не удается найти многочлен и возвращает вызов функции.

Укажите степень многочлена Якоби как 1 для возврата формы многочлена.

J = jacobiP(1,a,b,x)

J =
a/2 - b/2 + x*(a/2 + b/2 + 1)

Чтобы найти числовое значение многочлена Якоби, вызовите jacobiP непосредственно с числовыми значениями. Не подставляйте в символический многочлен, поскольку результат может быть неточным из-за скругления. Протестируйте это с помощью subs подставлять в символический многочлен и сравнивать результат с числовым вызовом.

J = jacobiP(300, -1/2, -1/2, x);
subs(J,x,vpa(1/2))
jacobiP(300, -1/2, -1/2, vpa(1/2))

ans =
101573673381249394050.64541318209
ans =
0.032559931334979678350422392588404

Когда subs используется для подстановки в символический многочлен, числовой результат подвержен ошибке округления. Прямой цифровой вызов jacobiP является точным.

Поиск полинома Якоби с векторными и матричными входами

Найти многочлены Якоби степеней 1 и 2 путем установки n = [1 2] для a = 3 и b = 1.

syms x
jacobiP([1 2],3,1,x)

ans =
[ 3*x + 1, 7*x^2 + (7*x)/2 - 1/2]

jacobiP действия в отношении n для возврата вектора с двумя записями.

Если в качестве вектора, матрицы или многомерного массива указано несколько входов, эти входы должны иметь одинаковый размер. Найти многочлены Якоби для a = [1 2;3 1], b = [2 2;1 3], n = 1 и x.

a = [1 2;3 1];
b = [2 2;1 3];
J = jacobiP(1,a,b,x)

J =
[ (5*x)/2 - 1/2,     3*x]
[       3*x + 1, 3*x - 1]

jacobiP действует по элементам на a и b для возврата матрицы того же размера, что и a и b.

Визуализация нулей многочленов Якоби

Постройте график многочленов Якоби степени 1, 2, и 3 для a = 3, b = 3, и -1<x<1. Для лучшего просмотра графика задайте пределы оси с помощью axis.

syms x
fplot(jacobiP(1:3,3,3,x))
axis([-1 1 -2 2])
grid on

ylabel('P_n^{(\alpha,\beta)}(x)')
title('Zeros of Jacobi polynomials of degree=1,2,3 with a=3 and b=3');
legend('1','2','3','Location','best')

Доказать ортогональность полиномов Якоби в отношении веса функции

Многочлены Якоби P (n, a, b, x) ортогональны относительно весовой $${\mathrm{}функции(}^1{\mathrm{-}x)}^{}$$a (1 − x) b на интервале[-1,1].

Докажи, что P (3, a, b, x) и P (5, a, b, x) ортогональны по отношению к весовой $${\mathrm{}}^{}{функции\mathrm{}(1}^{-}$$ x) a (1 − x) b, интегрировав их произведение за интервал[-1,1], где a = 3.5 и b = 7.2.

syms x
a = 3.5;
b = 7.2;
P3 = jacobiP(3, a, b, x);
P5 = jacobiP(5, a, b, x);
w = (1-x)^a*(1+x)^b;
int(P3*P5*w, x, -1, 1)

ans =
0