Пассивные системы

Линейная система G (s) пассивна, когда все траектории ввода-вывода$$(u(t),y(t))$$ удовлетворить

где $$y^T(t)$$ обозначает транспонирование $$y(t)$$.

Чтобы измерить «насколько пассивна» система, мы используем индексы пассивности.

Система G является «входом строго пассивным» (ISP), когда $$\nu >0$$. $$\nu$$ называется также индексом «входной пассивности с feedforward» (IFP) и соответствует минимальному действию с feedforward, необходимому для того, чтобы сделать систему пассивной.

Система G «выводит строго пассивно» (OSP), когда $$\rho >0$$. $$\rho$$ называется также индексом «пассивности обратной связи выхода» (OFP) и соответствует минимальному действию обратной связи, необходимому для того, чтобы сделать систему пассивной.

Система является «очень строго пассивной» (VSP), если $$\tau >0$$.

Пример схемы

Рассмотрим следующий пример. Берем ток $$I$$ как вход и напряжение $$V$$ в качестве выхода. Основываясь на законе тока и напряжения Кирхгофа, мы получаем передаточную функцию для $$G(s)$$,

Давайте $$R=2$$, $$L=1$$ и $$C=0.1$$.

R = 2; L = 1; C = 0.1; 
s = tf('s');
G = (L*s+R)*(R*s+1/C)/(L*s^2 + 2*R*s+1/C);

Использование isPassive чтобы проверить, является ли $$G(s)$$ является пассивным.

PF = isPassive(G)

PF = logical
   1

Поскольку PF = true, $$G(s)$$ является пассивным. Использование getPassiveIndex для вычисления индексов пассивности $$G(s)$$.

% Input passivity index
nu = getPassiveIndex(G,'in')

nu = 2

% Output passivity index
rho = getPassiveIndex(G,'out')

rho = 0.2857

% I/O passivity index
tau = getPassiveIndex(G,'io')

tau = 0.2642

С тех пор $$\tau >0$$, систему $$G(s)$$ очень строго пассивно.

Характеристика частотного диапазона

Линейная система пассивна тогда и только тогда, когда она «положительно реально»:

Наименьшее собственное значение левой стороны связано с входом индексом пассивности $$\nu$$:

где $${\lambda }_{\min }$$ обозначает наименьшее собственное значение. Точно так же, когда $$G(s)$$ является минимальной фазой, выход индекс пассивности задается:

Проверьте это для примера схемы. Постройте график Годографа Найквиста передаточной функции схемы.

nyquist(G)

Весь годограф Найквиста лежит в правой-половинной плоскости так $$G(s)$$ положительно реально. Крайняя левая точка кривой Найквиста $$(x,y)=(2,0)$$ поэтому входной индекс пассивности $$\nu =2$$, то же значение, которое мы получили ранее. Точно так же самая левая точка на кривой Найквиста для $$G^{-1}(s)$$ задает выход значение индекса пассивности $$\rho =0.286$$.

Относительный индекс пассивности

Можно показать, что «положительное реальное» условие

эквивалентно малому условию усиления

Относительный индекс пассивности (R-индекс) является пиковым коэффициентом усиления по частоте $$(I-G)(I+G{)}^{-1}$$ когда $$I+G$$ является минимальной фазой, и $$+\infty$$ в противном случае:

Во временном интервале R-индекс является наименьшим $$r>0$$ таким, что

Система $$G(s)$$ пассивен тогда и только тогда, когда $$R<1$$, и меньшее $$R$$ тем более пассивна система. Использование getPassiveIndex для вычисления R-индекса для примера схемы.

R = getPassiveIndex(G)

R = 0.5556

Получающееся $$R$$ значение указывает, что схема является очень пассивной системой.