optByMertonFFT

Опционная цена по Merton76 модели с использованием FFT и FRFT

Синтаксис

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq)

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(___,Name,Value)

Описание

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq) вычисляет стоимость ванильной европейской опции по Merton76 модели, используя методы Carr-Madan FFT и Chourdakis FRFT.

пример

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(___,Name,Value) добавляет необязательные аргументы пары "имя-значение".

Примеры

свернуть все

Рабочий процесс для Графического изображения поверхности Опции цены с помощью модели Merton76

Открыть Live Script

Использование optByMertonFFT чтобы калибровать БПФ страйк-сетку, вычислите цены на опцию и постройте опцию поверхность цены.

Задайте переменные опции и Merton76 параметры модели

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

Sigma = 0.16;
MeanJ = 0.02;
JumpVol = 0.08;
JumpFreq = 2;

Вычислите цены на Опцию для всего БПФ (или FRFT) ударной сетки, не указывая «забастовка»

Расчет цен на опцию, а также вывод соответствующих забастовок. Если на Strike вход пуст ([] ), опции цены будут вычисляться на всем БПФ (или FRFT) ударной сетке. Ударная сетка БПФ (или FRFT) определяется как exp(log-strike grid), где каждый столбец логарифмической сетки имеет NumFFT точки с LogStrikeStep интервалы, которые примерно центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice). Значение по умолчанию для NumFFT 2 ^ 12. В дополнение к ценам в первом выходе, опциональный последний выход содержит соответствующие забастовки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)

% Compute option prices for the entire FFT strike grid
[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);

% Show the lowest and highest strike values on the FFT strike grid
format
MinStrike = Kout(1) % Lowest possible strike in the current FFT strike grid

MinStrike = 2.9205e-135

MaxStrike = Kout(end) % Highest possible strike in the current FFT strike grid

MaxStrike = 1.8798e+138

% Show a subset of the strikes and corresponding option prices
Range = (2046:2052);
[Kout(Range) Call(Range)]

ans = 7×2

   50.4929   29.4645
   58.8640   21.2601
   68.6231   12.2218
   80.0000    4.5600
   93.2631    0.9579
  108.7251    0.1236
  126.7505    0.0113

Измените количество точек БПФ (или FRFT) и сравните с optByMertonNI

Попробуйте другое количество точек БПФ (или FRFT) и сравните результаты с прямым численным интегрированием. В отличие от optByMertonFFT, который использует методы FFT (или FRFT) для быстрых расчетов во всей области значений ударов, optByMertonNI функция использует прямое численное интегрирование, и оно обычно медленнее, особенно для нескольких ударов. Однако значения, вычисленные optByMertonNI может служить эталоном для настройки настроек для optByMertonFFT.

% Try a smaller number of FFT (or FRFT) points 
% (e.g. for faster performance or smaller memory footprint)
NumFFT = 2^10; % Smaller than the default value of 2^12
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)
[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT);

% Compare with numerical integration method
Range = (510:516);
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike     CallFFT       CallNI         Error  
    ______    _________    ___________    _________

    12.696       66.328         66.696      0.36786
    23.449       55.922         56.103      0.18071
    43.312       36.481         36.536     0.055233
        80       4.7387           4.56      0.17867
    147.76     0.046602      0.0008089     0.045793
    272.93    0.0092842    -7.0709e-08    0.0092842
    504.11    0.0024041    -2.4515e-07    0.0024044

Дальнейшие корректировки БПФ (или FRFT)

Если значения в выход CallFFT значительно отличаются от таковых в CallNI, попробуйте внести изменения в optByMertonFFT настройки, такие как CharacteristicFcnStep, LogStrikeStep, NumFFT, DampingFactorи так далее. Обратите внимание, что if (LogStrikeStep * CharacteristicFcnStep) равен 2 * пи/ NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT or FRFT strike grid)
[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001);

% Compare with numerical integration method
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike    CallFFT    CallNI      Error   
    ______    _______    ______    __________

    79.76      4.674      4.674    4.9664e-10
    79.84     4.6358     4.6358    4.9651e-10
    79.92     4.5978     4.5978    4.9642e-10
       80       4.56       4.56    4.9641e-10
    80.08     4.5224     4.5224    4.9642e-10
    80.16      4.485      4.485     4.965e-10
    80.24     4.4478     4.4478     4.966e-10

% Save the final FFT (or FRFT) strike grid for future reference. For
% example, it provides information about the range of Strike inputs for
% which the FFT (or FRFT) operation is valid.
FFTStrikeGrid = Kout;
MinStrike = FFTStrikeGrid(1) % Strike cannot be less than MinStrike

MinStrike = 47.9437

MaxStrike = FFTStrikeGrid(end) % Strike cannot be greater than MaxStrike

MaxStrike = 133.3566

Вычислите цену опции для одиночного забастовки

После определения требуемых настроек БПФ (или FRFT) используйте Strike вход для задания ударов вместо предоставления пустого массива. Если указанные удары не совпадают со значением на ударной сетке БПФ (или FRFT), выходы интерполируются на заданных ударах.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001)

Call = 4.5600

Вычислите опционные цены для вектора забастовок

Используйте Strike вход для определения ударов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001)

Вычислите Опцию цены для вектора забастовок и вектора дат той же длины

Используйте Strike вход для определения ударов. Кроме того, Maturity вход может быть вектором, но должен совпадать с длиной Strike вектор, если ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" не установлен в "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001) % Five values in vector output

Разверните область «Выходы поверхности»

Установите ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" в "true" чтобы расширить выходы в NStrikes-by- NMaturities матрицы. В этом случае они являются квадратными матрицами.

[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix output

Call = 5×5

    8.5589    9.9675   11.1343   12.1492   13.0464
    7.4844    8.9439   10.1481   11.1939   12.1181
    6.5125    8.0023    9.2316   10.2999   11.2449
    5.6401    7.1402    8.3827    9.4653   10.4249
    4.8630    6.3545    7.5990    8.6881    9.6565

Kout = 5×5

    76    76    76    76    76
    78    78    78    78    78
    80    80    80    80    80
    82    82    82    82    82
    84    84    84    84    84

Вычислите Опцию цены для вектора забастовок и вектора дат разной длины

Когда ExpandOutput является "true", NStrikes не обязательно соответствовать NMaturities. То есть выход NStrikes-by- NMaturities матрица может быть прямоугольной.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 6) matrix output

Call = 5×6

    6.7411    8.5589    9.9675   11.1343   12.1492   13.0464
    5.5762    7.4844    8.9439   10.1481   11.1939   12.1181
    4.5600    6.5125    8.0023    9.2316   10.2999   11.2449
    3.6891    5.6401    7.1402    8.3827    9.4653   10.4249
    2.9551    4.8630    6.3545    7.5990    8.6881    9.6565

Вычислите опционные цены для вектора забастовок и вектора цен на активы

Когда ExpandOutput является "true", выходы могут также быть NStrikes-by- NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора цен на активы.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call = optByMertonFFT(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output

Call = 5×4

    3.4187    5.6579    8.5589   12.0417
    2.8538    4.8401    7.4844   10.7343
    2.3718    4.1205    6.5125    9.5230
    1.9635    3.4922    5.6401    8.4090
    1.6198    2.9476    4.8630    7.3921

Постройте график поверхности цены опции

Используйте Strike вход для определения ударов. Увеличьте значение для NumFFT для поддержки более широкой области значений ударов. Кроме того, Maturity вход может быть вектором. Задайте ExpandOutput на "true" для вывода поверхности в виде NStrikes-by- NMaturities матрица.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

% Increase 'NumFFT' to support a wider range of strikes
NumFFT = 2^13;

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Call);
title('Price');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);
zlim([0 80]);

Figure contains an axes. The axes with title Price contains an object of type surface.

Входные параметры

свернуть все

`Rate` - Постоянно сложная процентная ставка без риска
десятичное число

Постоянно сложенная процентная ставка без риска, заданная как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

Текущая базовая цена актива, заданная в виде числа значения с использованием скаляра или NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для AssetPrice, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

`Settle` - Дата расчета опции
серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

Дата расчета опции, заданная как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с последовательными номерами дат, векторами символов даты, массивами datetime или строковыми массивами. The Settle дата должна быть перед Maturity дата.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Settle, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`Maturity` - Дата погашения опции
серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

Дата погашения опции, заданная как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с последовательными номерами дат, векторами символов даты, массивами datetime или строковыми массивами.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Maturity, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`OptSpec` - Определение опции
массив ячеек вектора символов со значениями `'call'` или `'put'` | строковые массивы со значениями `"call"` или `"put"`

Определение опции, заданное как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с использованием массива ячеек из векторов символов или строковых массивов со значениями 'call' или 'put'.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для OptSpec, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

`Strike` - значение цены опционной доставки
числовой

Опции цены значения, заданные как NINST-by- 1, NRows-by- 1, NRows-by- NColumns вектор страйк-цен.

Если этот вход является пустым массивом ([]), опции цены вычисляются на всем БПФ (или FRFT) ударной сетке, которая определяется как exp(log-strike grid). Каждый столбец логарифмической сетки имеет 'NumFFT' точки с 'LogStrikeStep' интервалы, которые примерно центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice).

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Strike, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

`Sigma` - Волатильность базового актива
числовой

Волатильность нижнего актива, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`MeanJ` - Среднее значение размера случайного процентного перехода
десятичное число

Среднее значение размера случайного процентного перехода (J), заданное в виде скалярного десятичного значения, где log(1 + J) обычно распределяется со средним значением (log(1 + MeanJ)-0.5* JumpVol^ 2) и стандартное отклонение JumpVol.

Типы данных: double

`JumpVol` - Стандартное отклонение `log`(1 + J)
десятичное число

Стандартное отклонение log(1 + J) где J - размер случайного процентного перехода, заданный как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

`JumpFreq` - Годовая частота процесса перехода Пуассона
числовой

Годовая частота процесса перехода Пуассона, заданная в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Аргументы в виде пар имя-значение

Задайте необязательные разделенные разделенными запятой парами Name,Value аргументы. Name - имя аргумента и Value - соответствующее значение. Name должны находиться внутри кавычек. Можно задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример:

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq,'Basis',7)

`'Basis'` - Основа прибора для подсчета дней
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`, `1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

Счетчик дней инструмента, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'Basis' и скаляр, использующий поддерживаемое значение:

0 = факт/факт
1 = 30/360 (SIA)
2 = факт/360
3 = факт/365
4 = 30/360 (PSA)
5 = 30/360 (ISDA)
6 = 30/360 (европейский)
7 = факт/365 (японский)
8 = факт/факт (ICMA)
9 = факт/360 (ICMA)
10 = факт/365 (ICMA)
11 = 30/360E (ICMA)
12 = факт/365 (ISDA)
13 = BUS/252

Для получения дополнительной информации см. раздел Базиса.

Типы данных: double

`'DividendYield'` - Постоянно сложная доходность базовых активов
`0` (по умолчанию) | число

Постоянно сложное базовое выражение активов, указанный как разделенная запятой пара, состоящий из 'DividendYield' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции характеристики
`4096` (по умолчанию) | число

Количество точек сетки в переменной функции характеристики и в каждом столбце логарифмической сетки, заданное как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'NumFFT' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'CharacteristicFcnStep'` - Характеристическая функция, переменная интервала между сетками
`0.01` (по умолчанию) | число

Характеристическая функция, переменная сетки интервала, задается как разделенная запятой пара, состоящая из 'CharacteristicFcnStep' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'LogStrikeStep'` - Логарифмический интервал сетки
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | число

Логарифмический интервал сетки, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'LogStrikeStep' и скалярное числовое значение.

Примечание

Если (LogStrikeStep* CharacteristicFcnStep) 2*pi/ NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Типы данных: double

`'DampingFactor'` - Коэффициент затухания для композиции Карра-Мадана
`1.5` (по умолчанию) | число

Коэффициент затухания для композиции Карра-Мадана, заданная как разделенная запятой пара, состоящая из 'DampingFactor' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'Quadrature'` - Тип квадратурной матрицы
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями: `'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковые массивы со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

Тип квадратуры, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'Quadrature' и один вектор символов или строковые массивы со значением 'simpson' или 'trapezoidal'.

Типы данных: char | string

`'ExpandOutput'` - Флаг для расширения выходов
`false` (выходы `NINST`-by- `1` векторы) (по умолчанию) | логическим со значением `true` или `false`

Флаг для расширения выходов, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'ExpandOutput' и логический:

true - Если true, выходы NRows-by- NColumns матрицы. NRows количество ударов для каждого столбца и определяется Strike вход. Для примера, Strike может быть NRows-by- 1 вектор, или NRows-by- NColumns матрица. Если Strike пуст, NRows равно NumFFT. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec, который должен быть либо скаляром, либо NColumns-by- 1 векторы.
false - Если false, выходы NINST-by- 1 векторы. Кроме того, входы Strike, AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec все должны быть либо скаляром, либо NINST-by- 1 векторы.

Типы данных: logical

Выходные аргументы

свернуть все

`Price` - Опционные цены
числовой

Опционные цены, возвращенные как NINST-by- 1, или NRows-by- NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой

Удары, соответствующие Price, возвращается как NINST-by- 1, или NRows-by- NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

Подробнее о

свернуть все

Ванильные Опции

A vanilla option - это категория опций, которая включает только самые стандартные компоненты.

Ванильная опция имеет срок годности и прямолинейную цену доставки. Опции в американском стиле и опции в европейском стиле классифицируются как опции ванили.

Выплата для ванильной опции следующая:

Для вызова: $\max (S t - K, 0)$
Для размещения: $\max (K - S t, 0)$

где:

St - цена базового актива на t времени.

K - цена доставки.

Для получения дополнительной информации смотрите Опцию Vanilla.

Модель диффузии перехода Мертона

Модель диффузии перехода Мертона (Merton (1976)) является другим расширением модели Блэка-Скоулза, где внезапные изменения цен на активы (как вверх, так и вниз) моделируются путем добавления параметров диффузии перехода с пуассоновским процессом.

Стохастическое дифференциальное уравнение является:

$\begin{array}{l} d S_{t} = (r - q - λ_{p} μ_{j}) S_{t} d t + σ S_{t} d W_{t} + J S_{t} d P_{t} \\ prob (d P_{t} = 1) = λ_{p} d t \end{array}$

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

W t является процессом Вайнера .

J - размер случайного процентного перехода, обусловленный происходящим переходом, где ln(1 + J) обычно распределяется со средним $\ln (1 + μ_{J}) - \frac{δ^{2}}{2}$ и стандартное отклонение, и (1 + J) имеет логнормальное распределение:

$\frac{1}{(1 + J) δ \sqrt{2 π}} \exp {{\frac{- [\ln (1 + J) - (\ln (1 + μ_{J}) - \frac{δ^{2}}{2}]}{2 δ^{2}}}^{2}}$

μ J является средним значением J для (_μ J > -1).

δ - стандартное отклонение ln(1 + J) для (δ ≥ 0).

ƛ p - годовая частота (интенсивность) процесса Пуассона, _P t для (ƛ p ≥ 0).

σ - волатильность цены актива для (σ > 0).

Функция характеристики $f_{M e r t o n 76_{j}} (ϕ)$ для j = 1 (мера цен на активы) и j = 2 (нейтральная к риску мера) является:

$\begin{array}{l} f_{M e r t o n 76_{j}} = f_{B S_{j}} \exp (λ_{p} τ {(1 + μ_{j})}^{m_{j} + \frac{1}{2}} [{(1 + μ_{j})}^{i ϕ} e^{δ^{2} (m_{j} i ϕ + \frac{{(i ϕ)}^{2}}{2})} - 1] - λ_{p} τ μ_{j} i ϕ) \\ где j = 1, 2 : \\ f_{B S_{1}} (ϕ) = \frac{f_{B S_{2}} (ϕ - i)}{f_{B S_{2}} (- i)} \\ f_{B S 2} (ϕ) = \exp (i ϕ [\ln S_{t} + (r - q - \frac{σ^{2}}{2}) τ] - \frac{ϕ^{2} σ^{2}}{2} τ) \\ m_{1} = \frac{1}{2}, m_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$

где

ϕ - переменная функции характеристики.

τ - время до зрелости (τ = T - t).

i - единичное мнимое число (i² = -1).

Формулировка Карра-Мадана

Формулировка Карра и Мадана (1999 год) является популярной модифицированной реализацией среды (1993 год).

Вместо того, чтобы вычислять вероятности P 1 и _P 2 как промежуточные шаги, Карр и Мадан разработали альтернативное выражение, так что взятие обратного преобразования Фурье дает саму опционную цену непосредственно.

$\begin{array}{l} C a l l (k) = \frac{e^{- α k}}{π} \int_{0}^{\infty} Re [e^{- i u k} ψ (u)] d u \\ ψ (u) = \frac{e^{- r τ} f_{2} (ϕ = (u - (α + 1) i))}{α^{2} + α - u^{2} + i u (2 α + 1)} \\ P u t (K) = C a l l (K) + K e^{- r τ} - S_{t} e^{- q τ} \end{array}$

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

τ время к зрелости (τ = T - t).

Call (K) - цена вызова при K забастовки.

Put (K) - положительная цена при забастовке K

i является модулем мнимым числом (i²= -1)

.r- характеристическая функциональная переменная.

α - коэффициент затухания.

u - характерная переменная функции для интегрирования, где ϕ = (u - (α + 1) i).

f 2 (.r) является характеристической функцией для P 2.

P 2 - это вероятность _S t > K под нейтральной к риску мерой для модели.

Чтобы применить FFT или FRFT к этой формулировке, переменная функции характеристики для интегрирования, u, дискретизирована в NumFFT(N) точки с размером шага CharacteristicFcnStep (И u), и логарифмический k дискретизирован в N точки с размером шага LogStrikeStep(И k).

Дискретизированная характерная переменная функции для интегрирования, <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> (для j = 1,2,3..., N), имеет минимальное значение 0 и максимальное значение (N-1) (Δ <reservedrangesplaceholder0>), и это приближает непрерывный диапазон интегрирования от 0 до бесконечности.

Дискретизированная логарифмическая сетка, k n (для n = 1, 2, 3, N), приблизительно центрирована вокруг ln(S t), с минимальным значением

$\ln (S_{t}) - \frac{N}{2} Δ k$

и максимальное значение

$\ln (S_{t}) + (\frac{N}{2} - 1) Δ k$

Где минимально допустимый удар

$S_{t} \exp (- \frac{N}{2} Δ k)$

и максимально допустимый удар

$S_{t} \exp [(\frac{N}{2} - 1) Δ k]$

В результате дискретизации выражение для опции вызова становится

$C a l l (k_{n}) = Δ u \frac{e^{- α k_{n}}}{π} \sum_{j = 1}^{N} Re [e^{- i Δ k Δ u (j - 1) (n - 1) e^{i u_{j}} [\frac{N Δ k}{2} - \ln (S_{t})]} ψ (u_{j})] w_{j}$

где

Β u - размер шага дискретизированной переменной функции характеристики для интегрирования.

Β k - размер шага дискретизированного логарифмического удара.

N - количество точек БПФ или FRFT.

w j является весами для квадратуры, используемой для аппроксимации интеграла.

БПФ используется, чтобы вычислить вышеописанное выражение, если на k, и, u, распространяются следующие ограничения:

$Δ k Δ u = (\frac{2 π}{N})$

в противном случае функции используют метод FRFT, описанный в Chourdakis (2005).

Ссылки

[1] Бейтс, Д. С. «Переходы и стохастическая волатильность: процессы обменного курса, неявные в опциях Deutsche Mark». Обзор финансовых исследований. Vol 9. № 1. 1996.

[2] Карр, П. и Д. Б. Мадан. «Оценка опций с использованием быстрого преобразования Фурье». Журнал вычислительных финансов. Vol 2. № 4. 1999.

[3] Конт, Р. и П. Танков. Финансовое моделирование с процессами перехода. Chapman & Hall/CRC Press, 2004.

[4] Chourdakis, K. «Опционное ценообразование с использованием дробного БПФ». Журнал вычислительных финансов. 2005.

[5] Merton, R. «Опционное ценообразование, когда базовые возвраты акций прерываются». Журнал финансовой экономики. Vol 3. 1976.

См. также

Темы

Введенный в R2018a

Документация

optByMertonFFT

Синтаксис

Описание

Примеры

Рабочий процесс для Графического изображения поверхности Опции цены с помощью модели Merton76

Входные параметры

`Rate` - Постоянно сложная процентная ставка без риска
десятичное число

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

`Settle` - Дата расчета опции
серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

`Maturity` - Дата погашения опции
серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

`OptSpec` - Определение опции
массив ячеек вектора символов со значениями `'call'` или `'put'` | строковые массивы со значениями `"call"` или `"put"`

`Strike` - значение цены опционной доставки
числовой

`Sigma` - Волатильность базового актива
числовой

`MeanJ` - Среднее значение размера случайного процентного перехода
десятичное число

`JumpVol` - Стандартное отклонение `log`(1 + J)
десятичное число

`JumpFreq` - Годовая частота процесса перехода Пуассона
числовой

Аргументы в виде пар имя-значение

`'Basis'` - Основа прибора для подсчета дней
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`, `1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

`'DividendYield'` - Постоянно сложная доходность базовых активов
`0` (по умолчанию) | число

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции характеристики
`4096` (по умолчанию) | число

`'CharacteristicFcnStep'` - Характеристическая функция, переменная интервала между сетками
`0.01` (по умолчанию) | число

`'LogStrikeStep'` - Логарифмический интервал сетки
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | число

`'DampingFactor'` - Коэффициент затухания для композиции Карра-Мадана
`1.5` (по умолчанию) | число

`'Quadrature'` - Тип квадратурной матрицы
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями: `'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковые массивы со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

`'ExpandOutput'` - Флаг для расширения выходов
`false` (выходы `NINST`-by- `1` векторы) (по умолчанию) | логическим со значением `true` или `false`

Выходные аргументы

`Price` - Опционные цены
числовой

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой

Подробнее о

Ванильные Опции

Модель диффузии перехода Мертона

Формулировка Карра-Мадана

Ссылки

См. также

Темы

Документация по продукту Financial Instruments Toolbox

Поддержка

Документация

optByMertonFFT

Синтаксис

Описание

Примеры

Рабочий процесс для Графического изображения поверхности Опции цены с помощью модели Merton76

Входные параметры

Rate - Постоянно сложная процентная ставка без риска десятичное число

AssetPrice - Текущая базовая цена актива числовой

Settle - Дата расчета опции серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

Maturity - Дата погашения опции серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

OptSpec - Определение опции массив ячеек вектора символов со значениями 'call' или 'put' | строковые массивы со значениями "call" или "put"

Strike - значение цены опционной доставки числовой

Sigma - Волатильность базового актива числовой

MeanJ - Среднее значение размера случайного процентного перехода десятичное число

JumpVol - Стандартное отклонение log(1 + J) десятичное число

JumpFreq - Годовая частота процесса перехода Пуассона числовой

Аргументы в виде пар имя-значение

'Basis' - Основа прибора для подсчета дней 0 (по умолчанию) | числовые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

'DividendYield' - Постоянно сложная доходность базовых активов 0 (по умолчанию) | число

'NumFFT' - Количество точек сетки в переменной функции характеристики 4096 (по умолчанию) | число

'CharacteristicFcnStep' - Характеристическая функция, переменная интервала между сетками 0.01 (по умолчанию) | число

'LogStrikeStep' - Логарифмический интервал сетки 2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep (по умолчанию) | число

'DampingFactor' - Коэффициент затухания для композиции Карра-Мадана 1.5 (по умолчанию) | число

'Quadrature' - Тип квадратурной матрицы "simpson" (по умолчанию) | символьный вектор со значениями: 'simpson' или 'trapezoidal' | строковые массивы со значениями: "simpson" или "trapezoidal"

'ExpandOutput' - Флаг для расширения выходов false (выходы NINST-by- 1 векторы) (по умолчанию) | логическим со значением true или false

Выходные аргументы

Price - Опционные цены числовой

StrikeOut - Удары, соответствующие Price числовой

Подробнее о

Ванильные Опции

Модель диффузии перехода Мертона

Формулировка Карра-Мадана

Ссылки

См. также

Темы

Документация по продукту Financial Instruments Toolbox

Поддержка

`Rate` - Постоянно сложная процентная ставка без риска
десятичное число

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

`Settle` - Дата расчета опции
серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

`Maturity` - Дата погашения опции
серийный номер даты | символ даты | datetime | строковый массив

`OptSpec` - Определение опции
массив ячеек вектора символов со значениями `'call'` или `'put'` | строковые массивы со значениями `"call"` или `"put"`

`Strike` - значение цены опционной доставки
числовой

`Sigma` - Волатильность базового актива
числовой

`MeanJ` - Среднее значение размера случайного процентного перехода
десятичное число

`JumpVol` - Стандартное отклонение `log`(1 + J)
десятичное число

`JumpFreq` - Годовая частота процесса перехода Пуассона
числовой

`'Basis'` - Основа прибора для подсчета дней
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`, `1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

`'DividendYield'` - Постоянно сложная доходность базовых активов
`0` (по умолчанию) | число

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции характеристики
`4096` (по умолчанию) | число

`'CharacteristicFcnStep'` - Характеристическая функция, переменная интервала между сетками
`0.01` (по умолчанию) | число

`'LogStrikeStep'` - Логарифмический интервал сетки
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | число

`'DampingFactor'` - Коэффициент затухания для композиции Карра-Мадана
`1.5` (по умолчанию) | число

`'Quadrature'` - Тип квадратурной матрицы
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями: `'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковые массивы со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

`'ExpandOutput'` - Флаг для расширения выходов
`false` (выходы `NINST`-by- `1` векторы) (по умолчанию) | логическим со значением `true` или `false`

`Price` - Опционные цены
числовой

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой