Exponenta Banner

optSensByHestonFFT

Цена опции и чувствительность по модели Хестона с использованием FFT и FRFT

Свернуть все на странице

Синтаксис

[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV)
[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(___,Name,Value)

Описание

пример

[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV) вычисляет ванильную европейскую цену опций и чувствительность по модели Heston, используя методы Carr-Madan FFT и Chourdakis FRFT.

пример

[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(___,Name,Value) добавляет необязательные аргументы пары "имя-значение".

Примеры

свернуть все

Открыть Live Script

Использование optSensByHestonFFT для калибровки сетки БПФ штриха для чувствительности, вычисления чувствительности опций и построения поверхностей чувствительности опций.

Задайте переменные опции и параметры модели Хестона

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

V0 = 0.04;
ThetaV = 0.05;
Kappa = 1.0;
SigmaV = 0.2;
RhoSV = -0.7;

Вычислите чувствительность опции для всей БПФ (или FRFT) ударной сетки, не задавая «Strike»

Вычислите чувствительность опции, а также выведите соответствующие удары. Если на Strike вход пуст ([] ), чувствительность опции будет вычисляться на всей БПФ (или FRFT) ударной сетке. Ударная сетка БПФ (или FRFT) определяется как exp(log-strike grid), где каждый столбец логарифмической сетки имеет NumFFT точки с LogStrikeStep интервалы, которые примерно центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice). Значение по умолчанию для NumFFT 2 ^ 12. В дополнение к чувствительности в первом выходе, опциональный последний вывод содержит соответствующие удары.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)

% Compute option sensitivities for the entire FFT strike grid
[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'OutSpec', "delta");

% Show the lowest and highest strike values on the FFT strike grid
format
MinStrike = Kout(1) % Lowest possible strike in the current FFT strike grid
MinStrike = 2.9205e-135

MaxStrike = Kout(end) % Highest possible strike in the current FFT strike grid
MaxStrike = 1.8798e+138

% Show a subset of the strikes and corresponding option sensitivities
Range = (2046:2052);
[Kout(Range) Delta(Range)]
ans = 7×2

   50.4929    0.9866
   58.8640    0.9671
   68.6231    0.8724
   80.0000    0.5775
   93.2631    0.1545
  108.7251    0.0059
  126.7505    0.0000

Измените количество точек БПФ (или FRFT) и сравните с optSensByHestonNI

Попробуйте другое количество точек БПФ (или FRFT) и сравните результаты с численным интегрированием. В отличие от optSensByHestonFFT, который использует методы FFT (или FRFT) для быстрых расчетов во всей области значений ударов, optSensByHestonNI функция использует прямое численное интегрирование, и оно обычно медленнее, особенно для нескольких ударов. Однако значения, вычисленные optSensByHestonNI может служить эталоном для настройки настроек для optSensByHestonFFT.

% Try a smaller number of FFT points 
% (e.g. for faster performance or smaller memory footprint)
NumFFT = 2^10; % Smaller than the default value of 2^12 
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)
[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT);

% Compare with numerical integration method
Range = (510:516);
Strike = Kout(Range);
DeltaFFT = Delta(Range);
DeltaNI = optSensByHestonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'OutSpec', "delta");
Error = abs(DeltaFFT-DeltaNI);
table(Strike, DeltaFFT, DeltaNI, Error)
ans=7×4 table
    Strike     DeltaFFT      DeltaNI        Error   
    ______    __________    __________    __________

    12.696       0.90066       0.99002       0.08936
    23.449       0.93635       0.99002      0.053677
    43.312       0.94796        0.9896      0.041645
        80       0.53274       0.57747      0.044733
    147.76     0.0032769      2.45e-08     0.0032769
    272.93    0.00098029    -1.399e-10    0.00098029
    504.11    0.00028151    5.2868e-10    0.00028151

Дальнейшие корректировки БПФ (или FRFT)

Если значения в выход DeltaFFT значительно отличаются от таковых в DeltaNI, попробуйте внести изменения в optSensByHestonFFT настройки, такие как CharacteristicFcnStep, LogStrikeStep, NumFFT, DampingFactorи так далее. Обратите внимание, что if (LogStrikeStep * CharacteristicFcnStep) равен 2 * пи/ NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT or FRFT strike grid)
[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001);

% Compare with numerical integration method
Strike = Kout(Range);
DeltaFFT = Delta(Range);
DeltaNI = optSensByHestonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'OutSpec', "delta");
Error = abs(DeltaFFT-DeltaNI);
table(Strike, DeltaFFT, DeltaNI, Error)
ans=7×4 table
    Strike    DeltaFFT    DeltaNI      Error   
    ______    ________    _______    __________

    79.76     0.58558     0.58558    3.0538e-08
    79.84     0.58289     0.58289    2.8865e-08
    79.92     0.58018     0.58018    2.7053e-08
       80     0.57747     0.57747    2.5111e-08
    80.08     0.57476     0.57476    2.3049e-08
    80.16     0.57203     0.57203    2.0875e-08
    80.24      0.5693      0.5693    1.8601e-08


% Save the final FFT (or FRFT) strike grid for future reference. For
% example, it provides information about the range of Strike inputs for
% which the FFT (or FRFT) operation is valid.
FFTStrikeGrid = Kout;
MinStrike = FFTStrikeGrid(1) % Strike cannot be less than MinStrike
MinStrike = 47.9437

MaxStrike = FFTStrikeGrid(end) % Strike cannot be greater than MaxStrike
MaxStrike = 133.3566

Вычислите чувствительность опции для одиночного удара

После определения настроек БПФ (или FRFT) используйте Strike вход для задания ударов вместо предоставления пустого массива. Если указанные удары не совпадают со значением на ударной сетке БПФ (или FRFT), выходы интерполируются на заданных ударах.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001)
Delta = 0.5775

Вычислите чувствительность опции для вектора ударов

Используйте Strike вход для определения ударов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001)
Delta = 5×1

    0.7043
    0.6433
    0.5775
    0.5083
    0.4377

Вычислите чувствительность опции для вектора ударов и вектора дат тех же длин

Используйте Strike вход для определения ударов. Кроме того, Maturity вход может быть вектором, но должен совпадать с длиной Strike вектор, если ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" не установлен в "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001) % Five values in vector output
Delta = 5×1

    0.6848
    0.6413
    0.6095
    0.5841
    0.5631

Разверните область «Выходы поверхности»

Установите ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" в "true" чтобы расширить выходы в NStrikes-by- NMaturities матрицы. В этом случае они являются квадратными матрицами.

[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix output
Delta = 5×5

    0.6848    0.6762    0.6703    0.6654    0.6609
    0.6416    0.6413    0.6404    0.6390    0.6372
    0.5960    0.6048    0.6095    0.6119    0.6129
    0.5485    0.5671    0.5776    0.5841    0.5882
    0.4997    0.5286    0.5452    0.5559    0.5631


Kout = 5×5

    76    76    76    76    76
    78    78    78    78    78
    80    80    80    80    80
    82    82    82    82    82
    84    84    84    84    84

Вычислите чувствительность опции для вектора ударов и вектора дат различной длины

Когда ExpandOutput является "true", NStrikes не обязательно соответствовать NMaturities (то есть выход NStrikes-by- NMaturities матрица может быть прямоугольной).

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 6) matrix output
Delta = 5×6

    0.7043    0.6848    0.6762    0.6703    0.6654    0.6609
    0.6433    0.6416    0.6413    0.6404    0.6390    0.6372
    0.5775    0.5960    0.6048    0.6095    0.6119    0.6129
    0.5083    0.5485    0.5671    0.5776    0.5841    0.5882
    0.4377    0.4997    0.5286    0.5452    0.5559    0.5631

Вычислите чувствительность опции для вектора забастовок и вектора цен на активы

Когда ExpandOutput является "true", выходы могут также быть NStrikes-by- NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора цен на активы.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output
Delta = 5×4

    0.4293    0.5708    0.6848    0.7705
    0.3737    0.5193    0.6416    0.7364
    0.3200    0.4668    0.5960    0.6994
    0.2693    0.4143    0.5485    0.6597
    0.2226    0.3628    0.4997    0.6177

График поверхностей чувствительности опций

Используйте Strike вход для определения ударов. Увеличьте значение для NumFFT для поддержки более широкой области значений ударов. Кроме того, Maturity вход может быть вектором. Задайте ExpandOutput на "true" для вывода поверхностей следующим NStrikes-by- NMaturities матрицы.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

% Increase 'NumFFT' to support a wider range of strikes
NumFFT = 2^13;

[Delta, Gamma, Rho, Theta, Vega, VegaLT] = ...
    optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true, ...
    'OutSpec', ["delta", "gamma", "rho", "theta", "vega", "vegalt"]);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Delta);
title('Delta');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Delta contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Gamma)
title('Gamma')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Gamma contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Rho)
title('Rho')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Rho contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Theta)
title('Theta')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Theta contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Vega)
title('Vega')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Vega contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,VegaLT)
title('VegaLT')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title VegaLT contains an object of type surface.

Входные параметры

свернуть все

Постоянно сложенная процентная ставка без риска, заданная как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

Текущая базовая цена актива, заданная в виде числа значения с использованием скаляра или NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для AssetPrice, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

Дата расчета опции, заданная как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с последовательными номерами дат, векторами символов даты, массивами datetime или строковыми массивами. The Settle дата должна быть перед Maturity дата.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Settle, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

Дата погашения опции, заданная как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с последовательными номерами дат, векторами символов даты, массивами datetime или строковыми массивами.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Maturity, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

Определение опции, заданное как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с использованием массива ячеек из векторов символов или строковых массивов со значениями 'call' или 'put'.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для OptSpec, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

Опции цены значения, заданные как NINST-by- 1, NRows-by- 1, NRows-by- NColumns вектор страйк-цен.

Если этот вход является пустым массивом ([]), опции цены вычисляются на всем БПФ (или FRFT) ударной сетке, которая определяется как exp(log-strike grid). Каждый столбец логарифмической сетки имеет 'NumFFT' точки с 'LogStrikeStep' интервалы, которые примерно центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice).

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Strike, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

Начальное отклонение нижнего актива, заданное как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Долгосрочное отклонение базового актива, заданная в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Средняя скорость ревизии для нижнего актива, заданная в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Волатильность отклонения базового актива, заданная в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его отклонением, заданная в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Аргументы в виде пар имя-значение

Задайте необязательные разделенные разделенными запятой парами Name,Value аргументы. Name - имя аргумента и Value - соответствующее значение. Name должны находиться внутри кавычек. Можно задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример: [PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV,'Basis',7,'OptSpec',"vega")

Счетчик дней инструмента, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'Basis' и скаляр, использующий поддерживаемое значение:

  • 0 = факт/факт

  • 1 = 30/360 (SIA)

  • 2 = факт/360

  • 3 = факт/365

  • 4 = 30/360 (PSA)

  • 5 = 30/360 (ISDA)

  • 6 = 30/360 (европейский)

  • 7 = факт/365 (японский)

  • 8 = факт/факт (ICMA)

  • 9 = факт/360 (ICMA)

  • 10 = факт/365 (ICMA)

  • 11 = 30/360E (ICMA)

  • 12 = факт/365 (ISDA)

  • 13 = BUS/252

Для получения дополнительной информации см. раздел Базиса.

Типы данных: double

Постоянно сложное базовое выражение активов, указанный как разделенная запятой пара, состоящий из 'DividendYield' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Премия за риск волатильности, заданная как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'VolRiskPremium' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Флаг, указывающий на формулировку Little Heston Trap Альбрехером и др., заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'LittleTrap' и логический:

  • true - Используйте композицию Albrecher et al.

  • false - Использовать исходную формацию Хестона.

Типы данных: logical

Задайте выходы, заданные как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'OutSpec' и a NOUT- by- 1 или 1-by- NOUT Строковые массивы или массив ячеек векторов символов с поддерживаемыми значениями.

Примечание

"vega" - чувствительность к начальной волатильности sqrt (V0). Напротив, "vegalt" - чувствительность к долгосрочной волатильности sqrt (ThetaV).

Пример: OutSpec = ["price","delta","gamma","vega","rho","theta","vegalt"]

Типы данных: string | cell

Количество точек сетки в переменной функции характеристики и в каждом столбце логарифмической сетки, заданное как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'NumFFT' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Характеристическая функция, переменная сетки интервала, задается как разделенная запятой пара, состоящая из 'CharacteristicFcnStep' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Логарифмический интервал сетки, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'LogStrikeStep' и скалярное числовое значение.

Примечание

Если (LogStrikeStep* CharacteristicFcnStep) 2*pi/ NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Типы данных: double

Коэффициент затухания для композиции Карра-Мадана, заданная как разделенная запятой пара, состоящая из 'DampingFactor' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Тип квадратуры, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'Quadrature' и один вектор символов или строковые массивы со значением simpson или trapezoidal.

Типы данных: char | string

Флаг для расширения выходов, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'ExpandOutput' и логический:

  • true - Если true, выходы NRows-by- NColumns матрицы. NRows количество ударов для каждого столбца и определяется Strike вход. Для примера, Strike может быть NRows-by- 1 вектор, или NRows-by- NColumns матрица. Если Strike пуст, NRows равно NumFFT. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec, который должен быть либо скаляром, либо NColumns-by- 1 векторы.

  • false - Если false, выходы NINST-by- 1 векторы. Кроме того, входы Strike, AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec все должны быть либо скаляром, либо NINST-by- 1 векторы.

Типы данных: logical

Выходные аргументы

свернуть все

Опция цены или чувствительность, возвращенные как NINST-by- 1, или NRows-by- NColumns, в зависимости от ExpandOutput. Область аргумента пары "имя-значение" OutSpec определяет типы и порядок выходов.

Удары, соответствующие Price, возвращается как NINST-by- 1, или NRows-by- NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

Подробнее о

свернуть все

Ванильные Опции

A vanilla option - это категория опций, которая включает только самые стандартные компоненты.

Ванильная опция имеет срок годности и прямолинейную цену доставки. Опции в американском стиле и опции в европейском стиле классифицируются как опции ванили.

Выплата для ванильной опции следующая:

  • Для вызова: max(St−K,0)

  • Для размещения: max(K−St,0)

где:

St - цена базового актива на t времени.

K - цена доставки.

Для получения дополнительной информации смотрите Опцию Vanilla.

Модель стохастической волатильности Хестона

Модель Хестона является расширением модели Блэка-Скоулза, где волатильность (квадратный корень отклонения) больше не принимается постоянной, и отклонение теперь следует стохастическому (CIR) процессу. Этот процесс позволяет моделировать подразумеваемые улыбки волатильности, наблюдаемые на рынке.

Стохастическое дифференциальное уравнение является:

dSt=(r−q)Stdt+vtStdWtdvt=κ(θ−vt)dt+σvvtdWtvE[dWtdWtv]=pdt

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

v t является отклонением цены актива в то время t

v 0 является начальным отклонением цены актива при t = 0 для (v 0 > 0).

θ - долгосрочный уровень отклонений для (θ > 0).

κ - средняя скорость реверсии для отклонения (κ > 0).

σ v является волатильностью отклонения для (σ v > 0).

p - корреляция между процессами Вайнера W t и Wvt для (-1 ≤ p ≤ 1).

Функция характеристики fHestonj(ϕ) для j = 1 (мера цены актива) и j = 2 (мера, нейтральная к риску) является:

fHestonj(ϕ)=exp(Cj+Djv0+iϕlnSt)Cj=(r−q)iϕτ+κθσv2[(bj−pσviϕ+dj)τ−2ln(1−gjedjτ1−gj)]Dj=bj−pσviϕ+djσv2(1−edjτ1−gjedjτ)gj=bj−pσviϕ+djbj−pσviϕ−djdj=(bj−pσviϕ)2−σv2(2ujiϕ−ϕ2)где  j=1,2:u1=12,u2=−12,b1=κ+λVolRisk−pσv,b2=κ+λVolRisk

где

ϕ - переменная функции характеристики.

ƛ VolRisk является премией за риск волатильности.

τ - время до зрелости (τ = T - t).

i - единичное мнимое число (i2 = -1).

Определения для C j и D j под «Ловушкой маленького Хестона» Albrecher et al. (2007):

Cj=(r−q)iϕτ+κθσv2[(bj−pσviϕ−dj)τ−2ln(1−εje−djτ1−εj)]Dj=bj−pσviϕ−djσv2(1−e−djτ1−εje−djτ)εj=bj−pσviϕ−djbj−pσviϕ+dj

Формулировка Карра-Мадана

Формулировка Карра и Мадана (1999 год) является популярной модифицированной реализацией среды (1993 год).

Вместо того, чтобы вычислять вероятности P 1 и P 2 как промежуточные шаги, Карр и Мадан разработали альтернативное выражение, так что взятие обратного преобразования Фурье дает саму опционную цену непосредственно.

Call(k)=e−αkπ∫0∞Re[e−iukψ(u)]duψ(u)=e−rτf2(ϕ=(u−(α+1)i))α2+α−u2+iu(2α+1)Put(K)=Call(K)+Ke−rτ−Ste−qτ

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

τ время к зрелости (τ = T - t).

Call (K) - цена вызова при K забастовки.

Put (K) - положительная цена на K забастовки.

i является модулем мнимым числом (i2= -1).

.r- характеристическая функциональная переменная.

α - коэффициент затухания.

u - характерная переменная функции для интегрирования, где ϕ = (u - (α + 1) i).

f 2 (.r) является характеристической функцией для P 2.

P 2 - это вероятность S t > K под нейтральной к риску мерой для модели.

Чтобы применить FFT или FRFT к этой формулировке, переменная функции характеристики для интегрирования, u, дискретизирована в NumFFT(N) точки с размером шага CharacteristicFcnStep (И u), и логарифмический k дискретизирован в N точки с размером шага LogStrikeStep(И k).

Дискретизированная характерная переменная функции для интегрирования, <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> (для j = 1,2,3..., N), имеет минимальное значение 0 и максимальное значение (N-1) (Δ <reservedrangesplaceholder0>), и это приближает непрерывный диапазон интегрирования от 0 до бесконечности.

Дискретизированная логарифмическая сетка, k n (для n = 1, 2, 3, N), приблизительно центрирована вокруг ln(S t), с минимальным значением

ln(St)−N2Δk

и максимальное значение

ln(St)+(N2−1)Δk

Где минимально допустимый удар

Stexp(−N2Δk)

и максимально допустимый удар

Stexp[(N2−1)Δk]

В результате дискретизации выражение для опции вызова становится

Call(kn)=Δue−αknπ∑j=1NRe[e−iΔkΔu(j−1)(n−1)eiuj[NΔk2−ln(St)]ψ(uj)]wj

где

Β u - размер шага дискретизированной переменной функции характеристики для интегрирования.

Β k - размер шага дискретизированного логарифмического удара.

N - количество точек БПФ или FRFT.

w j является весами для квадратуры, используемой для аппроксимации интеграла.

БПФ используется, чтобы вычислить вышеописанное выражение, если на k, и, u, распространяются следующие ограничения:

ΔkΔu=(2πN)

в противном случае функции используют метод FRFT, описанный в Chourdakis (2005).

Ссылки

[1] Albrecher, H., Mayer, P., Schoutens, W., and Tistaert, J. «The Little Heston Trap». Рабочий документ Linz and Graz University of Technology, K.U. Leuven, ING Financial Markets, 2006.

[2] Карр, П. и Д. Б. Мадан. «Оценка опций с использованием быстрого преобразования Фурье». Журнал вычислительных финансов. Vol 2. № 4. 1999.

[3] Chourdakis, K. «Опционное ценообразование с использованием дробного БПФ». Журнал вычислительных финансов. 2005.

[4] Heston, S. L. «A Closed-Form Решения for Опций with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Опций». Обзор финансовых исследований. Vol 6. № 2. 1993.

См. также

| | | | | | | | | |

Темы

Введенный в R2018a

Документация по продукту Financial Instruments Toolbox

Поддержка