Exponenta Banner

optSensByMertonNI

Цена опции и чувствительности по Merton76 модели с помощью численного интегрирования

Свернуть все на странице

Синтаксис

PriceSens = optSensByMertonNI(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq)
PriceSens = optSensByMertonNI(___,Name,Value)

Описание

пример

PriceSens = optSensByMertonNI(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq) вычисляет ванильную европейскую цену опций и чувствительность по модели Merton76, используя численное интегрирование.

пример

PriceSens = optSensByMertonNI(___,Name,Value) добавляет необязательные аргументы пары "имя-значение".

Примеры

свернуть все

Открыть Live Script

optSensByMertonNI использует численное интегрирование для вычисления чувствительности опций и последующего построения поверхностей чувствительности опций.

Задайте переменные опции и Merton76 параметры модели

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

Sigma = 0.16;
MeanJ = 0.02;
JumpVol = 0.08;
JumpFreq = 2;

Вычислите чувствительность опции для одиночного удара

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Delta = optSensByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta")
Delta = 0.5283

Вычислите чувствительность опции для вектора ударов

The Strike вход может быть вектором.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Delta = optSensByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta")
Delta = 5×1

    0.6727
    0.6013
    0.5283
    0.4565
    0.3883

Вычислите чувствительность опции для вектора ударов и вектора дат тех же длин

Используйте Strike вход для определения ударов. Кроме того, Maturity вход может быть вектором, но должен совпадать с длиной Strike вектор, если ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" не установлен в "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Delta = optSensByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta")
Delta = 5×1

    0.6419
    0.5907
    0.5565
    0.5311
    0.5110


    % Five values in vector output

Разверните выход для поверхности

Установите ExpandOutput аргумент пары "имя-значение" в "true" чтобы развернуть выход в NStrikes-by- NMaturities матрица. В этом случае это квадратная матрица.

Delta = optSensByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix output
Delta = 5×5

    0.6419    0.6305    0.6245    0.6204    0.6173
    0.5922    0.5907    0.5905    0.5905    0.5905
    0.5422    0.5507    0.5565    0.5607    0.5637
    0.4927    0.5112    0.5229    0.5311    0.5372
    0.4447    0.4725    0.4898    0.5020    0.5110

Вычислите чувствительность опции для вектора ударов и вектора дат различной длины

Когда ExpandOutput является "true", NStrikes не обязательно соответствовать NMaturities. То есть выход NStrikes-by- NMaturities матрица может быть прямоугольной.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Delta = optSensByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'ExpandOutput', true)  % (5 x 6) matrix output
Delta = 5×6

    0.6727    0.6419    0.6305    0.6245    0.6204    0.6173
    0.6013    0.5922    0.5907    0.5905    0.5905    0.5905
    0.5283    0.5422    0.5507    0.5565    0.5607    0.5637
    0.4565    0.4927    0.5112    0.5229    0.5311    0.5372
    0.3883    0.4447    0.4725    0.4898    0.5020    0.5110

Вычислите чувствительность опции для вектора забастовок и вектора цен на активы

Когда ExpandOutput является "true", выходы могут также быть NStrikes-by- NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора цен на активы.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Delta = optSensByMertonNI(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output
Delta = 5×4

    0.3796    0.5157    0.6419    0.7472
    0.3315    0.4637    0.5922    0.7043
    0.2874    0.4137    0.5422    0.6592
    0.2474    0.3664    0.4927    0.6128
    0.2117    0.3224    0.4447    0.5657

График поверхностей чувствительности опций

The Strike и Maturity входы могут быть векторами. Задайте ExpandOutput на "true" для вывода поверхностей следующим NStrikes-by- NMaturities матрицы.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

[Delta, Gamma, Rho, Theta, Vega] = optSensByMertonNI(...
    Rate, AssetPrice,Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', ["delta", "gamma", "rho", "theta", "vega"], ...
    'ExpandOutput', true);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Delta);
title('Delta');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Delta contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Gamma)
title('Gamma')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Gamma contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Rho)
title('Rho')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Rho contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Theta)
title('Theta')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Theta contains an object of type surface.

figure;
surf(X,Y,Vega)
title('Vega')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Figure contains an axes. The axes with title Vega contains an object of type surface.

Входные параметры

свернуть все

Постоянно сложенная процентная ставка без риска, заданная как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

Текущая базовая цена актива, заданная в виде числа значения с использованием скаляра или NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для AssetPrice, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

Дата расчета опции, заданная как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с последовательными номерами дат, векторами символов даты, массивами datetime или строковыми массивами. The Settle дата должна быть перед Maturity дата.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Settle, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

Дата погашения опции, заданная как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с последовательными номерами дат, векторами символов даты, массивами datetime или строковыми массивами.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Maturity, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

Определение опции, заданное как NINST-by- 1 или NColumns-by- 1 вектор с использованием массива ячеек из векторов символов или строковых массивов со значениями 'call' или 'put'.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для OptSpec, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

Опции цены значения, заданные как NINST-by- 1, NRows-by- 1, NRows-by- NColumns вектор страйк-цен.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Strike, см. аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

Волатильность нижнего актива, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Среднее значение размера случайного процентного перехода (J), заданное в виде скалярного десятичного значения, где log(1 + J) обычно распределяется со средним значением (log(1 + MeanJ)-0.5* JumpVol^ 2) и стандартное отклонение JumpVol.

Типы данных: double

Стандартное отклонение log(1 + J) где J - размер случайного процентного перехода, заданный как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

Годовая частота процесса перехода Пуассона, заданная в виде скалярного числового значения.

Типы данных: double

Аргументы в виде пар имя-значение

Задайте необязательные разделенные разделенными запятой парами Name,Value аргументы. Name - имя аргумента и Value - соответствующее значение. Name должны находиться внутри кавычек. Можно задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример: Price = optSensByMertonNI(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq,'Basis',7)

Счетчик дней инструмента, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'Basis' и скаляр, использующий поддерживаемое значение:

  • 0 = факт/факт

  • 1 = 30/360 (SIA)

  • 2 = факт/360

  • 3 = факт/365

  • 4 = 30/360 (PSA)

  • 5 = 30/360 (ISDA)

  • 6 = 30/360 (европейский)

  • 7 = факт/365 (японский)

  • 8 = факт/факт (ICMA)

  • 9 = факт/360 (ICMA)

  • 10 = факт/365 (ICMA)

  • 11 = 30/360E (ICMA)

  • 12 = факт/365 (ISDA)

  • 13 = BUS/252

Для получения дополнительной информации см. раздел Базиса.

Типы данных: double

Постоянно сложное базовое выражение активов, указанный как разделенная запятой пара, состоящий из 'DividendYield' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Задайте выходы, заданные как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'OutSpec' и a NOUT- by- 1 или 1-by- NOUT Строковые массивы или массив ячеек векторов символов с поддерживаемыми значениями.

Примечание

"vega" - чувствительность к начальной волатильности sqrt (V0).

Пример: OutSpec = ["price","delta","gamma","vega","rho","theta"]

Типы данных: string | cell

Абсолютный допуск ошибки для численного интегрирования, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'AbsTol' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Относительная погрешность для численного интегрирования, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'RelTol' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Численная область значений интегрирования, используемый для аппроксимации непрерывного интеграла по [0 Inf], заданная как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'IntegrationRange' и a 1-by- 2вектор, представляющий [LowerLimit UpperLimit].

Типы данных: double

Среда для вычисления цен на опции и чувствительности с помощью численного интегрирования моделей, заданная как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'Framework' и скалярный строковый или символьный вектор со следующими значениями:

  • "heston1993" или 'heston1993' - Метод, используемый в Heston (1993)

  • "lewis2001" или 'lewis2001' - Метод, используемый в Lewis (2001)

Типы данных: char | string

Флаг для расширения выходов, заданный как разделенная разделенными запятой парами, состоящая из 'ExpandOutput' и логический:

  • true - Если true, выходы NRows-by- NColumns матрицы. NRows количество ударов для каждого столбца и определяется Strike вход. Для примера, Strike может быть NRows-by- 1 вектор, или NRows-by- NColumns матрица. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec, который должен быть либо скаляром, либо NColumns-by- 1 векторы.

  • false - Если false, выходы NINST-by- 1 векторы. Кроме того, входы Strike, AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec все должны быть либо скаляром, либо NINST-by- 1 векторы.

Типы данных: logical

Выходные аргументы

свернуть все

Опция цены или чувствительность, возвращенные как NINST-by- 1, или NRows-by- NColumns, в зависимости от ExpandOutput. Область аргумента пары "имя-значение" OutSpec определяет типы и порядок выходов.

Подробнее о

свернуть все

Ванильные Опции

A vanilla option - это категория опций, которая включает только самые стандартные компоненты.

Ванильная опция имеет срок годности и прямолинейную цену доставки. Опции в американском стиле и опции в европейском стиле классифицируются как опции ванили.

Выплата для ванильной опции следующая:

  • Для вызова: max(St−K,0)

  • Для размещения: max(K−St,0)

где:

St - цена базового актива на t времени.

K - цена доставки.

Для получения дополнительной информации смотрите Опцию Vanilla.

Модель диффузии перехода Мертона

Модель диффузии перехода Мертона (Merton (1976)) является другим расширением модели Блэка-Скоулза, где внезапные изменения цен на активы (как вверх, так и вниз) моделируются путем добавления параметров диффузии перехода с пуассоновским процессом.

Стохастическое дифференциальное уравнение является:

dSt=(r−q−λpμj)Stdt+σStdWt+JStdPtprob (dPt=1)=λpdt

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

W t является процессом Вайнера .

J - размер случайного процентного перехода, обусловленный происходящим переходом, где ln(1 + J) обычно распределяется со среднимln(1+μJ)−δ22 и стандартное отклонение, и (1 + J) имеет логнормальное распределение:

1(1+J)δ2πexp{−[ln(1+J)−(ln(1+μJ)−δ22]2δ22}

μ J является средним значением J для (μ J > -1).

δ - стандартное отклонение ln(1 + J) для (δ ≥ 0).

ƛ p - годовая частота (интенсивность) процесса Пуассона, P t для (ƛ p ≥ 0).

σ - волатильность цены актива для (σ > 0).

Функция характеристики fMerton76j(ϕ) для j = 1 (мера цен на активы) и j = 2 (нейтральная к риску мера) является:

fMerton76j=fBSjexp(λpτ(1+μj)mj+12[(1+μj)iϕeδ2(mjiϕ+(iϕ)22)−1]−λpτμjiϕ)где  j=1,2:fBS1(ϕ)=fBS2(ϕ−i)fBS2(−i)fBS2(ϕ)=exp(iϕ[lnSt+(r−q−σ22)τ]−ϕ2σ22τ)m1=12,m2=−12

где

ϕ - переменная функции характеристики.

τ - время до зрелости (τ = T - t).

i - единичное мнимое число (i2 = -1).

Метод численного интегрирования под Heston (1993) Framework

Численное интегрирование используется для вычисления непрерывного интеграла для обратного преобразования Фурье.

Метод численного интегрирования в среде Heston (1993) основан на следующих выражениях:

Call(K)=Ste−qτP1−Ke−rτP2Put(K)=Call(K)+Ke−rτ−Ste−qτPj=12+1π∫0∞Re[e−iϕln(K)fj(ϕ)iϕ]dϕ

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

K - это удар.

τ время к зрелости (τ = T - t).

Call (K) - цена вызова при K забастовки.

Put (K) - положительная цена на K забастовки.

i является модулем мнимым числом (i2= -1).

.r- характеристическая функциональная переменная.

f j (.r) является характеристической функцией для P j (j = 1,2).

P 1 - это вероятность S t > K под измерением цены актива для модели.

P 2 - это вероятность S t > K под нейтральной к риску мерой для модели.

Где j = 1,2 так, что f 1 (в) и f 2 (в) являются характеристическими функциями для вероятностей P 1 и P 2, соответственно.

Эта среда выбирается со значением по умолчанию “Heston1993” для Framework аргумент пары "имя-значение".

Метод численного интегрирования при Льюисе (2001) Среда

Численное интегрирование используется для вычисления непрерывного интеграла для обратного преобразования Фурье.

Метод численного интегрирования в среде Льюиса (2001) основан на следующих выражениях:

Call(k)=Ste−qτ−Ke−τtπ∫0∞Re[K−iuf2(ϕ=(u−i2))1u2+14]duPut(K)=Call(K)=Ke−τt−Ste−qτ

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

K - это удар.

τ время к зрелости (τ = T - t).

Call (K) - цена вызова при K забастовки.

Put (K) - положительная цена на K забастовки.

i является модулем мнимым числом (i2= -1).

.r- характеристическая функциональная переменная.

u - переменная функции характеристики для интегрирования, где ϕ=(u−i2).

f 2 (.r) является характеристической функцией для P 2.

P 2 - это вероятность S t > K под нейтральной к риску мерой для модели.

Эта среда выбирается со значением “Lewis2001” для Framework аргумент пары "имя-значение".

Ссылки

[1] Бейтс, Д. С. «Переходы и стохастическая волатильность: процессы обменного курса, неявные в опциях Deutsche Mark». Обзор финансовых исследований. Vol 9. № 1. 1996.

[2] Конт, Р. и П. Танков. Финансовое моделирование с процессами перехода. Chapman & Hall/CRC Press, 2004.

[3] Heston, S. L. «A Closed-Form Решения for Опций with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Опций». Обзор финансовых исследований. Vol 6. № 2. 1993.

[4] Lewis, A. L. «A Simple Option Formula for General Jump-Diffusion and Other Exponential Levy Processes». Envision Financial Systems and OptionCity.net, 2001.

[5] Merton, R. «Опционное ценообразование, когда базовые возвраты акций прерываются». Журнал финансовой экономики. Vol 3. 1976.

См. также

| | | | | | | | | |

Темы

Введенный в R2018a

Документация по продукту Financial Instruments Toolbox

Поддержка