A vanilla option - это категория опций, которая включает только самые стандартные компоненты.

Ванильная опция имеет срок годности и прямолинейную цену доставки. Опции в американском стиле и опции в европейском стиле классифицируются как опции ванили.

Выплата для ванильной опции следующая:

где:

St - цена базового актива на t времени.

K - цена доставки.

Для получения дополнительной информации смотрите Опцию Vanilla.

Модель Бейтса (Bates (1996)) является расширением модели Хестона, где, помимо стохастической волатильности, для моделирования внезапных движений цен на активы были добавлены и параметры диффузии перехода, подобные Мертону (1976).

Стохастическое дифференциальное уравнение является:

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

v t является отклонением цены основного средства в момент t.

J - размер случайного процентного перехода, обусловленный происходящим переходом, где ln(1 + J) обычно распределяется со средним$$\ln (1+{\mu }_J)-\frac{{\delta }^2}{2}$$ и стандартное отклонение, и (1 + J) имеет логнормальное распределение:

v 0 является начальным отклонением цены актива при t = 0 (_v 0 > 0).

θ - долгосрочный уровень отклонений для (θ > 0).

κ - средняя скорость реверсии для (κ > 0).

σ v является волатильностью отклонения для (_σ v > 0 ).

p является корреляцией между процессами Вайнера W t и$$W_t^v$$ для (-1 ≤ p ≤ 1).

μ J является средним значением J для (_μ J > -1 ).

δ - стандартное отклонение ln(1 + J) для (δ ≥ 0 ).

$${\lambda }_p$$ - годовая частота (интенсивность) Пуассоновского процесса P t для ($${\lambda }_p$$ ≥ 0).

Функция характеристики $$f_{Bate{s}_j(\varphi )}$$ для j = 1 (средняя мера цены актива) и j = 2 (нейтральная к риску мера) является:

где

ϕ - переменная функции характеристики.

ƛ _VolRisk является премией за риск волатильности.

τ - время погашения (τ = T - t).

i является единичным мнимым числом для (i²= -1).

Определения для C j и _D j под «Ловушкой маленького Хестона» Albrecher et al. (2007):

Численное интегрирование используется для вычисления непрерывного интеграла для обратного преобразования Фурье.

Метод численного интегрирования в среде Heston (1993) основан на следующих выражениях:

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

K - это удар.

τ время к зрелости (τ = T - t).

Call (K) - цена вызова при K забастовки.

Put (K) - положительная цена при забастовке K

i является модулем мнимым числом (i²= -1)

.r- характеристическая функциональная переменная.

f j (.r) является характеристической функцией для P j (j = 1,2).

P 1 - это вероятность _S t > K под измерением цены актива для модели.

P 2 - это вероятность _S t > K под нейтральной к риску мерой для модели.

Где j = 1,2 так, что f 1 (в) и f 2 (в) являются характеристическими функциями для вероятностей P 1 _и P 2, соответственно.

Эта среда выбирается со значением по умолчанию “Heston1993” для Framework аргумент пары "имя-значение".

Численное интегрирование используется для вычисления непрерывного интеграла для обратного преобразования Фурье.

Метод численного интегрирования в среде Льюиса (2001) основан на следующих выражениях:

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывное дивидендное выражение.

S t является ценой актива в момент t.

K - это удар.

τ время к зрелости (τ = T - t).

Call (K) - цена вызова при K забастовки.

Put (K) - положительная цена при забастовке K

i является модулем мнимым числом (i²= -1)

.r- характеристическая функциональная переменная.

u - переменная функции характеристики для интегрирования, где $$\varphi =\left(u-\frac{i}{2}\right)$$.

f 2 (.r) является характеристической функцией для P 2.

P 2 - это вероятность _S t > K под нейтральной к риску мерой для модели.

Эта среда выбирается со значением “Lewis2001” для Framework аргумент пары "имя-значение".