Работа с отрицательными процентными ставками с использованием объектов

Опции моделирования процентных ставок для отрицательных ставок

Financial Instruments Toolbox™ вычисляет цены для Cap, Floor, или Swaption инструмент при моделировании для отрицательных процентных ставок с использованием модели Normal watility, сдвинутой модели Black или сдвинутой модели SABR:

Модель нормальной волатильности (модель бакалавра) для опций процентных ставок для обработки отрицательных ставок со следующими:
- Normal объект модели
- Normal объект прейскуранта
- SABR объект модели
- SABR объект прейскуранта
Сдвинутая модель Black и сдвинутая модель SABR для опций процентных ставок для обработки отрицательных ставок со следующими:
- Black объект модели (Сдвинутая Черная модель, заданная 'Shift' аргумент имя-значение установлен на положительное значение.)
- Black объект pricer (модель Shitted Black, заданная 'Shift' аргумент имя-значение установлен на положительное значение.)
- SABR объект модели (Сдвинутая модель SABR, заданная 'VolatilityType' значение-имя аргумента установлено в "Black" и 'Shift' аргумент имя-значение установлен на положительное значение.)
- SABR объект pricer (Сдвинутая модель SABR, заданная 'VolatilityType' значение-имя аргумента установлено в "Black" и 'Shift' аргумент имя-значение установлен на положительное значение.)

Моделирование отрицательных скоростей

Первоначальные авторы модели SABR обеспечили приближение подразумеваемой волатильности Чёрного с точки зрения параметров модели SABR (известной как «формула Хагана»), так что цена опции могла быть вычислена путем вставки вычисленной волатильности Чёрного SABR в формулу Чёрного:

$C a l l (K, T) = B l a c k_{c a l l} (F, K, r, T, σ_{B l a c k} (α, β, ρ, ν, F, K, T))$

Однако эти методы начали разрушаться с введением отрицательных процентных ставок, из-за предположения модели Блэка, что базовые ставки распределены логнормально (и, следовательно, не могут быть отрицательными).

В сложение, даже когда базовая скорость положительна, приближение закрытой формы SABR подразумевает чёрную волатильность (Hagan et al., 2002), как известно, становится все более неточным, когда удар приближается к нулю. Даже не пересекая контур нулевого удара, подразумеваемая плотность вероятностей базовой скорости при истечении опции может стать отрицательной при низких положительных ударах, хотя плотности вероятностей явно не должны быть отрицательными:

Опции с отрицательными ударами не могут быть представлены чёрными волатильностями. Чтобы обойти эту проблему, рынок начал котировать прописную букву, пол и цены свопциона также с точки зрения нормальных волатильностей или сдвинутых черных волатильностей. Вместо модели Black оба типа волатильности происходят из альтернативных моделей, которые допускают отрицательные скорости.

Нормальная модель

Нормальные волатильности связаны с моделью Normal (также известной как модель холостяка):

где базовые скорости приняты как обычно распределенные. В отличие от lognormal модели (где скорости имеют нижнюю границу), скорости в Normal модели могут быть как бесконечно положительными, так и бесконечно отрицательными.

Сдвинутый Черный

Сдвинутые чёрные волатильности связаны с моделью Сдвинутых Чёрных (также известной как «Перемещенная Диффузия» или «Сдвинутая Лагнормальная»):

Модель Shitted Black по сути аналогична модели Black, за исключением того, что она моделирует движения (F + Shift) в качестве базового актива, вместо F (где F - скорость прямого свопа в случае свопсов и форвардная ставка в случае кэплетов и флорлетов). Итак, модель Shitted Black позволяет отрицательные скорости с фиксированной отрицательной нижней границей, заданной величиной сдвига, то есть нулевая нижняя граница модели Black была сдвинута.

Нормальный SABR и сдвинутый SABR

Введение отрицательных процентных ставок также потребовало обновления метода интерполяции волатильностей, котируемых на рынке. Ниже показаны связи между волатильностями и моделями SABR:

Как показано, приближения волатильности Black и Normal позволяют вам использовать модель SABR с формулами опций ценообразования Black и Normal. Однако, хотя сама модель Normal позволяет отрицательные скорости и модель SABR имеет подразумеваемое приближение нормальной волатильности, базовая динамика модели SABR не допускает отрицательные скорости, если только β = 0. Когда параметр β (Beta) SABR модель установлена в нуль, модель является моделью Normal SABR, которая позволяет вычислять подразумеваемые волатильности Normal для отрицательных частот.

В модели Shitted SABR приближение Сдвинутой Черной Волатильности может использоваться, чтобы позволить отрицательные скорости с фиксированной отрицательной нижней границей, заданной величиной сдвига. Это достигается путем установки 'Shift' аргумент имя-значение SABR модель к положительному значению.

Подразумеваемые волатильности и SABR

Можно вычислить подразумеваемые волатильности в терминах параметров модели SABR, для β = 0 (Normal SABR) или любого другого значения β, дозволенного моделью SABR (0 ≤ β ≤ 1), используя volatilities функция для SABR аналитический прайс.

Следующие три типа подразумеваемых волатильностей поддерживаются SABR аналитический ценник и тип подразумеваемых волатильностей, вычисленных volatilities функция зависит от параметров SABR модель при использовании SABR аналитический прайс:

Подразумеваемые черные волатильности - The SABR модели 'VolatilityType' для аргумента name-value задано значение "Black" и 'Shift' аргумент имя-значение равен нулю. Отрицательные ставки не допускаются.
Подразумеваемые просеянные черные волатильности - The SABR модели 'VolatilityType' для аргумента name-value задано значение "Black" и 'Shift' для аргумента имя-значение задано положительное значение. Отрицательные ставки разрешены с нижней границей, заданной величиной сдвига.
Подразумеваемые нормальные (холостяцкие) волатильности - The SABR модели 'VolatilityType' для аргумента name-value задано значение "Black" и 'Shift' аргумент имя-значение равен нулю. Отрицательные скорости разрешены, когда Beta входной параметр равен нулю.

См. также

Cap | Floor | Swaption

Документация