Идентификация моделей пространства состояний с отдельными описаниями шума процесса и измерения

Общая структура модели

Идентифицированная линейная модель используется для моделирования и прогнозирования системных выходов для заданных входных и шумовых сигналов. Входные сигналы измеряются, в то время как шумовые сигналы известны только через их статистическое среднее и отклонение. general form модели пространства состояний, часто связанная с фильтрацией Калмана, является примером такой модели и определяется как:

\begin{matrix} x (t + 1) = A (θ) x (t) + B (θ) u (t) + w (t) \\ y (t) = C (θ) x (t) + D (θ) u (t) + v (t), \end{matrix}

(1)

где, в момент t:

x (t) является вектором состояний модели.
u (t) - измеренные входные данные.
y (t) - это измеренные выходные данные.
w (t) является технологическим шумом.
v (t) является шумом измерения.

Шумовые нарушения порядка являются независимыми случайными переменными с нулем среднего и ковариациями:

$\begin{matrix} E [w (t) w^{⊺} (t)] = R_{1} (θ) \\ E [v (t) v^{⊺} (t)] = R_{2} (θ) \\ E [w (t) v^{⊺} (t)] = R_{12} (θ) \end{matrix}$

Векторная θ параметрирует модель, включая коэффициенты системных матриц и шумовые ковариации. Однако все элементы модели не обязательно бесплатны. Если у вас есть физическое представление о состояниях системы и источниках шума, модель может иметь определенную структуру с несколькими параметрами в вектор θ.

Форма инноваций и предсказатель на один шаг вперед

Для заданного значения θ необходимо предсказать лучшие оценки x (t) и y (t) при наличии любых нарушений порядка. Необходимые predictor model уравнения получают из метода фильтрации Калмана:

\begin{matrix} \hat{x} (t + 1, θ) = A (θ) x (t) + B (θ) u (t) + K (θ) [y (t) - C (θ) \hat{x} (t, θ) - D (θ) u (t)] \\ \hat{y} (t, θ) = C (θ) \hat{x} (t) + D (θ) u (t), \end{matrix}

(2)

где $\hat{x} (t, θ)$ является предсказанным значением вектора x (t) состояния в момент t, и $\hat{y} (t, θ)$ - предсказанное значение выхода y (t). Переменные u (t) и y (t) в приведенном выше уравнении представляют измеренные входное и выходное значения в t времени. Матрица Калмана Усиления, K (θ), определяется из системных матриц и шумовых ковариаций следующим образом:

$K (θ) = [A (θ) Γ (θ) C^{⊺} (θ) + R_{12} (θ)] {[C (θ) Γ (θ) C^{⊺} (θ) + R_{2} (θ)]}^{- 1},$

где $Γ (θ)$ - ковариация ошибки оценки состояния:

$Γ (θ) = \bar{E} [[x (t) - \hat{x} (t, θ)] {[x (t) - \hat{x} (t, θ)]}^{⊺}] .$

$Γ (θ)$ является решением алгебраического уравнения Риккати. Для получения дополнительной информации см. dare (Control System Toolbox) и [1]

Обозначение выходной ошибки предсказания как $e (t) = y (t) - \hat{y} (t, θ)$ , можно записать общую модель пространства состояний в более простой форме:

\begin{matrix} x (t + 1, θ) = A (θ) x (t) + B (θ) u (t) + K (θ) e (t) \\ y (t) = C (θ) x (t) + D (θ) u (t) + e (t) . \end{matrix}

(3)

Это более простое представление является innovations form модели пространства состояний и имеет только один уникальный источник нарушения порядка, e (t). Эта форма соответствует выбору _R2 = I_, R12 = K _и R1 = KK^T для общей структуры модели. Программное обеспечение System Identification Toolbox™ использует форму инноваций в качестве своего основного представления моделей пространства состояний.

И общая, и инновационная форма модели приводят к такой же модели предиктора, как показано в Уравнении 2. Используйте predict команда вычислить предсказанную реакцию модели и сгенерировать эту систему предикторов.

Идентификация модели

Задача идентификации состоит в том, чтобы использовать входные и выходные данные измерения для определения вектора параметризации, θ. Подход, который необходимо принять, зависит от объема предварительной информации, имеющейся в отношении системы, и шумовых нарушений порядка.

Идентификация черного ящика

Когда доступны только измерения данных ввода-вывода, и вы не знаете структуры шума, можно только оценить модель в форме инноваций. Для этого мы используем одноэтапный подход минимизации ошибок предсказания (PEM), чтобы вычислить лучший выход. Для этого подхода матричная K параметризируется независимо от других системных матриц, и никакая предварительная информация о состояниях системы или выходных ковариациях не рассматривается для оценки. Предполагаемая модель может быть возвращена в общую структуру модели многими неоднородными способами, один из которых состоит в том, чтобы предположить, что _R2 = I, _R12 = K _и R1 = KK^T. Инновационная форма является системным представлением предиктора, в котором e (t) не обязательно представляет фактический шум измерения.

Оцените модели пространства состояний в инновационной форме с помощью n4sid, ssest, и ssregest команды. Системные матрицы A, B, C, D, и K параметризуются независимо, и идентификация минимизирует взвешенную норму ошибки предсказания, e (<reservedrangesplaceholder0>). Для получения дополнительной информации смотрите Оценку моделей пространства состояний с использованием ssest, ssregest и n4sid и примеры оценки вssest.

Примечание

В этом случае алгоритм оценки выбирает состояния модели произвольно. В результате трудно представить физически значимые описания состояний и источников затрагивающих их нарушений порядка.

Структурированная идентификация

В некоторых ситуациях, в дополнение к данным ввода-вывода, вы знаете что-то о состоянии и нарушениях порядка измерения. Чтобы сделать понятие нарушений порядка состояний значимым, необходимо, чтобы состояния были четко заданы, такие как положения и скорости в механической системе кусковой массы. Хорошо определенные состояния и известные источники шума приводят к структурированной модели пространства состояний, которую можно затем параметризовать, используя общую структуру модели Уравнения 1.

Чтобы идентифицировать такие модели, используйте серый ящик подход моделирования, который позволяет вам использовать любые предыдущие знания относительно системных параметров и шумовых ковариаций. Например, вы можете знать, что только первый элемент _R1 является ненулевым, или что все недиагональные условия _R2 равны нулю. При использовании серого ящика предоставьте начальные угаданные значения для вектора параметризации, θ. Если состояния модели физически значимы, должна быть возможность определить начальные оценки для параметров в θ.

Чтобы оценить модель серого ящика с параметризованными нарушениями порядка:

Создайте MATLAB^® функция, называемая файлом ODE, которая:
- Вычисляет параметризованные матрицы пространства состояний, A, B, C и D, используя векторную θ параметра, которая передается в качестве входного аргумента.
- Вычисляет шумовые ковариационные матрицы _R1, _R2 и _R12. Каждая из этих матриц может быть полностью или частично неизвестной. Любые неизвестные элементы матрицы заданы в терминах параметров в θ.
- Использует системные матрицы A и C, и шумовые ковариации с kalman (Control System Toolbox), чтобы найти матрицу усиления Калмана, K.
  [~,K] = kalman(ss(A,eye(nx),C,zeros(ny,nx),Ts),R1,R2,R12);
  Здесь, nx количество состояний модели, ny количество выходов модели и Ts - шаг расчета. kalman команда требует программного обеспечения Control System Toolbox™.
- Возвращает A, B, C, D и K как выходные аргументы.
Создайте idgrey модель, которая использует функцию ODE и начальное угаданное значение для вектора параметра, θ.
Сконфигурируйте любые опции оценки, используя greyestOptions команда.
Оцените θ используя greyest команда.

Для примера использования параметризованных нарушений порядка с серым ящиком моделирования, смотрите Оценку модели серого ящика в дискретном времени с параметризованным нарушением порядка.

Сводные данные

Используйте форму инноваций, если все, что у вас есть, это измеренные входно-выходные данные. Стоит использовать общую форму, только если вы можете задать параметризацию системы со значимыми состояниями, и у вас есть нетривиальные знания о шумовых ковариациях. В этом случае используйте оценку серого ящика, чтобы идентифицировать модель пространства состояний.

И общая форма, и форма инноваций приводят к одному и тому же предиктору. Итак, если ваша конечная цель состоит в том, чтобы развернуть модель для предсказания будущих выходов или выполнить симуляции, удобнее использовать инновационную форму модели.

Ссылки

[1] Ljung, L. «State-Space Models». Раздел 4.3 в «Система идентификации: теория для пользователя». 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999, pp. 93-102.

См. также

Документация