Exponenta Banner

polyeig

Задача о полиномиальном собственном значении

Свернуть все на странице

Синтаксис

e = polyeig(A0,A1,...,Ap)
[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap)
[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap)

Описание

пример

e = polyeig(A0,A1,...,Ap) возвращает собственные значения для полиномиальной задачи собственного значения степени p.

пример

[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap) также возвращает матрицу X, размера n-by- n*p, столбцы которого являются собственными векторами.

пример

[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap) дополнительно возвращает вектор s, длины p*n, содержащих чисел обусловленности для собственных значений. По крайней мере, один из A0 и Ap должно быть несингулярным. Большие числа обусловленности подразумевают, что задача близка к проблеме с повторными собственными значениями.

Примеры

свернуть все

Открыть Live Script

Решите квадратичную задачу собственного значения с участием большой матрицы M, матрица демпфирования C, и матрицы жесткости K. Эта квадратичная задача собственного значения возникает из уравнения движения:

Md2ydt2+Cdydt+Ky=f(t)

Это уравнение применимо к широкой области значений колеблющихся систем, включая динамическую систему масса-пружина или электронную сеть RLC. Фундаментальным решением является y(t)=xeλt, так и то и другое λ и x необходимо решить квадратичную задачу собственного значения (QEP),

(Mλ2+Cλ+K)x=0

Создайте матрицы коэффициентов M, C, и K для представления системы масса-пружина с четырьмя степенями свободы. Матрицы коэффициентов все симметричны и положительны полусердиниты, и M является диагональной матрицей.

M = diag([3 1 3 1])
M = 4×4

     3     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     3     0
     0     0     0     1


C = [0.4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]
C = 4×4

    0.4000         0   -0.3000         0
         0         0         0         0
   -0.3000         0    0.5000   -0.2000
         0         0   -0.2000    0.2000


K = [-7 2 4  0; 2 -4 2 0; 4 2 -9 3; 0 0 3 -3]
K = 4×4

    -7     2     4     0
     2    -4     2     0
     4     2    -9     3
     0     0     3    -3

Решить QEP для собственных значений, собственных векторов и чисел обусловленности можно используя polyeig. 

[X,e,s] = polyeig(K,C,M)
X = 4×8

    0.1828    0.3421    0.3989    0.0621    0.3890   -0.4143   -0.4575    0.4563
    0.3530   -0.9296    0.3330   -0.8571   -0.6366   -0.2717   -0.4981    0.4985
   -0.5360   -0.0456   -0.1724    0.3509   -0.3423    0.1666   -0.5106    0.5107
    0.7448    0.1295   -0.8368   -0.3720    0.5712    0.8525   -0.5309    0.5315


e = 8×1

   -2.4498
   -2.1536
   -1.6248
    2.2279
    2.0364
    1.4752
    0.3353
   -0.3466


s = 8×1

    0.5813
    0.8609
    1.2232
    0.7855
    0.7012
    1.2922
   10.1097
   10.0519

Проверяйте, что первое собственное значение, e(1), и первый собственный вектор, X(:,1), удовлетворите уравнению QEP. Результат близок к, но не совсем нулю.

lambda = e(1);
x = X(:,1);
(M*lambda^2 + C*lambda + K)*x
ans = 4×1
10-13 ×

   -0.0133
   -0.0466
    0.1465
   -0.0622

Входные параметры

свернуть все

Матрицы коэффициентов, заданные как отдельные аргументы. Матрицы должны иметь одинаковый порядок n.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

свернуть все

Собственные значения, возвращенные как вектор.

Собственные векторы, возвращенные в столбцах матрицы. Первый собственный вектор X(:,1), второй - X(:,2)и так далее.

Числа обусловленности, возвращенные как вектор. Числа обусловленности в s соответствуют аналогично расположенным собственным значениям в e. Большие числа обусловленности указывают, что задача близка к тому, чтобы повторить собственные значения.

Подробнее о

свернуть все

Задача полинома собственного значения

Многочленная проблема собственного значения - вариант стандартной проблемы собственного значения, <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> = λ <reservedrangesplaceholder0>, но вместо этого включает полиномы, а не линейные члены.

Как и в случае стандартной задачи собственного значения, решение включает в себя нахождение собственных значений и собственных векторов, которые удовлетворяют уравнению,

(A0+λA1+…+λPAp)x=0 ,

где полиномиальная степень, p, является неотрицательным целым числом, и A0,A1,...Ap являются квадратными матрицами коэффициентов порядка n.

Наиболее распространенной формой является квадратичная задача собственного значения полинома, которая является

(A2λ2+A1λ+A0)x=0 .

Одним из основных различий между квадратичной задачей собственного значения и стандартной (или обобщенной) задачей собственного значения является то, что может быть до 2n собственные значения до 2n правый и левый собственные векторы. В тех случаях, когда их более n собственных векторов, собственные векторы не образуют линейно независимого множества. Более подробную информацию о квадратичной задаче собственного значения см. в разделах [1] и [2].

Совет

  • polyeig обрабатывает следующие упрощенные случаи:

    • p = 0, или polyeig(A), является стандартной задачей собственного значения, eig(A).

    • p = 1, или polyeig(A,B), является обобщенной задачей собственного значения, eig(A,-B).

    • n = 0, или polyeig(a0,a1,...,ap), является стандартной полиномиальной задачей, roots([ap ... a1 a0]), где a0,a1,...,ap являются скалярами.

Алгоритмы

The polyeig функция использует QZ-разложение, чтобы найти промежуточные результаты в расчете обобщенных собственных значений. polyeig использует промежуточные результаты, чтобы определить, хорошо ли определены собственные значения. См. описание eig и qz для получения дополнительной информации.

Вычисленные решения могут не существовать или быть уникальными, а также могут быть вычислительно неточными. Если оба A0 и Ap являются сингулярными матрицами, тогда задача может быть плохо поставлена. Если только один из A0 и Ap сингулярна, тогда некоторые из собственных значений могут быть 0 или Inf.

Масштабирование A0,A1,...,Ap иметь norm(Ai) примерно равен 1 может увеличить точность polyeig. В целом, однако, эта улучшенная точность не достижима. (Для получения дополнительной информации см. Tisseur [3]).

Ссылки

[1] Дедье, Жан-Пьер и Франсуаза Тиссер. Теория возмущений для однородных полиномиальных собственных значений. Линейная алгебра Appl. vol. 358, 2003, pp. 71-94.

[2] Тиссер, Франсуаза и Карл Меерберген. «Квадратичная задача собственного значения». SIAM Rev. Vol. 43, Number 2, 2001, pp. 235-286.

[3] Франсуаза Тиссер. «Обратная ошибка и условие задач полинома собственного значения». Линейная алгебра Appl. vol. 309, 2000, pp. 339-361.

Расширенные возможности

.

См. также

| | |

Темы

Представлено до R2006a

Документация MATLAB

Поддержка