Система с двумя тележками и пружинами

В этом примере мы используем следующую систему, состоящую из двух тележек без трения, соединенных пружиной k:

Фигура 1: Система с двумя тележками и пружинами.

Вход управления является силой u1 применяется к левой тележке. Выходом, которым будут управлять, является положение y1 правой тележки. Управление с обратной связью имеет следующую форму:

В сложение мы используем тройной свинцовый компенсатор:

Создаем этот компенсатор с помощью этого кода:

s = zpk('s'); % The Laplace 's' variable
C = 100*ss((s+1)/(.001*s+1))^3;

Модель блока

Система с двумя тележками и пружинами моделируется блоком, показанной ниже.

Фигура 2. Блок модели с двумя тележками и пружинами.

Неопределенные действительные параметры

Задача управления тележками осложняется тем, что значения коэффициента упругости k и массы тележки m1,m2 известны только с 20% точностью: $$k=1.0\pm 20\%$$ , $$m1=1.0\pm 20\%$$ , и $$m2=1.0\pm 20\%$$. Чтобы захватить эту изменчивость, мы создадим три неопределенных вещественных параметра, используя ureal функция:

k = ureal('k',1,'percent',20);
m1 = ureal('m1',1,'percent',20);
m2 = ureal('m2',1,'percent',20);

Модели неопределенной тележки

Мы можем представлять модели тележек следующим образом:

Учитывая неопределенные параметры m1 и m2, мы создадим модели неопределенного пространства состояний (USS) для G1 и G2 следующим образом:

G1 = 1/s^2/m1;
G2 = 1/s^2/m2;

Неопределенная модель системы с обратной связью

Сначала мы создадим модель объекта управления P соответствующий блоку, показанной выше (P карты u1 - y1):

% Spring-less inner block F(s)
F = [0;G1]*[1 -1]+[1;-1]*[0,G2]

F =

  Uncertain continuous-time state-space model with 2 outputs, 2 inputs, 4 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences

Type "F.NominalValue" to see the nominal value, "get(F)" to see all properties, and "F.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Соедините с пружиной k

P = lft(F,k)

P =

  Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 4 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    k: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences

Type "P.NominalValue" to see the nominal value, "get(P)" to see all properties, and "P.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Управление с обратной связью u1 = C * (r-y1) работает на объекте P как показано ниже:

Фигура 3: Неопределенная модель системы с обратной связью.

Мы используем feedback функция для вычисления передачи с обратной связью от r до y1.

% Uncertain open-loop model is
L = P*C

L =

  Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 7 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    k: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences

Type "L.NominalValue" to see the nominal value, "get(L)" to see all properties, and "L.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Неопределенный перенос с обратной связью от r до y1 является

T = feedback(L,1)

T =

  Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 7 states.
  The model uncertainty consists of the following blocks:
    k: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences
    m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences

Type "T.NominalValue" to see the nominal value, "get(T)" to see all properties, and "T.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Обратите внимание, что с G1 и G2 неопределенны, оба P и T являются моделями неопределенного пространства состояний.

Извлечение номинального объекта

Номинальная передаточная функция объекта управления

Pnom = zpk(P.nominal)

Pnom =
 
        1
  -------------
  s^2 (s^2 + 2)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Номинальная стабильность замкнутого контура

Далее мы оцениваем номинальную передаточную функцию с обратной связью Tnom, а затем проверяйте, что все полюса номинальной системы имеют отрицательные действительные части:

Tnom = zpk(T.nominal);
maxrealpole = max(real(pole(Tnom)))

maxrealpole = -0.8232

Устойчивый запас устойчивости

Будет ли цикл обратной связи оставаться стабильным для всех возможных значений k,m1,m2 в заданной области значений неопределенности? Мы можем использовать robstab функция, чтобы ответить на этот вопрос строго.

% Show report and compute sensitivity
opt = robOptions('Display','on','Sensitivity','on');
[StabilityMargin,wcu] = robstab(T,opt);

Computing peak...  Percent completed: 100/100
System is robustly stable for the modeled uncertainty.
 -- It can tolerate up to 288% of the modeled uncertainty.
 -- There is a destabilizing perturbation amounting to 289% of the modeled uncertainty.
 -- This perturbation causes an instability at the frequency 575 rad/seconds.
 -- Sensitivity with respect to each uncertain element is:           
      12% for k. Increasing k by 25% decreases the margin by 3%.     
      47% for m1. Increasing m1 by 25% decreases the margin by 11.8%.
      47% for m2. Increasing m2 by 25% decreases the margin by 11.8%.

Отчет указывает, что замкнутый цикл может переносить до трех раз больше изменчивости в k,m1,m2 прежде чем идти нестабильно. Он также предоставляет полезную информацию о чувствительности устойчивости к каждому параметру. Переменная wcu содержит наименьшие изменения дестабилизирующего параметра (относительно номинальных значений).

wcu

wcu = struct with fields:
     k: 1.5773
    m1: 0.4227
    m2: 0.4227

Эффективность в наихудшем случае

Обратите внимание, что пиковое усиление на частоте передачи с обратной связью T указывает на уровень перерегулирования в переходной характеристике с обратной связью. Чем ближе это усиление к 1, тем меньше перерегулирование. Используем wcgain для вычисления коэффициента усиления в худшем случае PeakGain от T в заданной области значений неопределенностей.

[PeakGain,wcu] = wcgain(T);
PeakGain

PeakGain = struct with fields:
           LowerBound: 1.0471
           UpperBound: 1.0731
    CriticalFrequency: 7.7158

Замените изменение параметра в худшем случае wcu в T для вычисления передачи с обратной связью в худшем случае Twc.

Twc = usubs(T,wcu);         % Worst-case closed-loop transfer T

Наконец, выберите из случайных выборок неопределенных параметров и сравните соответствующие передачи с обратной связью с передачей с наихудшим случаем Twc.

Trand = usample(T,4);         % 4 random samples of uncertain model T
clf
subplot(211), bodemag(Trand,'b',Twc,'r',{10 1000});  % plot Bode response
subplot(212), step(Trand,'b',Twc,'r',0.2);           % plot step response

Фигура 4: Блок-схема и переходная характеристика.

В этом анализе мы видим, что компенсатор C работает устойчиво для заданной неопределенности на k, m1, m2.