Полунормальное Распределение

Обзор

Полунормальное распределение является частным случаем сложенных нормальных и усеченных нормальных распределений. Некоторые приложения распределения половинной нормы включают данные измерения моделирования и данные о жизни.

Параметры

Полунормальное распределение использует следующие параметры:

Параметр	Описание
$- \infty < μ < \infty$	Параметр местоположения
$σ \geq 0$	Масштабный параметр

Поддержка наполовину нормального распределения x ≥ μ.

Использовать makedist с заданными значениями параметров, чтобы создать наполовину нормальный объект распределения вероятностей HalfNormalDistribution. Использовать fitdist для аппроксимации объекта распределения вероятностей к выборочным данным. Использовать mle для оценки значений параметров нормального распределения из выборочных данных без создания объекта распределения вероятностей. Для получения дополнительной информации о работе с распределениями вероятностей смотрите Работа с распределениями вероятностей.

Реализация Toolbox™ Statistics and Machine Learning наполовину нормального распределения принимает фиксированное значение для μ параметра местоположения. Поэтому ни то, ни другое fitdist ни mle оценивает значение μ параметра при подборе наполовину нормального распределения к выборочным данным. Можно задать значение для параметра μ с помощью аргумента пары "имя-значение" 'mu'. Значение по умолчанию для 'mu' аргумент 0 в обоих fitdist и mle.

Функция плотности вероятностей

Функция плотности вероятностей (pdf) наполовину нормального распределения

$y = f (x | μ, σ) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}; x \geq μ,$

где μ - параметр местоположения, а σ - параметр шкалы. Если x ≤ μ, то PDF не определен.

Чтобы вычислить PDF наполовину нормального распределения, создайте HalfNormalDistribution использование объекта распределения вероятностей fitdist или makedist, затем используйте pdf метод для работы с объектом.

PDF полу-нормальных Распределений вероятностей

Открыть Live Script

В этом примере показано, как изменить значения mu и sigma параметры изменяют форму pdf.

Создайте четыре объекта распределения вероятностей с различными параметрами.

pd1 = makedist('HalfNormal');
pd2 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',2);
pd3 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',3);
pd4 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',5);

Вычислите функции плотности вероятностей (PDFS) каждого распределения.

x = 0:0.1:10;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);
pdf4 = pdf(pd4,x);

Постройте график PDFS на том же рисунке.

figure;
plot(x,pdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,pdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,pdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,pdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'mu = 0, sigma = 1','mu = 0, sigma = 2',...
    'mu = 0, sigma = 3','mu = 0, sigma = 5'},'Location','NE');
hold off;

Figure contains an axes. The axes contains 4 objects of type line. These objects represent mu = 0, sigma = 1, mu = 0, sigma = 2, mu = 0, sigma = 3, mu = 0, sigma = 5.

Как sigma увеличивается, кривая уплощается, и пиковое значение становится меньше.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) наполовину нормального распределения

$y = F (x) = e r f (\frac{x - μ}{\sqrt{2} σ}) = 2 Φ (\frac{x - μ}{σ}) - 1; x \geq μ,$

где μ - параметр местоположения, σ - параметр шкалы, erf (•) - функция ошибки, а Φ (•) - cdf стандартного нормального распределения. Если x ≤ μ, cdf не определен.

Чтобы вычислить cdf наполовину нормального распределения, создайте HalfNormalDistribution использование объекта распределения вероятностей fitdist или makedist, затем используйте cdf метод для работы с объектом.

CDF полунормального распределения вероятностей

Открыть Live Script

В этом примере показано, как изменить значения mu и sigma параметры изменяют форму cdf.

Создайте четыре объекта распределения вероятностей с различными параметрами.

pd1 = makedist('HalfNormal');
pd2 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',2);
pd3 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',3);
pd4 = makedist('HalfNormal','mu',0,'sigma',5);

Вычислите совокупные функции распределения (cdfs) для каждого распределения вероятностей.

x = 0:0.1:10;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);
cdf4 = cdf(pd4,x);

Постройте график всех четырех cdfs на одном рисунке.

figure;
plot(x,cdf1,'r','LineWidth',2)
hold on;
plot(x,cdf2,'k:','LineWidth',2);
plot(x,cdf3,'b-.','LineWidth',2);
plot(x,cdf4,'g--','LineWidth',2);
legend({'mu = 0, sigma = 1','mu = 0, sigma = 2',...
    'mu = 0, sigma = 3','mu = 0, sigma = 5'},'Location','SE');
hold off;

Figure contains an axes. The axes contains 4 objects of type line. These objects represent mu = 0, sigma = 1, mu = 0, sigma = 2, mu = 0, sigma = 3, mu = 0, sigma = 5.

Как sigma увеличивается, кривая cdf уплощается.

Описательная статистика

Среднее значение наполовину нормального распределения

$mean = μ + σ \sqrt{\frac{2}{π},}$

где μ - параметр местоположения, а σ - параметр шкалы.

Отклонение наполовину нормального распределения

$var = σ^{2} (1 - \frac{2}{π}),$

где σ - параметр шкалы.

Отношение к другим распределениям

Если случайная переменная Z имеет стандартное нормальное распределение со средним μ, равным нулю, и стандартное отклонение σ равное единице, тогда $X = μ + σ | Z |$ имеет половину нормального распределения с параметрами μ и σ.

Ссылки

[1] Корей, К. и М.М.А. Ананда. «Обобщение полу-нормального распределения с приложениями к жизненным данным». Коммуникации в статистике - теория и методы. Том 37, № 9, 2008, с. 1323-1337.

[2] Pewsey, A. «Large-Sample Inference for the General Half-Normal Distribution». Коммуникации в статистике - теория и методы. Том 31, № 7, 2002, стр. 1045-1054.

См. также

HalfNormalDistribution

Документация