Найдите MLE набора данных с цензурой при помощи normfit, а затем найти отрицательную логарифмическую правдоподобность MLE при помощи normlike.

Загрузите выборочные данные.

load lightbulb

Первый столбец данных содержит время жизни (в часах) двух типов лампочек. Второй столбец содержит двоичную переменную, указывающую, является ли луковица флуоресцентной или раскаленной. 1 указывает, что лампочка является флуоресцентной, а 0 указывает, что лампочка является раскаленной. Третий столбец содержит цензурную информацию, где 0 указывает, что лампочка наблюдается до отказа, а 1 указывает, что элемент (лампочка) подвергается цензуре.

Найдите индексы для флуоресцентных лампочек.

idx = find(lightbulb(:,2) == 0);

Найдите MLE нормальных параметров распределения. Второй входной параметр normfit задает уровень доверия. Проходите [] использовать его значение по умолчанию 0.05. Третий входной параметр задает цензурную информацию.

censoring = lightbulb(idx,3) == 1;
[muHat,sigmaHat] = normfit(lightbulb(idx,1),[],censoring)

muHat = 9.4966e+03

sigmaHat = 3.0640e+03

Найдите отрицательную логарифмическую правдоподобность MLE.

nlogL = normlike([muHat,sigmaHat],lightbulb(idx,1),censoring)

nlogL = 376.2305

Функция normfit находит среднее значение выборки и квадратный корень объективной оценки отклонения без цензуры. Среднее значение выборки равно MLE среднего параметра, но квадратный корень объективной оценки дисперсии не равен MLE стандартного параметра отклонения.

Найдите нормальные параметры распределения при помощи normfit, преобразовать их в MLE, а затем сравнить отрицательные журналы вероятности оценок с помощью normlike.

Сгенерируйте 100 нормальных случайных чисел из стандартного нормального распределения.

rng('default') % For reproducibility
n = 100;
x = normrnd(0,1,[n,1]);

Найдите среднее значение выборки и квадратный корень объективной оценки отклонения.

[muHat,sigmaHat] = normfit(x)

muHat = 0.1231

sigmaHat = 1.1624

Преобразуйте квадратный корень объективной оценки дисперсии в MLE стандартного параметра отклонения.

sigmaHat_MLE = sqrt((n-1)/n)*sigmaHat

sigmaHat_MLE = 1.1566

Переменное различие между sigmaHat и sigmaHat_MLE незначителен для больших n.

Также можно найти MLE при помощи функции mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    0.1231    1.1566

phat(1) и phat(2) являются MLE среднего и стандартного параметров отклонения, соответственно.

Подтвердите, что журнал вероятность MLE (muHat и sigmaHat_MLE) больше, чем журнал вероятность объективных оценок (muHat и sigmaHat) при помощи normlike функция.

logL = -normlike([muHat,sigmaHat],x)

logL = -156.4424

logL_MLE = -normlike([muHat,sigmaHat_MLE],x)

logL_MLE = -156.4399

Найдите максимальные оценки правдоподобия (MLE) параметров нормального распределения, а затем найдите доверительный интервал соответствующего обратного значения cdf.

Сгенерируйте 1000 нормальных случайных чисел из нормального распределения со средним 5 и стандартным отклонением 2.

rng('default') % For reproducibility
n = 1000; % Number of samples
x = normrnd(5,2,[n,1]);

Найдите MLE для параметров распределения (среднее и стандартное отклонение) при помощи mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    4.9347    1.9969

muHat = phat(1);
sigmaHat = phat(2);

Оцените ковариацию параметров распределения при помощи normlike. Функция normlike возвращает приближение к асимптотической ковариационной матрице, если вы передаете MLE и выборки, используемые для оценки MLE.

[~,pCov] = normlike([muHat,sigmaHat],x)

pCov = 2×2

    0.0040   -0.0000
   -0.0000    0.0020

Найдите обратное значение cdf в 0,5 и его 99% доверительный интервал.

[x,xLo,xUp] = norminv(0.5,muHat,sigmaHat,pCov,0.01)

x = 4.9347

xLo = 4.7721

xUp = 5.0974

x - обратное значение cdf, использующее нормальное распределение с параметрами muHat и sigmaHat. Интервал [xLo,xUp] - 99% доверительный интервал обратного значения cdf, оцененный в 0,5 с учетом неопределенности muHat и sigmaHat использование pCov. 99% доверительный интервал означает вероятность того, что [xLo,xUp] содержит истинное обратное значение cdf 0,99.