pca
Анализ основных компонентов необработанных данных
Синтаксис
Описание
coeff = pca(X)X. Строки X соответствуют наблюдениям, а столбцы соответствуют переменным. Матрица коэффициентов p -by - p. Каждый столбец coeff содержит коэффициенты для одного основного компонента, и столбцы находятся в порядке убывания отклонений компонента. По умолчанию pca центрирует данные и использует алгоритм сингулярного разложения (SVD).
coeff = pca(X,Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар.
Для примера можно задать количество основных компонентов pca возвращает или алгоритм, отличный от SVD для использования.
[ также возвращает счета основных компонентов в coeff,score,latent]
= pca(___)score и основные отклонения компонентов в latent. Можно использовать любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах.
Счета основных компонентов являются представлениями X в главном пространстве компонентов. Строки score соответствуют наблюдениям, а столбцы - компонентам.
Главными отклонениями компонентов являются собственные значения матрицы ковариации X.
Примеры
Основные компоненты набора данных
Загрузите набор выборочных данных.
load haldДанные по ингредиентам имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Найдите основные компоненты для данных о ингредиентах.
coeff = pca(ingredients)
coeff = 4×4
-0.0678 -0.6460 0.5673 0.5062
-0.6785 -0.0200 -0.5440 0.4933
0.0290 0.7553 0.4036 0.5156
0.7309 -0.1085 -0.4684 0.4844
Строки coeff содержат коэффициенты для четырех переменных ингредиента, и его столбцы соответствуют четырем основным компонентам.
PCA в присутствии отсутствующих данных
Найдите коэффициенты основного компонента, когда в наборе данных отсутствуют значения.
Загрузите набор выборочных данных.
load imports-85Матрица данных X имеет 13 непрерывных переменных в столбцах с 3 по 15: основание колеса, длина, ширина, высота, снаряженный вес, размер двигателя, отверстие, штрих, коэффициент сжатия, мощность, пиковая частота вращения, город-mpg и шоссе-mpg. В отверстии переменных и штрихе отсутствуют четыре значения в строках 56-59, а в переменных лошадиная сила и пиковая частота вращения отсутствуют два значения в строках 131 и 132.
Выполните анализ основных компонентов.
coeff = pca(X(:,3:15));
По умолчанию pca выполняет действие, заданное как 'Rows','complete' аргумент пары "имя-значение". Эта опция удаляет наблюдения с NaN значения перед вычислением. Строки NaNs повторно вставляются в score и tsquared в соответствующих местах, а именно в строках 56-59, 131 и 132.
Использование 'pairwise' для выполнения анализа основного компонента.
coeff = pca(X(:,3:15),'Rows','pairwise');
В этом случае pca вычисляет (i, j) элемент матрицы ковариации, используя строки без NaN значения в столбцах i или j X. Обратите внимание, что полученная ковариационная матрица может не быть положительно определенной. Эта опция применяется, когда алгоритм pca использует разложение собственных значений. Когда вы не задаете алгоритм, как в этом примере, pca устанавливает значение 'eig'. Если вам требуется 'svd' как алгоритм, со 'pairwise' опция, затем pca возвращает предупреждающее сообщение, устанавливает алгоритм равным 'eig' и продолжается.
Если вы используете 'Rows','all' аргумент пары "имя-значение", pca завершается, потому что эта опция предполагает отсутствие отсутствующих значений в наборе данных.
coeff = pca(X(:,3:15),'Rows','all');
Error using pca (line 180) Raw data contains NaN missing value while 'Rows' option is set to 'all'. Consider using 'complete' or pairwise' option instead.
Взвешенный PCA
Используйте обратные отклонения переменных в качестве весов при выполнении анализа основных компонентов.
Загрузите набор выборочных данных.
load haldВыполните анализ основного компонента, используя обратную часть отклонений из ингредиентов в качестве переменных весов.
[wcoeff,~,latent,~,explained] = pca(ingredients,... 'VariableWeights','variance')
wcoeff = 4×4
-2.7998 2.9940 -3.9736 1.4180
-8.7743 -6.4411 4.8927 9.9863
2.5240 -3.8749 -4.0845 1.7196
9.1714 7.5529 3.2710 11.3273
latent = 4×1
2.2357
1.5761
0.1866
0.0016
explained = 4×1
55.8926
39.4017
4.6652
0.0406
Обратите внимание, что матрица коэффициентов, wcoeff, не ортонормально.
Вычислите ортонормальную матрицу коэффициентов.
coefforth = inv(diag(std(ingredients)))* wcoeff
coefforth = 4×4
-0.4760 0.5090 -0.6755 0.2411
-0.5639 -0.4139 0.3144 0.6418
0.3941 -0.6050 -0.6377 0.2685
0.5479 0.4512 0.1954 0.6767
Проверяйте ортонормальность новой матрицы коэффициентов, coefforth.
coefforth*coefforth'
ans = 4×4
1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000
0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000
-0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000
0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
PCA, использующий ALS для отсутствующих данных
Найдите основные компоненты с помощью альтернативного алгоритма наименьших квадратов (ALS), когда в данных есть отсутствующие значения.
Загрузите выборочные данные.
load haldДанные по ингредиентам имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Выполните анализ основных компонентов с помощью алгоритма ALS и отобразите коэффициенты компонента.
[coeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(ingredients); coeff
coeff = 4×4
-0.0678 -0.6460 0.5673 0.5062
-0.6785 -0.0200 -0.5440 0.4933
0.0290 0.7553 0.4036 0.5156
0.7309 -0.1085 -0.4684 0.4844
Вводить отсутствующие значения случайным образом.
y = ingredients; rng('default'); % for reproducibility ix = random('unif',0,1,size(y))<0.30; y(ix) = NaN
y = 13×4
7 26 6 NaN
1 29 15 52
NaN NaN 8 20
11 31 NaN 47
7 52 6 33
NaN 55 NaN NaN
NaN 71 NaN 6
1 31 NaN 44
2 NaN NaN 22
21 47 4 26
⋮
Приблизительно 30% данных имеют отсутствующие значения, обозначенные NaN.
Выполните анализ основных компонентов с помощью алгоритма ALS и отобразите коэффициенты компонента.
[coeff1,score1,latent,tsquared,explained,mu1] = pca(y,... 'algorithm','als'); coeff1
coeff1 = 4×4
-0.0362 0.8215 -0.5252 0.2190
-0.6831 -0.0998 0.1828 0.6999
0.0169 0.5575 0.8215 -0.1185
0.7292 -0.0657 0.1261 0.6694
Отобразите расчетное среднее значение.
mu1
mu1 = 1×4
8.9956 47.9088 9.0451 28.5515
Восстановите наблюдаемые данные.
t = score1*coeff1' + repmat(mu1,13,1)
t = 13×4
7.0000 26.0000 6.0000 51.5250
1.0000 29.0000 15.0000 52.0000
10.7819 53.0230 8.0000 20.0000
11.0000 31.0000 13.5500 47.0000
7.0000 52.0000 6.0000 33.0000
10.4818 55.0000 7.8328 17.9362
3.0982 71.0000 11.9491 6.0000
1.0000 31.0000 -0.5161 44.0000
2.0000 53.7914 5.7710 22.0000
21.0000 47.0000 4.0000 26.0000
⋮
Алгоритм ALS оценивает отсутствующие значения в данных.
Другой способ сравнения результатов - найти угол между двумя пространствами, охватываемыми векторами коэффициентов. Найдите угол между коэффициентами, найденными для полных данных, и данными с отсутствующими значениями с помощью ALS.
subspace(coeff,coeff1)
ans = 9.1336e-16
Это небольшое значение. Это указывает, что результаты, если вы используете pca с 'Rows','complete' аргумент пары "имя-значение", когда отсутствуют отсутствующие данные и если вы используете pca с 'algorithm','als' аргумент пары "имя-значение", когда отсутствуют данные, близки друг к другу.
Выполните анализ основного компонента с помощью 'Rows','complete' Аргумент пары "имя-значение" и отображение коэффициентов компонента.
[coeff2,score2,latent,tsquared,explained,mu2] = pca(y,... 'Rows','complete'); coeff2
coeff2 = 4×3
-0.2054 0.8587 0.0492
-0.6694 -0.3720 0.5510
0.1474 -0.3513 -0.5187
0.6986 -0.0298 0.6518
В этом случае pca удаляет строки с отсутствующими значениями и y имеет только четыре строки без отсутствующих значений. pca возвращает только три основных компонента. Вы не можете использовать 'Rows','pairwise' опция, потому что ковариационная матрица не является положительной полуопределенной и pca возвращает сообщение об ошибке.
Найдите угол между коэффициентами, найденными для полных данных, и данными с отсутствующими значениями с помощью листового удаления (когда 'Rows','complete').
subspace(coeff(:,1:3),coeff2)
ans = 0.3576
Угол между двумя пространствами существенно больше. Это указывает, что эти два результата различны.
Отобразите расчетное среднее значение.
mu2
mu2 = 1×4
7.8889 46.9091 9.8750 29.6000
В этом случае среднее значение является всего лишь выборочным средним значением y.
Восстановите наблюдаемые данные.
score2*coeff2'
ans = 13×4
NaN NaN NaN NaN
-7.5162 -18.3545 4.0968 22.0056
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
-0.5644 5.3213 -3.3432 3.6040
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
NaN NaN NaN NaN
12.8315 -0.1076 -6.3333 -3.7758
⋮
Это показывает, что удаляются строки, содержащие NaN значения не так хорошо работают, как алгоритм ALS. Использование ALS лучше, когда данные имеют слишком много отсутствующих значений.
Коэффициенты, счета и отклонения основных компонентов
Найдите коэффициенты, счета и отклонения основных компонентов.
Загрузите набор выборочных данных.
load haldДанные по ингредиентам имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Найдите коэффициенты основного компонентасчетов и отклонения компонентов для данных ингредиентов.
[coeff,score,latent] = pca(ingredients)
coeff = 4×4
-0.0678 -0.6460 0.5673 0.5062
-0.6785 -0.0200 -0.5440 0.4933
0.0290 0.7553 0.4036 0.5156
0.7309 -0.1085 -0.4684 0.4844
score = 13×4
36.8218 -6.8709 -4.5909 0.3967
29.6073 4.6109 -2.2476 -0.3958
-12.9818 -4.2049 0.9022 -1.1261
23.7147 -6.6341 1.8547 -0.3786
-0.5532 -4.4617 -6.0874 0.1424
-10.8125 -3.6466 0.9130 -0.1350
-32.5882 8.9798 -1.6063 0.0818
22.6064 10.7259 3.2365 0.3243
-9.2626 8.9854 -0.0169 -0.5437
-3.2840 -14.1573 7.0465 0.3405
⋮
latent = 4×1
517.7969
67.4964
12.4054
0.2372
Каждый столбец score соответствует одному главному компоненту. Вектор, latent, сохраняет отклонения четырех основных компонентов.
Восстановите данные о центрированных ингредиентах.
Xcentered = score*coeff'
Xcentered = 13×4
-0.4615 -22.1538 -5.7692 30.0000
-6.4615 -19.1538 3.2308 22.0000
3.5385 7.8462 -3.7692 -10.0000
3.5385 -17.1538 -3.7692 17.0000
-0.4615 3.8462 -5.7692 3.0000
3.5385 6.8462 -2.7692 -8.0000
-4.4615 22.8462 5.2308 -24.0000
-6.4615 -17.1538 10.2308 14.0000
-5.4615 5.8462 6.2308 -8.0000
13.5385 -1.1538 -7.7692 -4.0000
⋮
Новые данные в Xcentered - исходные данные ингредиентов с центром вычитания средств столбца из соответствующих столбцов.
Визуализируйте как ортонормальные коэффициенты основного компонента для каждой переменной, так и счетов основного компонента для каждого наблюдения на одном графике.
biplot(coeff(:,1:2),'scores',score(:,1:2),'varlabels',{'v_1','v_2','v_3','v_4'});
Все четыре переменные представлены в этом биплоте вектором, и направление и длина вектора указывают, как каждая переменная способствует двум основным компонентам на графике. Например, первый главный компонент, который находится на горизонтальной оси, имеет положительные коэффициенты для третьей и четвертой переменных. Поэтому векторы и направлены в правую половину графика. Самый большой коэффициент в первом главном компоненте является четвертым, соответствующим переменной .
Второй главный компонент, который находится на вертикальной оси, имеет отрицательные коэффициенты для переменных , , и , и положительный коэффициент для переменной .
Этот 2-D биграфик также включает точку для каждого из 13 наблюдений с координатами, указывающими счет каждого наблюдения для двух основных компонентов на графике. Для примера точки около левого края графика имеют самые низкие счета для первого главного компонента. Точки масштабируются относительно максимального значения баллов и максимальной длины коэффициента, поэтому только их относительные положения могут быть определены из графика.
T-квадратная статистика
Найдите статистические значения Hotelling T-квадрат.
Загрузите набор выборочных данных.
load haldДанные по ингредиентам имеют 13 наблюдений для 4 переменных.
Выполните анализ основного компонента и запросите значения Т-квадрат.
[coeff,score,latent,tsquared] = pca(ingredients); tsquared
tsquared = 13×1
5.6803
3.0758
6.0002
2.6198
3.3681
0.5668
3.4818
3.9794
2.6086
7.4818
⋮
Запросите только первые два главных компонента и вычислите значения Т-квадрат в сокращенном пространстве запрашиваемых главных компонентов.
[coeff,score,latent,tsquared] = pca(ingredients,'NumComponents',2);
tsquaredtsquared = 13×1
5.6803
3.0758
6.0002
2.6198
3.3681
0.5668
3.4818
3.9794
2.6086
7.4818
⋮
Обратите внимание, что даже когда вы задаете сокращенное пространство компонента, pca вычисляет значения T-квадрат в полном пространстве, используя все четыре компонента.
Т-квадрат значения в редуцированном пространстве соответствует расстоянию Махаланобиса в редуцированном пространстве.
tsqreduced = mahal(score,score)
tsqreduced = 13×1
3.3179
2.0079
0.5874
1.7382
0.2955
0.4228
3.2457
2.6914
1.3619
2.9903
⋮
Вычислите значения T-квадрат в отброшенном пространстве, взяв различие значений T-квадрат в полном пространстве и расстояние Махаланобиса в сокращенном пространстве.
tsqdiscarded = tsquared - tsqreduced
tsqdiscarded = 13×1
2.3624
1.0679
5.4128
0.8816
3.0726
0.1440
0.2362
1.2880
1.2467
4.4915
⋮
Процент изменчивости, объясняемый основными компонентами
Найдите процентную изменчивость, объясненную основными компонентами. Отображение представления данных в пространстве основных компонентов.
Загрузите набор выборочных данных.
load imports-85Матрица данных X имеет 13 непрерывных переменных в столбцах с 3 по 15: основание колеса, длина, ширина, высота, снаряженный вес, размер двигателя, отверстие, штрих, коэффициент сжатия, мощность, пиковая частота вращения, город-mpg и шоссе-mpg.
Найдите процентную переменность, объясненную основными компонентами этих переменных.
[coeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(X(:,3:15)); explained
explained = 13×1
64.3429
35.4484
0.1550
0.0379
0.0078
0.0048
0.0013
0.0011
0.0005
0.0002
⋮
Первые три компонента объясняют 99,95% всей изменчивости.
Визуализируйте представление данных в пространстве первых трех основных компонентов.
scatter3(score(:,1),score(:,2),score(:,3)) axis equal xlabel('1st Principal Component') ylabel('2nd Principal Component') zlabel('3rd Principal Component')
Данные показывают наибольшую изменчивость вдоль первой основной оси компонента. Это самое большое возможное отклонение среди всех возможных элементов для выбора первой оси. Изменчивость вдоль второй основной оси компонента является самой большой среди всех возможных остальных вариантов второй оси. Третья ось главного компонента имеет третью самую большую изменчивость, которая значительно меньше, чем изменчивость вдоль второй оси главного компонента. Четвертый-тринадцатый основные оси компонентов не стоит проверять, потому что они объясняют только 0,05% всей изменчивости данных.
Чтобы пропустить любой из выходов, можно использовать ~ вместо этого в соответствующем элементе. Для примера, если вы не хотите получать значения Т-квадрат, задайте
[coeff,score,latent,~,explained] = pca(X(:,3:15));
Применение PCA к новым данным и генерация кода C/C + +
Найдите основные компоненты для одного набора данных и примените PCA к другому набору данных. Эта процедура полезна, когда у вас есть набор обучающих данных и набор тестовых данных для модели машинного обучения. Для примера можно предварительно обработать набор обучающих данных с помощью PCA, а затем обучить модель. Чтобы протестировать обученную модель с использованием набора тестовых данных, необходимо применить преобразование PCA, полученное из обучающих данных, к набору тестовых данных.
Этот пример также описывает, как сгенерировать код C/C + +. Потому что pca Поддержки генерации кода можно сгенерировать код, который выполняет PCA с помощью обучающих данных набора и применяет PCA к тестовым данным набору. Затем разверните код на устройстве. В этом рабочем процессе вы должны передать обучающие данные, которые могут быть значительного размера. Чтобы сохранить память на устройстве, можно разделить обучение и предсказание. Использование pca в MATLAB ® и применить PCA к новым данным в сгенерированном коде на устройстве.
Для генерации кода C/C + + требуется Coder™ MATLAB ®.
Применение PCA к новым данным
Загрузите набор данных в таблицу при помощи readtable. Набор данных находится в файле CreditRating_Historical.dat, который содержит исторические данные кредитного рейтинга.
creditrating = readtable('CreditRating_Historical.dat');
creditrating(1:5,:)ans=5×8 table
ID WC_TA RE_TA EBIT_TA MVE_BVTD S_TA Industry Rating
_____ _____ _____ _______ ________ _____ ________ _______
62394 0.013 0.104 0.036 0.447 0.142 3 {'BB' }
48608 0.232 0.335 0.062 1.969 0.281 8 {'A' }
42444 0.311 0.367 0.074 1.935 0.366 1 {'A' }
48631 0.194 0.263 0.062 1.017 0.228 4 {'BBB'}
43768 0.121 0.413 0.057 3.647 0.466 12 {'AAA'}
Первый столбец является идентификатором каждого наблюдения, а последний - рейтингом. Укажите второй-седьмой столбцы в качестве данных предиктора и последний столбец (Rating) как ответ.
X = table2array(creditrating(:,2:7)); Y = creditrating.Rating;
Используйте первые 100 наблюдений в качестве тестовых данных, а остальные - в качестве обучающих данных.
XTest = X(1:100,:); XTrain = X(101:end,:); YTest = Y(1:100); YTrain = Y(101:end);
Найдите основные компоненты набора обучающих данных XTrain.
[coeff,scoreTrain,~,~,explained,mu] = pca(XTrain);
Этот код возвращает четыре выходов: coeff, scoreTrain, explained, и mu. Использование explained (объясненный процент общего отклонения), чтобы найти количество компонентов, необходимых для объяснения изменчивости не менее 95%. Использование coeff (коэффициенты основных компонентов) и mu (расчетные средства XTrain) для применения PCA к набору тестовых данных. Использование scoreTrain (оценки основных компонентов) вместо XTrain когда вы обучаете модель.
Отображение процентной переменности, объясняемой основными компонентами.
explained
explained = 6×1
58.2614
41.2606
0.3875
0.0632
0.0269
0.0005
Первые два компонента объясняют более 95% всей изменчивости. Найдите количество компонентов, необходимых для объяснения изменчивости не менее 95%.
idx = find(cumsum(explained)>95,1)
idx = 2
Обучите классификационное дерево с помощью первых двух компонентов.
scoreTrain95 = scoreTrain(:,1:idx); mdl = fitctree(scoreTrain95,YTrain);
mdl является ClassificationTree модель.
Чтобы использовать обученную модель для тестового набора, необходимо преобразовать набор тестовых данных с помощью PCA, полученного из обучающих данных набора. Получите счета основного компонента набора тестовых данных путем вычитания mu от XTest и умножение на coeff. Необходимы только счета для первых двух компонентов, поэтому используйте первые два коэффициента coeff(:,1:idx).
scoreTest95 = (XTest-mu)*coeff(:,1:idx);
Передайте обученную модель mdl и преобразованный набор тестовых данных scoreTest на predict функция для предсказания оценок для тестового набора.
YTest_predicted = predict(mdl,scoreTest95);
Сгенерируйте код
Сгенерируйте код, который применяет PCA к данным и прогнозирует рейтинги с помощью обученной модели. Обратите внимание, что для генерации кода C/C + + требуется Coder™ MATLAB ®.
Сохраните классификационную модель в файл myMdl.mat при помощи saveLearnerForCoder.
saveLearnerForCoder(mdl,'myMdl');Задайте функцию точки входа с именем myPCAPredict который принимает тестовые данные аппарат (XTest) и информацию PCA (coeff и mu) и возвращает оценки тестовых данных.
Добавьте %#codegen директива компилятора (или прагма) к функции точки входа после сигнатуры функции, чтобы указать, что вы намерены сгенерировать код для алгоритма MATLAB. Добавление этой директивы предписывает анализатору кода MATLAB помочь вам диагностировать и исправить нарушения, которые могут привести к ошибкам во время генерации кода.
function label = myPCAPredict(XTest,coeff,mu) %#codegen % Transform data using PCA scoreTest = bsxfun(@minus,XTest,mu)*coeff; % Load trained classification model mdl = loadLearnerForCoder('myMdl'); % Predict ratings using the loaded model label = predict(mdl,scoreTest);
myPCAPredict применяет PCA к новым данным, используя coeff и mu, а затем прогнозирует рейтинги с помощью преобразованных данных. Таким образом, вы не проходите обучающие данные, которые могут быть значительного размера.
Примечание.Если нажать кнопку, расположенную в правом верхнем разделе этой страницы и открыть этот пример в MATLAB ®, MATLAB ® открывает папку примера. Эта папка включает файл функции точки входа.
Сгенерируйте код при помощи codegen (MATLAB Coder). Поскольку C и C++ являются статически типизированными языками, вы должны определить свойства всех переменных в функции точки входа во время компиляции. Чтобы задать тип данных и точный размер входного массива, передайте выражение MATLAB ®, которое представляет множество значений с определенным типом данных и размером массива при помощи -args опция. Если количество наблюдений неизвестно во время компиляции, можно также задать вход как переменный размер при помощи coder.typeof (MATLAB Coder). Для получения дополнительной информации смотрите Задать аргументы переменного размера для генерации кода.
codegen myPCAPredict -args {coder.typeof(XTest,[Inf,6],[1,0]),coeff(:,1:idx),mu}
Code generation successful.
codegen генерирует MEX-функцию myPCAPredict_mex с зависящим от платформы внутренним абонентом.
Проверьте сгенерированный код.
YTest_predicted_mex = myPCAPredict_mex(XTest,coeff(:,1:idx),mu); isequal(YTest_predicted,YTest_predicted_mex)
ans = logical
1
isequal возвращает логический 1 (true), что означает, что все входы равны. Сравнение подтверждает, что predict функция mdl и myPCAPredict_mex функция возвращает те же рейтинги.
Для получения дополнительной информации о генерации кода посмотрите Введение, чтобы Закодировать Генерацию кода Generationand и Приложение Classification Learner. Последний описывает, как выполнить PCA и обучить модель при помощи приложения Classification Learner, и как сгенерировать код C/C++, который предсказывает метки для новых данных на основе обученной модели.
Входные параметры
Выходные аргументы
Подробнее о
Алгоритмы
pca функция накладывает соглашение о знаке, заставляя элемент с наибольшей величиной в каждом столбце coefs быть положительным. Изменение знака вектора коэффициента не меняет его значения.
Ссылки
[1] Jolliffe, I.T. Основной анализ компонентов. 2-е изд., Спрингер, 2002.
[2] Кржановски, У. Дж. Принципы многомерного анализа. Oxford University Press, 1988.
[3] Себер, Г. А. Ф. Многомерные наблюдения. Уайли, 1984.
[4] Jackson, J. E. A. Руководство пользователя по основным компонентам. Уайли, 1988.
[5] Roweis, S. «EM Algorithms for PCA and SPCA». В работе Конференции 1997 года по усовершенствованиям в области нейронных систем обработки информации. Vol.10 (NIPS 1997), Кембридж, Массачусетс, США: MIT Press, 1998, pp. 626-632.
[6] Илин, А. и Т. Райко. Практические подходы к анализу основных компонентов при наличии отсутствующих значений. Дж. Мач. Учись. Res.. Том 11, август 2010, стр. 1957-2000.