Процентилы набора данных
Y = prctile(X,p)X для процентных p в интервале [0,100].
Если X является вектором, тогда Y - скаляр или вектор с той же длиной, что и количество запрашиваемых процентилей (length(p)). Y(i) содержит p(i) процентиль.
Если X является матрицей, тогда Y - вектор-строка или матрица, где количество строк Y равно количеству запрашиваемых процентилей (length(p)). The iпервая строка Y содержит p(i) процентили каждого столбца X.
Для многомерных массивов, prctile действует по первой нежесткой размерности X.
T-digest [2] является вероятностной структурой данных, которая является разреженным представлением эмпирической кумулятивной функции распределения (CDF) набора данных. T-дайджест полезен для вычисления приближений основанной на рангах статистики (таких как процентили и квантили) из онлайновых или распределенных данных таким образом, чтобы это позволяло контролировать точность, особенно вблизи хвостов распределения данных.
Для данных, которые распределены в различных разделах, t-digest вычисляет оценки квантиля (и оценки процентиля) для каждого раздела данных отдельно, а затем объединяет оценки с сохранением постоянной памяти и постоянной относительной точности расчета ( для q-го квантиля). По этим причинам t-digest практичен для работы с длинными массивами.
Чтобы оценить квантования массива, который распределен в различных разделах, сначала создайте t-дайджест в каждом разделе данных. t-digest группирует данные в разделе и суммирует каждый кластер по центроидному значению и накопленному весу, которое представляет количество выборок, вносящих вклад в кластер. T-digest использует большие кластеры (широко разнесенные центроиды), чтобы представлять области CDF, которые близки q = 0.5 и использует небольшие кластеры (плотно расположенные центроиды), чтобы представлять области CDF, которые близки q = 0 или q = 1.
T-digest управляет размером кластера с помощью функции масштабирования, которая сопоставляет q квантования с индексом, k с параметром сжатия . То есть,
где k отображения монотонна с минимальным значением k (0, δ) = 0 и максимальным значением k (1, δ) = δ. Следующий рисунок показывает функцию масштабирования для δ = 10.
Функция масштабирования переводит q квантования в коэффициент масштабирования k в порядок, чтобы задать шаги переменного размера в q. В результате размеры кластера неравны (больше вокруг центральных величин и меньше вблизи q = 0 или q = 1). Меньшие кластеры обеспечивают лучшую точность вблизи ребер данных.
Чтобы обновить t-дайджест с новым наблюдением, которое имеет вес и расположение, найдите кластер, ближайший к новому наблюдению. Затем прибавьте вес и обновите центроид кластера на основе средневзвешенного среднего значения условии, что обновленный вес кластера не превышает ограничения по размеру.
Можно объединить независимые t-дайджесты из каждого раздела данных, взяв объединение t-дайджестов и объединив их центроиды. Чтобы объединить t-дайджесты, сначала отсортируйте кластеры из всех независимых t-дайджестов в порядке уменьшения весов кластеров. Затем объедините соседние кластеры, когда они удовлетворяют ограничению размера, чтобы сформировать новый t-дайджест.
Если вы формируете t-digest, который представляет полный набор данных, можно оценить конечные точки (или контуры) каждого кластера в t-digest, а затем использовать интерполяцию между конечными точками каждого кластера, чтобы найти точные оценки квантиля.
Для вектора n -element X, prctile возвращает процентилы с помощью основанного на сортировке алгоритма следующим образом:
Отсортированные элементы в X приняты за 100 (0. 5/ n) -й, 100 (1. 5/ n) -й,..., 100 ([n - 0,5 ]/ n) -й процентил. Для примера:
Для вектора данных из пяти элементов, таких как {6, 3, 2, 10, 1}, отсортированные элементы {1, 2, 3, 6, 10} соответственно соответствуют 10-му, 30-му, 50-му, 70-му и 90-му процентилям.
Для вектора данных из шести элементов, таких как {6, 3, 2, 10, 8, 1}, отсортированные элементы {1, 2, 3, 6, 8, 10} соответственно соответствуют (50/6) th, (150/6) th, (250/6) th, (350/6) th и (450/6) th .
prctile использует линейную интерполяцию для вычисления процентилей между 100 (0. 5/ n) и 100 ([n - 0,5 ]/ n).
prctile присваивает минимальные или максимальные значения элементов в X к процентилам, соответствующим процентам вне этой области значений.
prctile лечит NaNs как отсутствующие значения и удаляет их.
[1] Langford, E. «Quartiles in Elementary Statistics», Journal of Statistics Education. Том 14, № 3, 2006.
