Проект "линейного квадратичного гауссова" (LQG)

Управление "линейным квадратичным гауссовым" (LQG) является современным методом пространства состояний для разработки оптимальных динамических регуляторов и диспетчеров сервомотора с интегральным действием (также известный как средства отслеживания заданного значения). Этот метод позволяет вам обменивать производительность регулирования/средства отслеживания и усилие по управлению, и учитывать воздействия процесса и шум измерения.

Чтобы разработать регуляторы LQG и средства отслеживания заданного значения, вы выполняете следующие шаги:

Создайте оптимальное LQ усиление.
Создайте Фильтр Калмана (средство оценки состояния).
Сформируйте проект LQG путем соединения оптимального LQ усиления и Фильтра Калмана.

Для получения дополнительной информации об использовании проекта LQG, чтобы создать регуляторы LQG, см. Проект "линейного квадратичного гауссова" (LQG) для Регулирования.

Для получения дополнительной информации об использовании проекта LQG, чтобы создать контроллеры сервомотора LQG, см. Проект "линейного квадратичного гауссова" (LQG) Контроллера Сервомотора с Интегральным Действием.

Эти темы фокусируются на непрерывно-разовом случае. Для получения информации о дискретном времени проект LQG смотрите страницы с описанием kalman и dlqr.

Проект "линейного квадратичного гауссова" (LQG) для регулирования

Можно разработать регулятор LQG, чтобы отрегулировать вывод y вокруг нуля в следующей модели.

Объект в этой модели испытывает воздействия (шум процесса) w и управляется средствами управления u. Регулятор полагается на шумные измерения y, чтобы сгенерировать эти средства управления. Состояние объекта и уравнения измерения принимают форму

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

и и w и v моделируются как белый шум.

Примечание

Проект LQG требует модели в пространстве состояний объекта. Можно использовать ss, чтобы преобразовать другие образцовые форматы в пространство состояний.

Чтобы разработать регуляторы LQG, можно использовать методы проектирования, показанные в следующей таблице.

Разработать регулятор LQG, использующий... Используйте следующие команды:

Разработать регулятор LQG, использующий...	Используйте следующие команды:
Быстрый, метод проектирования с одним шагом, когда следующее верно: Вам нужны оптимальный контроллер LQG и любой E (w v'), или H является ненулевым. Все известные (детерминированные) входные параметры являются входными параметрами управления, и все выходные параметры измеряются. Состояния интегратора взвешиваются независимо от состояний объектов и управляют входными параметрами.	`lqg`
Более гибкий, метод проектирования с тремя шагами, который позволяет вам задавать: Произвольный G и H. Известные (детерминированные) входные параметры, которые не являются средствами управления и/или выходными параметрами, которые не измеряются. Гибкая схема взвешивания состояний интегратора, состояний объекта и средств управления.	`lqr`, `kalman` и `lqgreg` Для получения дополнительной информации смотрите Построение оптимального усиления Обратной связи состояния для регулирования Построение средства оценки состояния Кальмана Формирование регулятора LQG

Быстрый, метод проектирования с одним шагом, когда следующее верно:

Вам нужны оптимальный контроллер LQG и любой E (w v'), или H является ненулевым.
Все известные (детерминированные) входные параметры являются входными параметрами управления, и все выходные параметры измеряются.
Состояния интегратора взвешиваются независимо от состояний объектов и управляют входными параметрами.

lqg

Более гибкий, метод проектирования с тремя шагами, который позволяет вам задавать:

Произвольный G и H.
Известные (детерминированные) входные параметры, которые не являются средствами управления и/или выходными параметрами, которые не измеряются.
Гибкая схема взвешивания состояний интегратора, состояний объекта и средств управления.

lqr, kalman и lqgreg

Для получения дополнительной информации смотрите

Построение оптимального усиления Обратной связи состояния для регулирования

Вы создаете оптимальное LQ усиление из следующих элементов:

Системные матрицы пространства состояний
Взвешивая матрицы Q, R и N, которые задают компромисс между производительностью регулирования (как быстрый x (t) переходит к нулю), и усилие по управлению.

Чтобы создать оптимальное усиление, введите следующую команду:

K= lqr(A,B,Q,R,N)

Эта команда вычисляет оптимальную матрицу усиления K, для который закон об обратной связи состояния $u = - K x$ минимизирует следующую квадратичную функцию стоимости в течение непрерывного времени:

$J (u) = \int_{0}^{\infty} {x^{T} Q x + 2 x^{T} N u + u^{T} R u} d t$

Программное обеспечение вычисляет матрицу усиления K путем решения алгебраического уравнения Riccati.

Для получения информации о построении оптимального LQ усиления, включая функцию стоимости, которую программное обеспечение минимизирует в течение дискретного времени, смотрите страницу с описанием lqr.

Построение средства оценки состояния Кальмана

Вам нужно средство оценки состояния Кальмана для регулирования LQG и сервоуправления, потому что вы не можете реализовать оптимальную оптимальную LQ обратную связь состояния без полного измерения состояния.

Вы создаете оценку состояния $\hat{x}$ таким образом, что $u = - K \hat{x}$ остается оптимальным для проблемы выходной обратной связи. Вы создаете усиление средства оценки состояния Кальмана из следующих элементов:

Модель объекта управления пространства состояний sys
Шумовые данные о ковариации, Qn, Rn и Nn
Следующие данные показывают необходимые размерности для Qn, Rn и Nn. Если Nn 0, можно не использовать его.
Необходимые размерности для Qn, Rn и Nn

Примечание

Вы создаете средство оценки состояния Кальмана таким же образом и для регулирования и для сервоуправления.

Чтобы создать средство оценки состояния Кальмана, введите следующую команду:

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

Эта команда вычисляет средство оценки состояния Кальмана, kest со следующими уравнениями объекта:

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

где w и v моделируются как белый шум. L является усилением Кальмана и P ковариационная матрица.

Программное обеспечение генерирует эту оценку состояния с помощью Фильтра Калмана

$\frac{d}{d t} \hat{x} = A \hat{x} + B u + L (y - C \hat{x} - D u)$

с входными параметрами u (средства управления) и y (измерения). Шумовые данные о ковариации

$E (w w^{T}) = Q_{n}, E (v v^{T}) = R_{n}, E (w v^{T}) = N_{n}$

решает, что Кальман получает L посредством алгебраического уравнения Riccati.

Фильтр Калмана является оптимальным средством оценки при контакте с Гауссовым белым шумом. А именно, это минимизирует асимптотическую ковариацию
$\lim_{t \to \infty}$ $E ((x - \hat{x}) {(x - \hat{x})}^{T})$

из ошибки оценки $x - \hat{x}$ .

Для получения дополнительной информации смотрите страницу с описанием kalman. Для полного примера реализации Фильтра Калмана смотрите Кальмана Филтеринга.

Формирование регулятора LQG

Чтобы сформировать регулятор LQG, соедините Фильтр Калмана kest и оптимальное LQ усиление K путем ввода следующей команды:

regulator = lqgreg(kest, K);

Эта команда формирует регулятор LQG, показанный в следующей фигуре.

У регулятора есть следующие уравнения пространства состояний:

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \hat{x} = [A - L C - (B - L D) K] \hat{x} + L y \\ u = - K \hat{x} \end{array}$

Для получения дополнительной информации о формировании регуляторов LQG смотрите lqgreg и Регулирование LQG: Тематическое исследование Металлопрокатного завода.

Проект "линейного квадратичного гауссова" (LQG) контроллера сервомотора с интегральным действием

Можно разработать контроллер сервомотора с интегральным действием для следующей модели:

Контроллер сервомотора, который вы разрабатываете, гарантирует, что вывод y отслеживает ссылочную команду r при отклонении воздействий процесса w и шум измерения v.

Объект в предыдущей фигуре подвергается воздействиям w и управляется средствами управления u. Контроллер сервомотора полагается на шумные измерения y, чтобы сгенерировать эти средства управления. Состояние объекта и уравнения измерения имеют форму

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

и и w и v моделируются как белый шум.

Примечание

Чтобы разработать контроллеры сервомотора LQG, можно использовать методы проектирования, показанные в следующей таблице.

Разработать контроллер сервомотора LQG, использующий... Используйте следующие команды:

Разработать контроллер сервомотора LQG, использующий...	Используйте следующие команды:
Быстрый, метод проектирования с одним шагом, когда следующее верно: Вам нужны оптимальный контроллер LQG и любой E (w v'), или H является ненулевым. Все известные (детерминированные) входные параметры являются входными параметрами управления, и все выходные параметры измеряются. Состояния интегратора взвешиваются независимо от состояний объектов и управляют входными параметрами.	`lqg`
Более гибкий, метод проектирования с тремя шагами, который позволяет вам задавать: Произвольный G и H. Известные (детерминированные) входные параметры, которые не являются средствами управления и/или выходными параметрами, которые не измеряются. Гибкая схема взвешивания состояний интегратора, состояний объекта и средств управления.	`lqi`, `kalman` и `lqgtrack` Для получения дополнительной информации смотрите Построение оптимального усиления Обратной связи состояния для сервоуправления Построение средства оценки состояния Кальмана Формирование сервоуправления LQG

Быстрый, метод проектирования с одним шагом, когда следующее верно:

Вам нужны оптимальный контроллер LQG и любой E (w v'), или H является ненулевым.
Все известные (детерминированные) входные параметры являются входными параметрами управления, и все выходные параметры измеряются.
Состояния интегратора взвешиваются независимо от состояний объектов и управляют входными параметрами.

lqg

Более гибкий, метод проектирования с тремя шагами, который позволяет вам задавать:

Произвольный G и H.
Известные (детерминированные) входные параметры, которые не являются средствами управления и/или выходными параметрами, которые не измеряются.
Гибкая схема взвешивания состояний интегратора, состояний объекта и средств управления.

lqi, kalman и lqgtrack

Для получения дополнительной информации смотрите

Построение оптимального усиления Обратной связи состояния для сервоуправления

Вы создаете оптимальное LQ усиление из

Модель объекта управления пространства состояний sys
Взвешивая матрицы Q, R и N, которые задают компромисс между производительностью средства отслеживания и управляют усилием

Чтобы создать оптимальное усиление, введите следующую команду:

K= lqi(sys,Q,R,N)

Эта команда вычисляет оптимальную матрицу усиления K, для который закон об обратной связи состояния $u = - K z = - K [x; x_{i}]$ минимизирует следующую квадратичную функцию стоимости в течение непрерывного времени:

$J (u) = \int_{0}^{\infty} {z^{T} Q z + u^{T} R u + 2 z^{T} N u} d t$

Программное обеспечение вычисляет матрицу усиления K путем решения алгебраического уравнения Riccati.

Построение средства оценки состояния Кальмана

Вам нужно средство оценки состояния Кальмана для регулирования LQG и сервоуправления, потому что вы не можете реализовать оптимальную LQ обратную связь состояния без полного измерения состояния.

Модель объекта управления пространства состояний sys
Шумовые данные о ковариации, Qn, Rn и Nn
Следующие данные показывают необходимые размерности для Qn, Rn и Nn. Если Nn 0, можно не использовать его.
Необходимые размерности для Qn, Rn и Nn

Примечание

Вы создаете средство оценки состояния Кальмана таким же образом и для регулирования и для сервоуправления.

Чтобы создать средство оценки состояния Кальмана, введите следующую команду:

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);