balreal

Находящаяся в Gramian балансировка ввода/вывода реализации пространства состояний

Синтаксис

[sysb,g] = balreal(sys) [sysb,g,T,Ti] = balreal(sys) [___] = balreal(sys,opts)

Описание

[sysb,g] = balreal(sys) вычисляет сбалансированную реализацию sysb для стабильного фрагмента модели LTI sys. balreal обрабатывает и непрерывные и дискретные системы. Если sys не является моделью в пространстве состояний, он сначала и автоматически преобразован в пространство состояний с помощью ss.

Для устойчивых систем sysb является эквивалентной реализацией, для которой управляемость и наблюдаемость Gramians являются равными и диагональными, их диагональные элементы, формирующие векторный g сингулярных значений Ганкеля. Маленькие записи в g указывают на состояния, которые могут быть удалены, чтобы упростить модель (используйте modred, чтобы уменьшать порядок модели).

Если sys имеет нестабильные полюса, его стабильная часть изолируется, балансируется и добавила назад к его нестабильной части, чтобы сформировать sysb. Записи g, соответствующего нестабильным режимам, установлены в Inf.

[sysb,g,T,Ti] = balreal(sys) также возвращает векторный g, содержащий диагональ сбалансированного Gramian, преобразование подобия состояния _xb =, Tx раньше преобразовывал sys в sysb и обратное преобразование Ti = ^T-1.

Если система нормирована правильно, диагональный g объединенного Gramian может использоваться, чтобы уменьшать порядок модели. Поскольку g отражает объединенную управляемость и наблюдаемость отдельных государств сбалансированной модели, можно удалить те состояния с маленьким g(i) при сохранении самых важных характеристик ввода - вывода исходной системы. Используйте modred, чтобы выполнить устранение состояния.

[___] = balreal(sys,opts) вычисляет сбалансированную реализацию с помощью опций, что вы задаете использование hsvdOptions. Опции включают смещение и опции допуска для вычисления стабильно-нестабильных разложений. Опции также позволяют вам ограничивать вычисление Gramian интервалами частоты и определенным временем. Смотрите hsvdOptions для деталей.

Примеры

свернуть все

Сбалансированная реализация устойчивой системы

Скрипт Open Live Script

Рассмотрите следующую модель нулей и полюсов с почти отменой нулевых полюсом пар:

sys = zpk([-10 -20.01],[-5 -9.9 -20.1],1)

sys =
 
     (s+10) (s+20.01)
  ----------------------
  (s+5) (s+9.9) (s+20.1)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Реализация пространства состояний со сбалансированным gramians получена

[sysb,g] = balreal(sys);

Диагональные элементы соединения gramian

g'

ans = 1×3

    0.1006    0.0001    0.0000

Это указывает, что последние два состояния sysb слабо связываются с вводом и выводом. Можно затем удалить эти состояния

sysr = modred(sysb,[2 3],'del');

Это приводит к следующему приближению первого порядка исходной системы.

zpk(sysr)

ans =
 
   1.0001
  --------
  (s+4.97)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Сравните Предвещать ответы исходных моделей и моделей уменьшаемого порядка.

bodeplot(sys,sysr,'r--')

Графики показывают, что удаление вторых и третьих состояний не имеет большого эффекта на системную динамику.

Сбалансированная реализация нестабильной системы

Скрипт Open Live Script

Создайте нестабильную систему.

sys = tf(1,[1 0 -1])

sys =
 
     1
  -------
  s^2 - 1
 
Continuous-time transfer function.

Примените balreal, чтобы создать сбалансированную-gramian реализацию.

[sysbal,g] = balreal(sys)

sysbal =
 
  A = 
       x1  x2
   x1   1   0
   x2   0  -1
 
  B = 
           u1
   x1  0.7071
   x2  0.7071
 
  C = 
            x1       x2
   y1   0.7071  -0.7071
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

g = 2×1

       Inf
    0.2500

Нестабильный полюс обнаруживается как Inf в векторном g.

Алгоритмы

Рассмотрите модель

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

с управляемостью и наблюдаемостью Gramians _Wc и _Wo. Координатное преобразование состояния $\bar{x} = T x$ производит эквивалентную модель

$\begin{array}{l} \dot{\bar{x}} = T A T^{- 1} \bar{x} + T B u \\ y = C T^{- 1} \bar{x} + D u \end{array}$

и преобразовывает Грэмиэнов к

$\begin{matrix} {\bar{W}}_{c} = T W_{c} T^{T}, & {\bar{W}}_{o} = T^{- T} W_{o} \end{matrix} T^{- 1}$

Функциональный balreal вычисляет конкретное преобразование подобия T, таким образом что

${\bar{W}}_{c} = {\bar{W}}_{o} = d i a g (g)$

См. [1], [2] для получения дополнительной информации об алгоритме.

Если вы используете TimeIntervals или опции FreqIntervals hsvdOptions, то balreal основывает сбалансированную реализацию на ограниченной временем или ограниченной частотой управляемости и наблюдаемости Gramians. Для получения информации о вычислении ограниченного временем и ограниченного частотой Gramians смотрите gram и [4].

Ссылки

[1] Laub, A.J., М.Т. Хит, К.К. Пэйдж и Р.К. Уорд, "Вычисление Системных Преобразований Балансировки и Другие Применения Одновременных Алгоритмов Диагонализации", IEEE^® Trans. Автоматическое управление, AC-32 (1987), стр 115-122.

[2] Мур, B., "Анализ главных компонентов в Линейных системах: Управляемость, Наблюдаемость и Снижение сложности модели", Транзакции IEEE на Автоматическом управлении, AC-26 (1981), стр 17-31.

[3] Laub, A.J., "Вычисление Балансирующихся Преобразований", Proc. ACC, Сан-Франциско, Vol.1, бумага FA8-E, 1980.

[4] Гавронский, W. и Дж.Н. Джуэнг. “Снижение сложности модели в Интервалах Ограниченного времени и Частоты”. Международный журнал Системной Науки. Издание 21, Номер 2, 1990, стр 349–376.

Документация

balreal

Синтаксис

Описание

Примеры

Сбалансированная реализация устойчивой системы

Сбалансированная реализация нестабильной системы

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка