грамм

Управляемость и наблюдаемость Gramians

Синтаксис

Wc = gram(sys,'c') Wc = gram(sys,'o') Wc = gram(___,opt)

Описание

Wc = gram(sys,'c') вычисляет управляемость Gramian модели (ss) пространства состояний sys.

Wc = gram(sys,'o') вычисляет наблюдаемость Gramian модели ss sys.

Wc = gram(___,opt) вычисляет ограниченный временем или ограниченный частотой Gramians. opt является набором опции, который задает время или интервалы частоты для вычисления. Создайте opt с помощью команды gramOptions.

Можно использовать Gramians, чтобы изучить управляемость и свойства наблюдаемости моделей в пространстве состояний и для снижения сложности модели [1]. У них есть лучшие числовые свойства, чем управляемость и матрицы наблюдаемости, сформированные ctrb и obsv.

Учитывая непрерывно-разовую модель в пространстве состояний

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

управляемость Gramian задана

$W_{c} = \int_{0}^{\infty} e^{A τ} B B^{T} e^{A^{T} τ} d τ$

Gramian управляемости положителен определенный, если и только если (A, B) управляемо.

Наблюдаемость Gramian задана

$W_{o} = \int_{0}^{\infty} e^{A^{T} τ} C^{T} C e^{A τ} d τ$

Gramian наблюдаемости положителен определенный, если и только если (A, C) заметно.

Дубликаты дискретного времени управляемости и наблюдаемости Gramians

$\begin{matrix} W_{c} = \sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} B B^{T} {(A^{T})}^{k}, & W_{o} = \end{matrix} \sum_{k = 0}^{\infty} {(A^{T})}^{k} C^{T} C A^{k}$

соответственно.

Используйте ограниченный временем или ограниченный частотой Gramians, чтобы исследовать управляемость или наблюдаемость состояний в интервалах частоты или определенном времени. Определение этих Gramians как описано в [2].

Примеры

Вычислите ограниченный частотой Gramian

Вычислите управляемость Gramian следующей модели в пространстве состояний. Фокусируйте вычисление на интервале частоты с большей частью энергии.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

Модель содержит пик на уровне 1 рад/с. Используйте gramOptions, чтобы задать интервал вокруг той частоты.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Ограничения

Матрица A должна быть стабильной (все собственные значения имеют отрицательную действительную часть в непрерывное время и значение строго меньше чем один в дискретное время).

Алгоритмы

Управляемость Gramian _Wc получена путем решения непрерывно-разового уравнения Ляпунова

$A W_{c} + W_{c} A^{T} + B B^{T} = 0$

или его дубликат дискретного времени

$A W_{c} A^{T} - W_{c} + B B^{T} = 0$

Точно так же наблюдаемость Gramian _Wo решает уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} + W_{o} A + C^{T} C = 0$

в непрерывное время и уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} A - W_{o} + C^{T} C = 0$

в дискретное время.

Вычисление ограниченного временем и ограниченного частотой Gramians как описано в [2].

Ссылки

[1] Kailath, T., линейные системы, Prentice Hall, 1980.

[2] Гавронский, W. и Дж.Н. Джуэнг. “Снижение сложности модели в Интервалах Ограниченного времени и Частоты”. Международный журнал Системной Науки. Издание 21, Номер 2, 1990, стр 349–376.

Документация

грамм

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычислите ограниченный частотой Gramian

Ограничения

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Представлено до R2006a

Документация Control System Toolbox

Поддержка