Модель Бэйтса (Бэйтс (1996)) является расширением модели Хестона, где в дополнение к стохастической энергозависимости параметры диффузии скачка, подобные Мертону (1976), были также добавлены, чтобы смоделировать внезапные перемещения цен активов.

Стохастическое дифференциальное уравнение:

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S _t является ценой активов во время t.

v _t является отклонением цен активов во время t.

J является случайным условным выражением размера скачка процента на появлении скачка, где ln (1+J) нормально распределен со средним значением $$\ln (1+{\mu }_J)-\frac{{\delta }^2}{2}$$ и стандартное отклонение δ, и (1+J) имеет логарифмически нормальное распределение:

v ₀ является начальным отклонением цены активов в t = 0 (v ₀> 0).

θ является долгосрочным уровнем отклонения для (θ> 0).

κ является скоростью возвращения к среднему уровню для (κ> 0).

σ _v является энергозависимостью отклонения для (σ _v> 0).

p является корреляцией между процессами Вайнера W _t и $$W_t^v$$ для (-1 ≤ p ≤ 1).

μ _J является средним значением J для (μ _J>-1).

δ является стандартным отклонением ln (1+J) для (δ ≥ 0).

$${\lambda }_p$$ ежегодная частота (интенсивность) Пуассоновского процесса P _t для ($${\lambda }_p$$ ≥ 0).

Характеристическая функция $$f_{Bate{s}_j(\varphi )}$$ для j = 1 (средняя мера цен активов) и j =2 (нейтральная к риску мера):

где

ϕ является переменной характеристической функции.

ƛ _VolRisk является надбавкой за риск энергозависимости.

τ является временем к зрелости для (τ = T - t).

i является модульным мнимым числом для (i ² =-1).

Определения для C _j и D _j под “Небольшим Прерыванием Хестона” Albrecher и др. (2007):

Численное интегрирование используется, чтобы оценить непрерывный интеграл для обратного преобразования Фурье.

Метод численного интегрирования при Хестоне (1993) среда основан на следующих выражениях:

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S _t является ценой активов во время t.

K является забастовкой.

τ время к зрелости (τ = T-t).

Call (K) является досрочной ценой в забастовке K.

Put (K) является помещенной ценой в забастовке K

i является модульным мнимым числом (i ² =-1)

ϕ переменная характеристической функции.

f _j (ϕ) является характеристической функцией для P _j (j = 1,2).

P ₁ является вероятностью S _t> K под мерой цен активов для модели.

P ₂ является вероятностью S _t> K под нейтральной к риску мерой для модели.

Где j = 1,2 так, чтобы f ₁ (ϕ) и f ₂ (ϕ) был характеристическими функциями для вероятностей P ₁ и P ₂, соответственно.

Эта среда выбрана со значением по умолчанию “Heston1993” для аргумента пары "имя-значение" Framework.

Численное интегрирование используется, чтобы оценить непрерывный интеграл для обратного преобразования Фурье.

Метод численного интегрирования при Льюисе (2001) среда основан на следующих выражениях:

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S _t является ценой активов во время t.

K является забастовкой.

τ время к зрелости (τ = T-t).

Call (K) является досрочной ценой в забастовке K.

Put (K) является помещенной ценой в забастовке K

i является модульным мнимым числом (i ² =-1)

ϕ переменная характеристической функции.

u является переменной характеристической функции для интегрирования, где $$\varphi =\left(u-\frac{i}{2}\right)$$.

f ₂ (ϕ) является характеристической функцией для P ₂.

P ₂ является вероятностью S _t> K под нейтральной к риску мерой для модели.

Эта среда выбрана со значением “Lewis2001” для аргумента пары "имя-значение" Framework.