Exponenta Banner

optSensByHestonFFT

Цена опции и чувствительность моделью Хестона использование БПФ и FRFT

свернуть все на странице

Синтаксис

[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV)
[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(___,Name,Value)

Описание

пример

[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV) вычисляет европейскую цену опции ванили и чувствительность моделью Хестона, с помощью БПФ Топкого-места-Madan и методов Chourdakis FRFT.

пример

[PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(___,Name,Value) добавляют дополнительные аргументы пары "имя-значение".

Примеры

свернуть все

Скрипт Open Live Script

Используйте optSensByHestonFFT, чтобы калибровать сетку забастовки БПФ для чувствительности, вычислить чувствительность опции и поверхности чувствительности опции графика.

Задайте переменные опции и параметры модели Хестона

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

V0 = 0.04;
ThetaV = 0.05;
Kappa = 1.0;
SigmaV = 0.2;
RhoSV = -0.7;

Вычислите чувствительность опции для целого БПФ (или FRFT) сетка забастовки, не задавая "забастовку"

Вычислите чувствительность опции и также выведите соответствующие забастовки. Если вход Strike будет пуст ([]), чувствительность опции будет вычислена на целом БПФ (или FRFT) сетка забастовки. БПФ (или FRFT) сетка забастовки определяется как exp(log-strike grid), где каждый столбец сетки логарифмической забастовки имеет точки NumFFT с LogStrikeStep, располагающим с интервалами, которые примерно сосредоточены вокруг каждого элемента log(AssetPrice). Значение по умолчанию для NumFFT 2^12. В дополнение к чувствительности в первом выводе дополнительный последний вывод содержит соответствующие забастовки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)

% Compute option sensitivities for the entire FFT strike grid
[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'OutSpec', "delta");

% Show the lowest and highest strike values on the FFT strike grid
format
MinStrike = Kout(1) % Lowest possible strike in the current FFT strike grid
MinStrike = 2.9205e-135

MaxStrike = Kout(end) % Highest possible strike in the current FFT strike grid
MaxStrike = 1.8798e+138

% Show a subset of the strikes and corresponding option sensitivities
Range = (2046:2052);
[Kout(Range) Delta(Range)]
ans = 7×2

   50.4929    0.9866
   58.8640    0.9671
   68.6231    0.8724
   80.0000    0.5775
   93.2631    0.1545
  108.7251    0.0059
  126.7505    0.0000

Измените количество БПФ (или FRFT) точки и сравните с optSensByHestonNI

Попробуйте различное количество БПФ (или FRFT) точки и сравните результаты с численным интегрированием. В отличие от optSensByHestonFFT, который использует БПФ (или FRFT) методы для быстрого вычисления через целую область значений забастовок, функция optSensByHestonNI использует прямое численное интегрирование, и это обычно медленнее, специально для нескольких забастовок. Однако значения, вычисленные optSensByHestonNI, могут служить сравнительным тестом для корректировки настроек для optSensByHestonFFT.

% Try a smaller number of FFT points 
% (e.g. for faster performance or smaller memory footprint)
NumFFT = 2^10; % Smaller than the default value of 2^12 
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)
[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT);

% Compare with numerical integration method
Range = (510:516);
Strike = Kout(Range);
DeltaFFT = Delta(Range);
DeltaNI = optSensByHestonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'OutSpec', "delta");
Error = abs(DeltaFFT-DeltaNI);
table(Strike, DeltaFFT, DeltaNI, Error)
ans=7×4 table
    Strike     DeltaFFT      DeltaNI        Error   
    ______    __________    __________    __________

    12.696       0.90066       0.99002       0.08936
    23.449       0.93635       0.99002      0.053677
    43.312       0.94796        0.9896      0.041645
        80       0.53274       0.57747      0.044733
    147.76     0.0032769      2.45e-08     0.0032769
    272.93    0.00098029    -1.399e-10    0.00098029
    504.11    0.00028151    5.2868e-10    0.00028151

Внесите дальнейшие корректировки в БПФ (или FRFT)

Если значения в выводе DeltaFFT существенно отличаются от тех в DeltaNI, попытайтесь внести изменения в настройки optSensByHestonFFT, такие как CharacteristicFcnStep, LogStrikeStep, NumFFT, DampingFactor, и так далее. Обратите внимание на то, что, если (LogStrikeStep * CharacteristicFcnStep) 2*pi/NumFFT, БПФ используется. В противном случае FRFT используется.

Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT or FRFT strike grid)
[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001);

% Compare with numerical integration method
Strike = Kout(Range);
DeltaFFT = Delta(Range);
DeltaNI = optSensByHestonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'OutSpec', "delta");
Error = abs(DeltaFFT-DeltaNI);
table(Strike, DeltaFFT, DeltaNI, Error)
ans=7×4 table
    Strike    DeltaFFT    DeltaNI      Error   
    ______    ________    _______    __________

    79.76     0.58558     0.58558    3.0538e-08
    79.84     0.58289     0.58289    2.8865e-08
    79.92     0.58018     0.58018    2.7053e-08
       80     0.57747     0.57747    2.5111e-08
    80.08     0.57476     0.57476    2.3049e-08
    80.16     0.57203     0.57203    2.0875e-08
    80.24      0.5693      0.5693    1.8601e-08


% Save the final FFT (or FRFT) strike grid for future reference. For
% example, it provides information about the range of Strike inputs for
% which the FFT (or FRFT) operation is valid.
FFTStrikeGrid = Kout;
MinStrike = FFTStrikeGrid(1) % Strike cannot be less than MinStrike
MinStrike = 47.9437

MaxStrike = FFTStrikeGrid(end) % Strike cannot be greater than MaxStrike
MaxStrike = 133.3566

Вычислите чувствительность опции для одной забастовки

Если вы определяете БПФ (или FRFT) настройки, используйте вход Strike, чтобы задать забастовки вместо того, чтобы обеспечить пустой массив. Если заданные забастовки не совпадают со значением на БПФ (или FRFT) сетка забастовки, выходные параметры интерполированы на заданных забастовках.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001)
Delta = 0.5775

Вычислите чувствительность опции для вектора забастовок

Используйте вход Strike, чтобы задать забастовки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001)
Delta = 5×1

    0.7043
    0.6433
    0.5775
    0.5083
    0.4377

Вычислите чувствительность опции для вектора забастовок и вектора дат тех же длин

Используйте вход Strike, чтобы задать забастовки. Кроме того, вход Maturity может быть вектором, но он должен совпадать с длиной вектора Strike, если аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput не установлен в "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001) % Five values in vector output
Delta = 5×1

    0.6848
    0.6413
    0.6095
    0.5841
    0.5631

Расширьте Выходные параметры для поверхности

Установите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput "true" расширять выходные параметры в NStrikes-by-NMaturities матрицы. В этом случае они - квадратные матрицы.

[Delta, Kout] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix output
Delta = 5×5

    0.6848    0.6762    0.6703    0.6654    0.6609
    0.6416    0.6413    0.6404    0.6390    0.6372
    0.5960    0.6048    0.6095    0.6119    0.6129
    0.5485    0.5671    0.5776    0.5841    0.5882
    0.4997    0.5286    0.5452    0.5559    0.5631


Kout = 5×5

    76    76    76    76    76
    78    78    78    78    78
    80    80    80    80    80
    82    82    82    82    82
    84    84    84    84    84

Вычислите чувствительность опции для вектора забастовок и вектора дат различных длин

Когда ExpandOutput является "true", NStrikes не должны совпадать с NMaturities (то есть, вывод NStrikes-by-NMaturities матрица может быть прямоугольным).

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 6) matrix output
Delta = 5×6

    0.7043    0.6848    0.6762    0.6703    0.6654    0.6609
    0.6433    0.6416    0.6413    0.6404    0.6390    0.6372
    0.5775    0.5960    0.6048    0.6095    0.6119    0.6129
    0.5083    0.5485    0.5671    0.5776    0.5841    0.5882
    0.4377    0.4997    0.5286    0.5452    0.5559    0.5631

Вычислите чувствительность опции для вектора забастовок и вектора цен активов

Когда ExpandOutput является "true", выводом может также быть NStrikes-by-NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора цен активов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Delta = optSensByHestonFFT(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, ...
    'OutSpec', "delta", 'NumFFT', NumFFT, 'CharacteristicFcnStep', 0.065, ...
    'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output
Delta = 5×4

    0.4293    0.5708    0.6848    0.7705
    0.3737    0.5193    0.6416    0.7364
    0.3200    0.4668    0.5960    0.6994
    0.2693    0.4143    0.5485    0.6597
    0.2226    0.3628    0.4997    0.6177

Постройте поверхности чувствительности опции

Используйте вход Strike, чтобы задать забастовки. Увеличьте значение для NumFFT, чтобы поддержать более широкую область значений забастовок. Кроме того, вход Maturity может быть вектором. Установите ExpandOutput на "true" выводить поверхности как NStrikes-by-NMaturities матрицы.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

% Increase 'NumFFT' to support a wider range of strikes
NumFFT = 2^13;

[Delta, Gamma, Rho, Theta, Vega, VegaLT] = ...
    optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    V0, ThetaV, Kappa, SigmaV, RhoSV, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true, ...
    'OutSpec', ["delta", "gamma", "rho", "theta", "vega", "vegalt"]);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Delta);
title('Delta');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

figure;
surf(X,Y,Gamma)
title('Gamma')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

figure;
surf(X,Y,Rho)
title('Rho')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

figure;
surf(X,Y,Theta)
title('Theta')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

figure;
surf(X,Y,Vega)
title('Vega')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

figure;
surf(X,Y,VegaLT)
title('VegaLT')
xlabel('Years to Option Expiry')
ylabel('Strike')
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);

Входные параметры

свернуть все

Постоянно составляемая безрисковая процентная ставка, заданная как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

Текущая цена базового актива, заданная как числовое значение с помощью скаляра или NINST-by-1 или NColumns-by-1 вектор.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для AssetPrice смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

Расчетный день опции, заданный как NINST-by-1 или NColumns-by-1 вектор с помощью последовательных чисел даты, векторов символов даты, массивов datetime или строковых массивов. Дата Settle должна быть перед датой Maturity.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Settle смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

Дата погашения опции, заданная как NINST-by-1 или NColumns-by-1 вектор с помощью последовательных чисел даты, векторов символов даты, массивов datetime или строковых массивов.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Maturity смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

Определение опции, заданной как NINST-by-1 или NColumns-by-1 вектор с помощью массива ячеек из символьных векторов или строковых массивов со значениями 'call' или 'put'.

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для OptSpec смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

Значение цены исполнения опциона опции, заданное как NINST-by-1, NRows-by-1, NRows-by-NColumns вектор цен исполнения опциона.

Если этот вход является пустым массивом ([]), цены опции вычисляются на целом БПФ (или FRFT) сетка забастовки, которая определяется как exp(log-strike grid). Каждый столбец сетки логарифмической забастовки has 'NumFFT' указывает с 'LogStrikeStep', располагающим с интервалами, которые примерно сосредоточены вокруг каждого элемента log(AssetPrice).

Для получения дополнительной информации о соответствующих размерностях для Strike смотрите аргумент пары "имя-значение" ExpandOutput.

Типы данных: double

Начальное отклонение актива подчиненного, заданного как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Долгосрочное отклонение актива подчиненного, заданного как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Средняя скорость версии для актива подчиненного, заданного как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Энергозависимость отклонения актива подчиненного, заданного как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Корреляция между процессами Вайнера для базового актива и его отклонения, заданного как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Аргументы в виде пар имя-значение

Укажите необязательные аргументы в виде пар ""имя, значение"", разделенных запятыми. Имя (Name) — это имя аргумента, а значение (Value) — соответствующее значение. Name должен появиться в кавычках. Вы можете задать несколько аргументов в виде пар имен и значений в любом порядке, например: Name1, Value1, ..., NameN, ValueN.

Пример: [PriceSens,StrikeOut] = optSensByHestonFFT(Rate, AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,V0,ThetaV,Kappa,SigmaV,RhoSV,'Basis',7,'OptSpec',"vega")

Дневное количество инструмента, заданного как пара, разделенная запятой, состоящая из 'Basis' и скаляра с помощью поддерживаемого значения:

  •  0 = фактический/фактический

  •  1 = 30/360 (СИА)

  •  2 = Фактический/360

  •  3 = Фактический/365

  •  4 = 30/360 (PSA)

  •  5 = 30/360 (ISDA)

  •  6 = 30/360 (европеец)

  •  7 = Фактический/365 (японский язык)

  •  8 = фактический/фактический (ICMA)

  •  9 = Фактический/360 (ICMA)

  •  10 = Фактический/365 (ICMA)

  •  11 = 30/360E (ICMA)

  •  12 = Фактический/365 (ISDA)

  •  13 = ШИНА/252

Для получения дополнительной информации смотрите основание.

Типы данных: double

Постоянно составляемая доходность базовых активов, заданная как пара, разделенная запятой, состоящая из 'DividendYield' и скалярного числового значения.

Типы данных: double

Надбавка за риск энергозависимости, заданная как пара, разделенная запятой, состоящая из 'VolRiskPremium' и скалярного числового значения.

Типы данных: double

Отметьте указание на Небольшую формулировку Прерывания Хестона Albrecher и др. , заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'LittleTrap' и логического:

  • tRUE Используйте Albrecher и др. формулировка.

  • ложь Используйте исходное формирование Хестона.

Типы данных: логический

Задайте выходные параметры, заданные как пара, разделенная запятой, состоящая из 'OutSpec' и NOUT - 1 или 1-by-NOUT массив строк или массив ячеек из символьных векторов с поддерживаемыми значениями.

Примечание

"vega" является чувствительностью с уважением начальная энергозависимость sqrt (V0). Напротив, "vegalt" является чувствительностью относительно долгосрочной энергозависимости sqrt (ThetaV).

Пример: OutSpec = ["price","delta","gamma","vega","rho","theta","vegalt"]

Типы данных: string | cell

Количество узлов решетки в переменной характеристической функции и в каждом столбце сетки логарифмической забастовки, заданной как пара, разделенная запятой, состоящая из 'NumFFT' и скалярного числового значения.

Типы данных: double

Интервал сетки переменной характеристической функции, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'CharacteristicFcnStep' и скалярного числового значения.

Типы данных: double

Интервал сетки логарифмической забастовки, заданный как пара, разделенная запятой, состоящая из 'LogStrikeStep' и скалярного числового значения.

Примечание

Если (LogStrikeStep *CharacteristicFcnStep) 2*pi/NumFFT, БПФ используется. В противном случае FRFT используется.

Типы данных: double

Затухание фактора для формулировки Топкого-места-Madan, заданной как пара, разделенная запятой, состоящая из 'DampingFactor' и скалярного числового значения.

Типы данных: double

Тип квадратуры, заданной как пара, разделенная запятой, состоящая из 'Quadrature' и односимвольного векторного массива или массива строк со значением simpson или trapezoidal.

Типы данных: char | string

Отметьте, чтобы расширить выходные параметры, заданные как пара, разделенная запятой, состоящая из 'ExpandOutput' и логического:

  • tRUE Если true, выходными параметрами является NRows NColumns матрицами. NRows является количеством борьбы за каждый столбец, и это определяется входом Strike. Например, Strike может быть NRows-by-1 вектор или NRows-by-NColumns матрица. Если Strike пуст, NRows равен NumFFT. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity и OptSpec, который должен все быть или скаляром или NColumns-by-1 векторы.

  • ложь Если false, выходными параметрами является NINST-by-1 векторы. Кроме того, входные параметры Strike, AssetPrice, Settle, Maturity и OptSpec должны все быть или скаляром или NINST-by-1 векторы.

Типы данных: логический

Выходные аргументы

свернуть все

Цены опции или чувствительность, возвращенная как NINST-by-1 или NRows-by-NColumns, в зависимости от ExpandOutput. Аргумент пары "имя-значение" OutSpec определяет типы и порядок выходных параметров.

Забастовки, соответствующие Price, возвращенному как NINST-by-1 или NRows-by-NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

Больше о

свернуть все

Хестон стохастическая модель энергозависимости

Модель Хестона является расширением модели Black-Scholes, где энергозависимость (квадратный корень из отклонения) больше не принимается, чтобы быть постоянной, и отклонение теперь следует за стохастическим (CIR) процесс. Этот процесс позволяет моделировать улыбки подразумеваемой волатильности, наблюдаемые на рынке.

Стохастическое дифференциальное уравнение:

dSt=(r−q)Stdt+vtStdWtdvt=κ(θ−vt)dt+σvvtdWtvE[dWtdWtv]=pdt

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S t является ценой активов во время t.

v t является отклонением цен активов во время t

v 0 является начальным отклонением цены активов в t = 0 для (v 0> 0).

θ является долгосрочным уровнем отклонения для (θ> 0).

κ является скоростью возвращения к среднему уровню для отклонения для (κ> 0).

σ v является энергозависимостью отклонения для (σ v> 0).

p является корреляцией между процессами Вайнера W t и W vt для (-1 ≤ p ≤ 1).

Характеристическая функция fHestonj(ϕ) для j = 1 (мера цен активов) и j = 2 (нейтральная к риску мера):

fHestonj(ϕ)=exp(Cj+Djv0+iϕlnSt)Cj=(r−q)iϕτ+κθσv2[(bj−pσviϕ+dj)τ−2ln(1−gjedjτ1−gj)]Dj=bj−pσviϕ+djσv2(1−edjτ1−gjedjτ)gj=bj−pσviϕ+djbj−pσviϕ−djdj=(bj−pσviϕ)2−σv2(2ujiϕ−ϕ2)где для j=1,2:u1=12,u2=−12,b1=κ+λVolRisk−pσv,b2=κ+λVolRisk

где

ϕ является переменной характеристической функции.

ƛ VolRisk является надбавкой за риск энергозависимости.

τ является временем к зрелости (τ = T - t).

i является модульным мнимым числом (i 2 =-1).

Определения для C j и D j под “Небольшим Прерыванием Хестона” Albrecher и др. (2007):

Cj=(r−q)iϕτ+κθσv2[(bj−pσviϕ−dj)τ−2ln(1−εje−djτ1−εj)]Dj=bj−pσviϕ−djσv2(1−e−djτ1−εje−djτ)εj=bj−pσviϕ−djbj−pσviϕ+dj

Формулировка топкого-места-Madan

Топкое место и Мадан (1999) формулировка являются популярной измененной реализацией Хестона (1993) среда.

Вместо того, чтобы вычислять вероятности, P 1 и P 2 как промежуточное звено продвигается, Топкое место и Мадан разработали альтернативное выражение так, чтобы взятие его обратного преобразования Фурье дало саму цену опции непосредственно.

Call(k)=e−αkπ∫0∞Ре[e−iukψ(u)]duψ(u)=e−rτf2(ϕ=(u−(α+1)i))α2+α−u2+iu(2α+1)Put(K)=Call(K)+Ke−rτ−Ste−qτ

где

r является непрерывным безрисковым уровнем.

q является непрерывной дивидендной доходностью.

S t является ценой активов во время t.

τ время к зрелости (τ = T-t).

Call (K) является досрочной ценой в забастовке K.

Put (K) является помещенной ценой в забастовке K.

i является модульным мнимым числом (i 2 =-1).

ϕ переменная характеристической функции.

α фактор затухания.

u является переменной характеристической функции для интегрирования, где ϕ = (u - (α + 1) i).

f 2 (ϕ) является характеристической функцией для P 2.

P 2 является вероятностью S t> K под нейтральной к риску мерой для модели.

Чтобы применить БПФ или FRFT к этой формулировке, переменная характеристической функции для интегрирования, u, дискретизируется в NumFFT (N) точки с размером шага CharacteristicFcnStep (Δu), и логарифмическая забастовка, k дискретизируется в точки N с размером шага LogStrikeStep (Δk).

Дискретизированная переменная характеристической функции для интегрирования, u j (для j = 1,2,3, …, N), имеет минимальное значение 0 и максимальное значение (N-1) (Δu), и это аппроксимирует непрерывный диапазон интегрирования от 0 до бесконечности.

Дискретизированная сетка логарифмической забастовки, k n (для n = 1, 2, 3, N) приблизительно сосредоточена вокруг ln (S t) с минимальным значением

ln(St)−N2Δk

и максимальное значение

ln(St)+(N2−1)Δk

Где минимальная допустимая забастовка

Stexp(−N2Δk)

и максимальная допустимая забастовка

Stexp[(N2−1)Δk]

В результате дискретизации выражение для колл-опциона становится

Call(kn)=Δue−αknπ∑j=1NРе[e−iΔkΔu(j−1)(n−1)eiuj[NΔk2−ln(St)]ψ(uj)]wj

где

Δu является размером шага дискретизированной переменной характеристической функции для интегрирования.

Δk является размером шага дискретизированной логарифмической забастовки.

N является количеством точек FRFT или БПФ.

w j является весами для квадратуры, используемой для приближения интеграла.

БПФ используется, чтобы выполнить вышеупомянутое выражение, если Δk и Δu подвергаются следующему ограничению:

ΔkΔu=(2πN)

в противном случае функции используют метод FRFT, описанный в Chourdakis (2005).

Ссылки

[1] Albrecher, H., Майер, P., Schoutens, W. и Tistaert, J. "Небольшое прерывание Хестона". Рабочий документ, Линц и технологический университет Граца, K.U. Левен, финансовые рынки ING, 2006.

[2] Топкое место, P. и Д.Б. Мадан. “Оценка опции с помощью Быстрого преобразования Фурье”. Журнал Вычислительных Финансов. Vol 2. № 4. 1999.

[3] Chourdakis, K. “Оценка опции Используя дробный БПФ”. Журнал вычислительных финансов. 2005.

[4] Хестон, S. L. “Решение закрытой формы для опций со стохастической энергозависимостью с приложениями к опциям связи и валюты”. Анализ финансовых исследований. Vol 6. № 2. 1993.

Смотрите также

| | | | | | | | | |

Введенный в R2018a

Документация Financial Instruments Toolbox
Поддержка