Идентификация моделей в пространстве состояний с отдельными описаниями шума процесса и измерения

Общая образцовая структура

Идентифицированная линейная модель используется, чтобы моделировать и предсказать систему выходные параметры для данного входа и шумовых сигналов. Входные сигналы измеряются, в то время как шумовые сигналы только известны через их статистическое среднее значение и отклонение. general form модели в пространстве состояний, часто сопоставляемой с Кальманом, фильтрующим, является примером такой модели и задан как:

\begin{matrix} x (t + 1) = A (θ) x (t) + B (θ) u (t) + w (t) \\ y (t) = C (θ) x (t) + D (θ) u (t) + v (t), \end{matrix}

(1)

где, во время t:

x (t) является вектором образцовых состояний.
u (t) является измеренными входными данными.
y (t) является измеренными выходными данными.
w (t) является шумом процесса.
v (t) является шумом измерения.

Шумовые воздействия являются независимыми случайными переменными с нулевым средним значением и ковариациями:

$\begin{matrix} E [w (t) w^{⊺} (t)] = R_{1} (θ) \\ E [v (t) v^{⊺} (t)] = R_{2} (θ) \\ E [w (t) v^{⊺} (t)] = R_{12} (θ) \end{matrix}$

Векторный θ параметризовал модель, включая коэффициенты системных матриц и шумовых ковариаций. Однако все элементы модели не обязательно свободны. Если у вас есть физическое понимание состояний системы и источников шума, модель может иметь определенную структуру с немногими параметрами в векторном θ.

Инновационная форма и один шаг вперед предиктор

Для данного значения θ вы хотите предсказать наилучшие оценки x (t) и y (t) в присутствии любых воздействий. Необходимые уравнения predictor model выведены от Кальмана, фильтрующего метод:

\begin{matrix} \hat{x} (t + 1, θ) = A (θ) x (t) + B (θ) u (t) + K (θ) [y (t) - C (θ) \hat{x} (t, θ) - D (θ) u (t)] \\ \hat{y} (t, θ) = C (θ) \hat{x} (t) + D (θ) u (t), \end{matrix}

(2)

где $\hat{x} (t, θ)$ ожидаемое значение вектора состояния x (t) в момент времени t, и $\hat{y} (t, θ)$ ожидаемое значение вывода y (t). Переменные u (t) и y (t) в вышеупомянутом уравнении представляют измеренные значения ввода и вывода во время t. Матрица Кальмана Гэйна, K (θ), выведена из системных матриц и шумовых ковариаций можно следующим образом:

$K (θ) = [A (θ) Γ (θ) C^{⊺} (θ) + R_{12} (θ)] {[C (θ) Γ (θ) C^{⊺} (θ) + R_{2} (θ)]}^{- 1},$

где $Γ (θ)$ ковариация оценочной ошибки состояния:

$Γ (θ) = \bar{E} [[x (t) - \hat{x} (t, θ)] {[x (t) - \hat{x} (t, θ)]}^{⊺}] .$

$Γ (θ)$ решение алгебраического уравнения Riccati. Для получения дополнительной информации смотрите dare и [1]

Обозначение выходной ошибки прогноза как $e (t) = y (t) - \hat{y} (t, θ)$ , можно написать общую модель в пространстве состояний в более простой форме:

\begin{matrix} x (t + 1, θ) = A (θ) x (t) + B (θ) u (t) + K (θ) e (t) \\ y (t) = C (θ) x (t) + D (θ) u (t) + e (t) . \end{matrix}

(3)

Это более простое представление является innovations form модели в пространстве состояний и имеет только один уникальный источник воздействия, e (t). Эта форма соответствует выбору _R2 =I, _R12 =K и _R1 =^KKT для общей образцовой структуры. Программное обеспечение System Identification Toolbox™ использует инновационную форму в качестве своего первичного представления моделей в пространстве состояний.

И общая форма и инновационная форма вывода модели к той же модели предиктора как показано в уравнении 2. Используйте команду predict, чтобы вычислить предсказанный образцовый ответ и сгенерировать эту систему предиктора.

Образцовая идентификация

Идентификационная задача состоит в том, чтобы использовать данные об измерении ввода и вывода, чтобы определить вектор параметризации, θ. Подход к взятию зависит от суммы предшествующей информации, доступной относительно системы и шумовых воздействий.

Идентификация черного квадрата

Когда только измерения данных ввода - вывода доступны, и вы не знаете о шумовой структуре, можно только оценить модель в инновационной форме. Для этого мы используем один шаг вперед ошибочный подход минимизации прогноза (PEM), чтобы вычислить лучший выходной предиктор. Для этого подхода матричный K параметризован независимо от других системных матриц, и никакая предшествующая информация о системных состояниях или выходных ковариациях не рассматривается для оценки. Предполагаемая модель может быть брошена в общую образцовую структуру многими групповыми способами, один из которых должен принять _R2 =I, _R12 =K, и _R1 =^KKT. Инновационная форма является системным представлением предиктора, в котором e (t) не обязательно представляет фактический шум измерения.

Оцените модели в пространстве состояний в инновационной форме с помощью n4sid, ssest и команд ssregest. Системные матрицы A, B, C, D и K параметризованы независимо и идентификация, минимизируют взвешенную норму ошибки прогноза, e (t). Для получения дополнительной информации смотрите, что Оценка Моделей в пространстве состояний Использует ssest, ssregest и n4sid и примеры оценки в ssest.

Примечание

В этом случае алгоритм оценки выбирает образцовые состояния произвольно. В результате трудно вообразить физически значимые описания состояний и источников для воздействий, влияющих на них.

Структурированная идентификация

В некоторых ситуациях, в дополнение к данным ввода - вывода, вы знаете что-то о воздействиях измерения и состоянии. Чтобы сделать понятие из воздействий состояния значимым, необходимо, чтобы состояния были четко определены, такими как положения и скорости в механической системе смешанной массы. Четко определенные состояния и известные источники шума приводят к структурированной модели в пространстве состояний, которая можно затем параметризовать использование общей образцовой структуры уравнения 1.

Чтобы идентифицировать такие модели, используйте подход моделирования серого поля, который позволяет вам использовать любые предварительные знания относительно системных параметров и шумовых ковариаций. Например, можно знать, что только первый элемент _R1 является ненулевым, или что все недиагональные условия _R2 являются нулем. При использовании моделирования серого поля обеспечьте значения исходного предположения для вектора параметризации, θ. Если образцовые состояния физически значимы, должно быть возможно определить первоначальные оценки для параметров в θ.

Оценить модель серого поля с параметризованными воздействиями:

Создайте функцию MATLAB^®, вызванную файл ОДУ, что:
- Вычисляет параметризованные матрицы пространства состояний, A, B, C и D, с помощью вектора параметра θ, который предоставляется как входной параметр.
- Вычисляет шумовые ковариационные матрицы _R1, _R2 и _R12. Каждая из этих матриц может быть полностью или частично неизвестна. Любые неизвестные элементы матрицы заданы с точки зрения параметров в θ.
- Использует системные матрицы A и C и шумовые ковариации с командой kalman, чтобы найти матрицу усиления Кальмана, K.
  [~,K] = kalman(ss(A,eye(nx),C,zeros(ny,nx),Ts),R1,R2,R12);
  Здесь, nx является количеством образцовых состояний, ny является количеством образцовых выходных параметров, и Ts является шагом расчета. Команда kalman требует программного обеспечения Control System Toolbox™.
- Возвращает A, B, C, D и K как выходные аргументы.
Создайте модель idgrey, которая использует функцию ОДУ и значение исходного предположения для вектора параметра, θ.
Сконфигурируйте любые опции оценки с помощью команды greyestOptions.
Оцените θ с помощью команды greyest.

Для примера использования параметризованных воздействий с моделированием серого поля см. Оценочную Модель Серого Поля Дискретного времени с Параметризованным Воздействием.

Сводные данные

Используйте инновационную форму, если все, что вы имеете, является измеренными данными ввода - вывода. Стоит использовать общую форму, только если можно задать системную параметризацию со значимыми состояниями, и у вас есть нетривиальное знание о шумовых ковариациях. В этом случае используйте оценку серого поля, чтобы идентифицировать модель в пространстве состояний.

И общая форма и инновации формируют вывод к тому же предиктору. Так, если ваша конечная цель должна развернуть модель для предсказания будущих выходных параметров или выполнять симуляции, более удобно использовать инновационную форму модели.

Ссылки

[1] Ljung, L. “Модели в пространстве состояний”. Разделите 4.3 в System Identification: Теория для Пользователя. 2-й редактор Верхний Сэддл-Ривер, NJ: Prentice Hall, 1999, стр 93–102.

Документация