Взаимодействия среды

Без опции Symbolic функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Пример 1

Мы используем эквивалентные форматы ввода _{(B1, B2)}, чтобы представлять вектор с компонентами [a, π]. Во-первых, этот вектор задан как 2-мерный массив:

A := array(1..2, 1..3, [[1, 2, 3],[1, 1, 2]]):
B1 := array(1..2, 1..1, [[a], [PI]]):
numeric::matlinsolve(A, B1)

Затем, мы используем 1-мерный массив и вычисляем точное решение:

B2 := array(1..2, [a, PI]):
numeric::matlinsolve(A, B2, Symbolic)

Теперь, список используется, чтобы задать вектор. Никакие внутренние предположения не использовались numeric::matlinsolve, чтобы получить решение:

B3 := [a, PI]:
numeric::matlinsolve(A, B3, ShowAssumptions)

Наконец, мы используем объекты Dom::Matrix задать систему. Обратите внимание на то, что результаты возвращены, когда соответствующая матрица возражает:

A := matrix([[1, 2, 3],[1, 1, 2]]):
B4 := matrix([a, PI]):
numeric::matlinsolve(A, B4)

delete A, B1, B2, B3, B4:

Пример 2

Мы инвертируем матрицу путем решения A  X = 1:

A := hfarray(1..3, 1..3, [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]):
B := matrix::identity(3, 3):
InverseOfA := numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1]

delete A, B, InverseOfA:

Пример 3

Мы решаем уравнение с символьным параметром x:

A := matrix([[2, 2, 3], [1, 1, 2], [3, 3, 5]]):
B := matrix([sin(x)^2, cos(x)^2, 0]):
[X, Kernel, Constraints, Pivots] :=
 numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)

Это решение содержит подвергающийся ограничению sin (x) ² + cos (x) ² = 0 на параметре x. numeric::matlinsolve не исследует Constraints и не понимает, что они не могут быть удовлетворены. Мы проверяем непротиворечивость “результата” путем вставки решения в исходную систему. Начиная с входной матрицы A имел тип Dom::Matrix(), результаты, X и Kernel были возвращены как соответствующие матрицы. Перегруженные операторы * и - для умножения матриц и вычитания могут использоваться:

A*X - B, A*Kernel

delete A, B, X, Kernel, Constraints, Pivots:

Пример 4

Мы даем дальнейшую демонстрацию опции ShowAssumptions. Следующая система не имеет решения для всех значений параметра a:

A := array(1..2, 1..2, [[1, 1], [1, 1]]):
B := array(1..2, 1..1, [[1], [a]]):
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)

С ShowAssumptions numeric::matlinsolve занимается расследованиями под который условия (на параметре a) существует решение:

numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)

Мы приходим к заключению, что существует 1-мерный пробел решения для a = 1.

delete A, B:

Пример 5

Мы решаем разреженную систему с 3 диагональными полосами:

n := 100: 
A := matrix(n, n, [1, -2, 1], Banded):
B := array(1..n, [1 $ n]): 
numeric::matlinsolve(A, B)

delete n, A, B:

Пример 6

Symbolic опции не должен использоваться для уравнений с коэффициентами с плавающей точкой, потому что символьная вертящаяся стратегия способствует эффективности вместо числовой устойчивости.

A := array(1..2, 1..2, [[1, 10^20], [1, 1]]):
B := array(1..2, 1..1, [[10^20], [0]]):

Приближение плавающее точного решения:

map(numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1], float)

Мы теперь преобразовываем точные входные данные в приближения с плавающей точкой:

A := map(A, float): B := map(B, float):

Значение по умолчанию, вертящееся стратегия алгоритма с плавающей точкой, стабилизирует операции с плавающей точкой. Следовательно, каждый получает правильный результат:

numeric::matlinsolve(A, B)[1]

С опцией Symbolic, однако, вертящаяся стратегия оптимизирует скорость, принимая точную арифметику. Числовая нестабильность может произойти, если коэффициенты с плавающей точкой включены. Следующий результат вызывается внутренними эффектами округления (“отмена”):

numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1]

Мы должны увеличить DIGITS, чтобы получить лучший результат:

DIGITS := 20:
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1]

delete A, B, DIGITS:

Пример 7

Мы демонстрируем, как полное решение следующей линейной системы с символьными параметрами может быть найдено:

A := array(1..3, 1..2, [[1, 1], [a, b], [1, c]]):
B := array(1..3, 1..1, [[1], [1], [1]]):
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)

Это - общее решение, принимающее a ≠ b. Мы теперь устанавливаем b = a исследовать дальнейшие ответвления решения:

A := subs(A, b = a):
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)

Это - общее решение для a = b, принимая c ≠ 1. Мы наконец устанавливаем c = 1 получать последнее ответвление решения:

A := subs(A, c = 1):
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)

От ограничения на a мы приходим к заключению, что существует 1-мерный пробел решения для специальных значений a = b = c = 1 из символьных параметров.

delete A, B:

Пример 8

Матрицы от области, такие как Dom::Matrix (...) преобразованы в массивы с числами или выражениями. Следовательно, numeric::matlinsolve не находит решения для следующей системы:

M := Dom::Matrix(Dom::IntegerMod(7)):
A := M([[1, 4], [6, 3], [3, 2]]): 
B := M([[9], [5], [0]]):
numeric::matlinsolve(A, B)

Используйте linalg::matlinsolve, чтобы решить систему по содействующему полю матриц. Решение действительно существует по полю Dom::IntegerMod (7):

linalg::matlinsolve(A, B)

delete M, A, B:

Пример 9

Мы демонстрируем различие между Symbolic, HardwareFloats и SoftwareFloats. Следующий матричный A имеет 1-мерное ядро. Из-за округления, дальнейший побочный вектор ядра появляется с SoftwareFloats. Никакой вектор ядра не обнаруживается с HardwareFloats:

A := matrix([[2*10^14 + 2, 2*10^(-9), 2*10^(-4)], 
             [3*10^15 + 3, 3*10^(-8), 3*10^(-3)],
             [4*10^16 + 4, 4*10^(-7), 4*10^(-2)]
            ]): 
b := matrix([2*10^(-9), 3*10^(-8), 4*10^(-7)]):
float(numeric::matlinsolve(A, b, Symbolic));
numeric::matlinsolve(A, b, SoftwareFloats);
numeric::matlinsolve(A, b, HardwareFloats)

delete A, b:

Возвращаемые значения

Без опции ShowAssumptions список возвращен [X, KernelBasis]. (Специальным) решением X является n ×p матрица. KernelBasis является n ×d матрица (d является размерностью ядра A). Его столбцы охватывают ядро A. Если ядро тривиально, KernelBasis является целым числом 0.

[FAIL, NIL] возвращен, если система не разрешима.

С ShowAssumptions список возвращен [X, KernelBasis, Constraints, Pivots]. Списки Constraints и Pivots содержат уравнения и неравенства, вовлекающие символьные параметры в A и B. Внутренне они были приняты, чтобы сохраняться при решении системы. [FAIL, NIL, [], []] возвращен, если система не разрешима.