`график::`

Поверхности в 3D, параметризованном в сферических координатах

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразовывают Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

plot::Spherical([r, ϕ, θ], u = u_min .. u_max, v = v_min .. v_max, <a = a_min .. a_max>, options)

Описание

plot::Spherical создает поверхности, параметризованные в сферических координатах.

Поверхность, данная отображением (“параметризация”), является набором всех точек изображений

${(\begin{matrix} r (u, v) \\ ϕ (u, v) \\ θ (u, v) \end{matrix}) | u \in [u_{\min}, u_{\max}], v \in [v_{\min}, v_{\max}]}$

в сферических координатах, которые переводят в обычные “Декартовы” координаты как

$\begin{array}{l} x = r потому что (ϕ) \sin (θ) \\ y = r \sin (ϕ) \sin (θ) \\ x = r потому что (θ) \end{array}$

r упоминается как “радиус”, ϕ как “азимутальный угол”, и θ известен как “угол в полярных координатах”.

Функции r, ϕ, θ оценен на регулярной равноотстоящей mesh точек выборки в u-v плоскость. Эта mesh определяется атрибутами UMesh, VMesh. По умолчанию атрибут, AdaptiveMesh = 0 установлен, т.е. никакое адаптивное улучшение равноотстоящей mesh, используется.

Если стандартная mesh не достаточна, чтобы произвести достаточно подробный график, можно или увеличить значение UMesh, VMesh или USubmesh, VSubmesh, или установить AdaptiveMesh = n с некоторым (маленьким) положительным целочисленным n. При необходимости до 2ⁿ - 1 дополнительная точка помещается в каждое направление u-v плоскость между смежными точками начальной равноотстоящей mesh. Cf. Пример 3.

“Координатные строки” (“строки параметра”) являются кривыми на поверхности.

Фраза “ULines” отсылает к кривым (r (u, v ₀), ϕ (u, v ₀), θ (u, v ₀)) с параметром u, запускающийся от _umin до _umax, в то время как v ₀ является некоторым фиксированным значением от интервала _{[vmin, vmax]}.

Фраза “VLines” отсылает к кривым (r (u ₀, v), ϕ (u ₀, v), θ (u ₀, v)) с параметром v, запускающийся от _vmin до _vmax, в то время как u ₀ является некоторым фиксированным значением от интервала _{[umin, umax]}.

По умолчанию кривые параметра видимы. Они могут быть выключены путем определения ULinesVisible = FALSE и VLinesVisible = FALSE, соответственно.

Координатные строки, которыми управляет ULinesVisible = TRUE/FALSE и VLinesVisible = TRUE/FALSE, указывают на равноотстоящую mesh в u-v плоский набор через UMesh, атрибуты VMesh. Если mesh усовершенствована USubmesh, атрибутами VSubmesh, или адаптивным механизмом, которым управляет AdaptiveMesh = n, никакие дополнительные линии параметра не проведены.

Насколько числовое приближение поверхности затронуто, настройки

_{UMesh = nu}, _{VMesh = nv}, _{USubmesh = mu}, _{VSubmesh = mv}

_{UMesh = (nu - 1) (mu + 1) + 1}, _{VMesh = (nv - 1) (mv + 1) + 1},

USubmesh = 0, VSubmesh = 0

эквивалентны. Однако в первой установке, строки параметра nu видимы в направлении u, в то время как в последнем параметре установки (nu - 1)*(mu + 1) + 1 строки видимы. Cf. Пример 3.

Используйте Filled = FALSE, чтобы получить каркасное представление поверхности.

Если выражение/функция, r содержит особенности, он рекомендуется (но не строго необходимый), чтобы использовать атрибут ViewingBox, чтобы установить подходящее поле просмотра. Никакие такие меры предосторожности не необходимы для ϕ и θ, несмотря на то, что особенности в этих функциях могут привести к плохо представленным поверхностям – во многих случаях установка атрибутов, Mesh и/или AdaptiveMesh к более высоким значениям помогут. Cf. Пример 6.

Атрибуты

Атрибут	Цель	Значение по умолчанию
`AdaptiveMesh`	адаптивная выборка	0
`AffectViewingBox`	влияние объектов на `ViewingBox` сцены	`TRUE`
`Color`	основной цвет	`RGB::Red`
`Filled`	заполненные или прозрачные области и поверхности	`TRUE`
`FillColor`	цвет областей и поверхностей	`RGB::Red`
`FillColor2`	второй цвет областей и поверхностей для цветных смешений	`RGB::CornflowerBlue`
`FillColorType`	типы заполнения поверхности	`Dichromatic`
`FillColorFunction`	функциональная область / поверхностная окраска
`FillColorDirection`	направление цветовых переходов на поверхностях	[0, 0, 1]
`FillColorDirectionX`	x-компонент направления цветовых переходов на поверхностях	0
`FillColorDirectionY`	y-компонент направления цветовых переходов на поверхностях	0
`FillColorDirectionZ`	z-компонент направления цветовых переходов на поверхностях	1
`Frames`	количество кадров в анимации	50
`Legend`	делает запись легенды
`LegendText`	короткий объяснительный текст для легенды
`LegendEntry`	добавить этот объект в легенду?	`TRUE`
`LineColor`	цвет строк	`RGB::Black.[0.25]`
`LineWidth`	ширина строк	0.35
`LineColor2`	цвет строк	`RGB::DeepPink`
`LineStyle`	тело, подчеркнутые штриховой линией или пунктирные линии?	`Solid`
`LineColorType`	типы окраски строки	`Flat`
`LineColorFunction`	функциональная окраска строки
`LineColorDirection`	направление цветовых переходов на строках	[0, 0, 1]
`LineColorDirectionX`	x-компонент направления цветовых переходов на строках	0
`LineColorDirectionY`	y-компонент направления цветовых переходов на строках	0
`LineColorDirectionZ`	z-компонент направления цветовых переходов на строках	1
`Mesh`	количество точек выборки	[25, 25]
`MeshVisible`	видимость неправильных строк mesh в 3D	`FALSE`
`Name`	имя объекта графика (для браузера и легенды)
`ParameterEnd`	закончите значение параметра анимации
`ParameterName`	имя параметра анимации
`ParameterBegin`	начальное значение параметра анимации
`ParameterRange`	область значений параметра анимации
`PointSize`	размер точек	1.5
`PointStyle`	стиль презентации точек	`FilledCircles`
`PointsVisible`	видимость точек mesh	`FALSE`
`Submesh`	плотность подmesh (дополнительные точки выборки)	[0, 0]
`TimeEnd`	время окончания анимации	10.0
`TimeBegin`	время начала анимации	0.0
`TimeRange`	оперативный промежуток анимации	0.0 .. 10.0
`Title`	объектный заголовок
`TitleFont`	шрифт объектных заголовков	[`" sans-serif "`, `11`]
`TitlePosition`	положение объектных заголовков
`TitleAlignment`	выравнивание по горизонтали заголовков w.r.t. их координаты	`Center`
`TitlePositionX`	положение объектных заголовков, x компонент
`TitlePositionY`	положение объектных заголовков, y компонент
`TitlePositionZ`	положение объектных заголовков, z компонент
`ULinesVisible`	видимость строк параметра (u строки)	`TRUE`
`UMax`	окончательное значение параметра “u”
`UMesh`	количество точек выборки для параметра “u”	25
`UMin`	начальное значение параметра “u”
`UName`	имя параметра “u”
`URange`	область значений параметра “u”
`USubmesh`	плотность дополнительных точек выборки для параметра “u”	0
`VLinesVisible`	видимость строк параметра (v строки)	`TRUE`
`VMax`	окончательное значение параметра “v”
`VMesh`	количество точек выборки для параметра “v”	25
`VMin`	начальное значение параметра “v”
`VName`	имя параметра “v”
`VRange`	область значений параметра “v”
`VSubmesh`	плотность дополнительных точек выборки для параметра “v”	0
`Visible`	видимость	`TRUE`
`VisibleAfter`	объект, видимый после этой временной стоимости
`VisibleBefore`	объект, видимый до этой временной стоимости
`VisibleFromTo`	объект, видимый в это время, располагается
`VisibleAfterEnd`	объект, видимый после его законченного времени анимации?	`TRUE`
`VisibleBeforeBegin`	объект, видимый перед его временем анимации, запускается?	`TRUE`
`XContours`	линии контура в постоянных x значениях	[]
`XFunction`	функция для x значений
`YContours`	линии контура в постоянных y значениях	[]
`YFunction`	функция для y значений
`ZContours`	линии контура в постоянных z значениях	[]
`ZFunction`	функция для z значений

Примеры

Пример 1

Сферические координаты получают свое имя от того, что, с постоянным радиусом, параметризовать сферу:

plot(plot::Spherical([1, u, v], u = 0..2*PI, v = 0..PI))

plot(plot::Spherical([1, u, v], u = 0..PI, v = 0..2*PI))

Пример 2

Следующий график демонстрирует, что сферические графики могут показать сингулярные поверхностные функции даже с дифференцируемой параметризацией; в этом случае оправа в середине является на самом деле границей и лево-и правой части:

plot(plot::Spherical(
       [(phi^2*thet), phi, thet^2],
       phi = -PI..PI, thet=0..0.25*PI,
       Mesh = [40,40], Submesh=[3,0],
       Color = [0.9$3], FillColorType=Flat, LineColor=[0.8$3]),
     Axes = None, CameraDirection = [1, 0, 0])

Пример 3

Для колеблющейся параметризации или других поверхностей с мелкими деталями, mesh по умолчанию может быть слишком крупной. Как указано выше три атрибута Mesh, Submesh и AdaptiveMesh могут использоваться для улучшения графиков этих объектов.

Во-первых, обратите внимание, что следующий график не представляется с достаточным разрешением:

surf := plot::Spherical([4+sin(5*(u+v)), u, v], u = 0..PI, v = 0..2*PI):
plot(surf, Axes = None)

Устанавливая Mesh на дважды его значение по умолчанию, мы получаем более сглаженную поверхность с дополнительными строками параметра:

surf::Mesh := [50, 50]:
plot(surf, Axes = None)

Почти тот же эффект, но без дополнительных строк параметра, может быть достигнут установкой Submesh = [1, 1]:

delete surf::Mesh:
surf::Submesh := [1, 1]:
plot(surf, Axes = None)

Также возможно использовать адаптивное улучшение mesh в областях, где соседние закрашенные фигуры имеют угол больше чем 10 градусов. В то время как эта опция в основном полезна для поверхностей, которые требуют улучшения только в некоторых частях, это, конечно, выполнимо с графиком как это, также (но увеличивающийся Submesh быстрее):

delete surf::Submesh:
surf::AdaptiveMesh := 2:
plot(surf, Axes = None)

Пример 4

Функция радиуса r может также взять отрицательные величины. С функциями радиуса изменения знака часто самопересекаются сферические поверхности:

plot(plot::Spherical(
       [sin(phi^2*thet), phi, thet],
         phi = -PI..PI, thet = 0..0.5*PI,
       Mesh = [40, 20], Submesh=[0, 3]))

Пример 5

Угловые функции (ϕ и θ) не ограничиваются в значении:

plot(plot::Spherical([r, r, thet], r = 0..9, thet = -PI..PI,
                     Mesh = [60, 60], Filled = FALSE),
     Axes = None, 
     plot::Camera([100, 100, 50], [0,0,0], 0.1))

Обратите внимание на то, что мы использовали явный объект plot::Camera здесь, потому что автоматическая камера всегда помещается таким образом, что весь объект видим, даже когда с помощью CameraDirection. Чтобы получить “более близкий” взгляд, используйте интерактивные возможности манипуляции или явную камеру.

Пример 6

Особенности в функции радиуса эвристическим образом обработаны:

plot(plot::Spherical([1/(u + v), u, v], u = 0..PI, v = 0..PI))

Однако эвристика перестала работать для некоторых примеров:

plot(plot::Spherical([1/(u + v)^2, u, v], u = 0..PI, v = 0..PI))

В случаях как это мы рекомендуем установить поле просмотра явным образом с атрибутом ViewingBox:

plot(plot::Spherical([1/(u + v)^2, u, v], u = 0..PI, v = 0..PI),
     ViewingBox = [-1/10..0.7, 0..1/4, -0.2..0.3])

Пример 7

Путем устанавливания одного из параметра располагается к вырожденному интервалу, возможно чертить кривые на сферической поверхности:

f := (u, v) -> [1 + u/10, u, v]:
surface := plot::Spherical(f(u,v), u = 0..2, v = 0..2,
                           FillColor = RGB::Grey, FillColorType = Flat):
curve := plot::Spherical(f((1 + sin(u)), (1 + sin(2*u))),
                         u = 0..2*PI, v = 0..0, Mesh = [200, 1],
                         LineColor = RGB::Red, LineWidth = 1):
plot(surface, curve)

Пример 8

В то время как преобразование от сферического до Декартовых координат не является обратимым, существует по крайней мере два способа выразить каждую Декартову точку в сферических координатах, и любая поверхность, parameterizable в Декартовых координатах, может также быть построена с помощью plot::Spherical:

trans := linalg::ogCoordTab[Spherical, InverseTransformation]:
spher := trans(x, y, sin(x^2+y^2))

plot(plot::Spherical(spher, x = -2..2, y = -2..2))

Пример 9

Наконец, что не менее важно, мы можем также произвести анимации с помощью plot::Spherical. Следующее показывает деформацию от общего сферического объекта до сферы. Мы использовали параметр анимации a в аргументе для синусоидальной функции, чтобы получить небольшое вращение во время процесса деформации:

plot(
  plot::Spherical(
   [1+a*sin(3*Phi+a)*sin(2*Theta),Phi,Theta],
   Theta=0..PI, Phi=0..2*PI, a=5..0
  )
)

Параметры

`r`, `ϕ`, `θ`	Координатные функции: арифметические выражения или `piecewise` возражают в зависимости от поверхностных параметров u, v и параметру анимации `a`. Также процедуры, которые принимают 2 входных параметра u, v или 3 входных параметра u, v, a и возвращают действительное численное значение, когда входные параметры являются числовыми. `r`, `ϕ`, `θ` эквивалентен атрибутам `XFunction`, `YFunction`, `ZFunction`.
`u`	Первый поверхностный параметр: идентификатор или индексируемый идентификатор. `u` эквивалентен атрибуту `UName`.
`_{umin .. umax}`	Область значений графика для параметра u: `_umin`, `_umax` должен быть числовыми действительными значениями или выражениями параметра анимации a. `_umin`.. `_umax` эквивалентен атрибутам `URange`, `UMin`, `UMax`.
`v`	Второй поверхностный параметр: идентификатор или индексируемый идентификатор. `v` эквивалентен атрибуту `VName`.
`_{vmin .. vmax}`	Область значений графика для параметра v: `_vmin`, `_vmax` должен быть числовыми действительными значениями или выражениями параметра анимации a. `_vmin`.. `_vmax` эквивалентен атрибутам `VRange`, `VMin`, `VMax`.
`a`	Параметр анимации, заданный как `a` `_{= amin..amax}`, где `_amin` является начальным значением параметров и `_amax`, является итоговым значением параметров.

Документация