Документация

Обзор методов ценообразования

Существует несколько методов, чтобы оценить опции распространения, как обсуждено в [1]. Этот пример использует закрытую форму, конечную разность и симуляции Монте-Карло, чтобы оценить опции распространения. Преимущества и недостатки каждого метода обсуждены ниже:

Оценка европейской опции распространения

Следующий пример демонстрирует оценку взломанной опции распространения.

Установка для очистки касается своего предстоящего графика обслуживания и должна защитить от уменьшающихся цен на сырую нефть и увеличивающий нагревающиеся цены на нефть. Во время обслуживания установка для очистки должна продолжить предоставлять клиентам мазут, чтобы удовлетворить их требованиям. Стратегия установки для очистки состоит в том, чтобы использовать опции распространения, чтобы управлять его преградой.

На январе 2013 установка для очистки покупает 1:1 взломанная опция распространения путем покупки нагревающий нефтяные фьючерсы и продающий фьючерсы сырой нефти. Фьючерсы CLF14 WTI сырой нефти на уровне 100$ за баррель, и HOF14, нагревающий нефтяной фьючерсный контракт, на уровне 2,6190$ за галлон.

clear;

% Price, volatility, and dividend of heating oil
Price1gallon = 2.6190;       % $/gallon 
Price1 = Price1gallon*42;    % $/barrel
Vol1 = 0.10;
Div1 = 0.03;

% Price, volatility, and dividend of WTI crude oil
Price2 = 100;     % $/barrel
Vol2 = 0.15;
Div2 = 0.02;

% Correlation of underlying prices
Corr = 0.3;

% Option type
OptSpec = 'call';

% Strike
Strike = 5;

% Settlement date
Settle = '01-Jan-2013';

% Maturity
Maturity = '01-Jan-2014'; 

% Risk free rate
RiskFreeRate = 0.05;

Функции оценки берут структуру термина процентной ставки и структуру запаса как входные параметры. Кроме того, необходимо задать, который выходные параметры представляют интерес.

% Define RateSpec
Compounding = -1;
Basis = 1;
RateSpec = intenvset('ValuationDate', Settle, 'StartDates', Settle, ...
    'EndDates', Maturity, 'Rates', RiskFreeRate, 'Compounding', ...
    Compounding, 'Basis', Basis);

% Define StockSpec for the two assets
StockSpec1 = stockspec(Vol1, Price1, 'Continuous', Div1);
StockSpec2 = stockspec(Vol2, Price2, 'Continuous', Div2);

% Specify price and sensitivity outputs
OutSpec = {'Price', 'Delta', 'Gamma'};

Financial Instruments Toolbox™ содержит два типа закрытых приближений формы для вычисления цены и чувствительности европейских опций распространения: приближение Кирка (spreadbykirk, spreadsensbykirk) и модель Bjerksund и Stensland (spreadbybjs, spreadsensbybjs) [3].

Функциональный spreadsensbykirk вычисляет цены и чувствительность для европейской опции распространения с помощью приближения Кирка.

% Kirk's approximation
[PriceKirk, DeltaKirk, GammaKirk] = ...
    spreadsensbykirk(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec)

PriceKirk = 8.3636

DeltaKirk = 1×2

    0.6108   -0.5590

GammaKirk = 1×2

    0.0225    0.0249

Функциональный spreadsensbybjs вычисляет цены и чувствительность для европейской опции распространения с помощью модели Bjerksund и Stensland. В [3], Бджерксанд и Стенслэнд объясняет, что приближение Кирка имеет тенденцию занижать опцию распространения, когда забастовка близко к нулю и завышенной цене, когда забастовка еще дальше от нуля. В сравнении модель Бджерксанда и Стенслэнда имеет более высокую точность.

% Bjerksund and Stensland model
[PriceBJS, DeltaBJS, GammaBJS] = ...
    spreadsensbybjs(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec)

PriceBJS = 8.3662

DeltaBJS = 1×2

    0.6115   -0.5597

GammaBJS = 1×2

    0.0225    0.0248

Сравнение расчетных цен показывает, что две закрытых модели формы приводят к подобным результатам за цену и чувствительность. В дополнение к дельте и гамме, функции могут также вычислить тету, vega, lambda и ро.

displayComparison('Kirk', 'BJS', PriceKirk, PriceBJS, DeltaKirk, DeltaBJS, GammaKirk, GammaBJS)

Comparison of prices:

Kirk:    8.363641
BJS :    8.366158

Comparison of delta:

Kirk:    0.610790     -0.558959
BJS :    0.611469     -0.559670

Comparison of gamma:

Kirk:    0.022533      0.024850
BJS :    0.022495      0.024819

Оценка американской опции распространения

Несмотря на то, что закрытым приближениям формы быстро и хорошо удовлетворяют для оценки европейских опций распространения, они не могут оценить американские опции распространения. Используя метод конечной разности и Метод Монте-Карло, может быть оценена американская опция распространения. В этом примере американская опция распространения оценена с теми же атрибутами как вышеупомянутая взломанная опция распространения.

Метод конечной разности численно решает УЧП путем дискретизации базовой цены и переменных времени в сетку. Финансовый инструмент Toolbox™ содержит функции spreadbyfd и spreadsensbyfd, которые вычисляют цены и чувствительность для европейских и американских опций распространения с помощью метода конечной разности. Для метода конечной разности состав сетки оказывает большое влияние на качество выхода и время выполнения. Обычно точно дискретизированная сетка приведет к выходным параметрам, которые ближе к теоретическому значению, но это прибывает за счет более длительных времен выполнения. Составом сетки управляют с помощью дополнительных параметров PriceGridSize, TimeGridSize, AssetPriceMin и AssetPriceMax.

Чтобы указать на оценку американской опции, добавьте дополнительный вход AmericanOpt со значением 1 к аргументу функции.

% Finite difference method for American spread option
[PriceFD, DeltaFD, GammaFD, PriceGrid, AssetPrice1, ...
    AssetPrice2] = ...
    spreadsensbyfd(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec, ...    
    'PriceGridSize', [500 500], 'TimeGridSize', 100, ...
    'AssetPriceMin', [0 0], 'AssetPriceMax', [2000 2000], ...
    'AmericanOpt', 1);

% Display price and sensitivities
PriceFD

PriceFD = 8.5463

DeltaFD

DeltaFD = 1×2

    0.6306   -0.5777

GammaFD

GammaFD = 1×2

    0.0233    0.0259

Функциональный spreadsensbyfd также возвращает сетку, которая содержит цены опции за область значений базовых цен и времена. Сетка цен опции в начальный момент времени, который является ценами опции в уладить дату, может быть построена для области значений базовых цен.

% Plot option prices
figure;
mesh(AssetPrice1, AssetPrice2, PriceGrid(:, :, 1)');
title('American Spread Option Prices for Range of Underlying Prices');
xlabel('Price of underlying asset 1');
ylabel('Price of underlying asset 2');
zlabel('Price of spread option');

Американский параметр стиля может быть оценен Методами Монте-Карло с помощью метода наименьшего квадрата Лонгстэффа и Шварца [4]. Financial Instruments Toolbox™ содержит функции spreadbyls и spreadsensbyls, это вычисляет цены и чувствительность европейских и американских опций с помощью симуляций. Метод симуляции Монте-Карло в spreadsensbyls генерирует разнообразные пути симуляций согласно геометрическому броуновскому движению (GBM) за две цены базового актива. Подобно методу конечной разности, где гранулярность сетки определила качество выхода и время выполнения, качество выхода и время выполнения симуляции Монте-Карло зависит от количества путей (NumTrials) и количество периодов времени на путь (NumPeriods). Кроме того, результаты, полученные симуляциями Монте-Карло, не детерминированы. Каждый запуск будет иметь различные результаты в зависимости от результатов симуляции.

% To indicate that we are pricing an American option using the Longstaff
% and Schwartz method, add an optional input of |AmericanOpt| with a value
% of |1| to the argument of the function.

% Monte Carlo method for American spread option
[PriceMC, DeltaMC, GammaMC] = ...
    spreadsensbyls(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec, ...
    'NumTrials', 1000, 'Antithetic', true, 'AmericanOpt', 1)

PriceMC = 8.4999

DeltaMC = 1×2

    0.6325   -0.5931

GammaMC = 1×2

   -0.0873    0.0391

Результаты этих двух моделей сравнены. Цены и чувствительность, вычисленная методом Лонгстэффа и Шварца, будут варьироваться при каждом запуске, в зависимости от результата симуляций. Важно отметить, что качество результатов метода конечной разности и симуляции Монте-Карло зависит от дополнительных входных параметров. Например, увеличивая число путей (NumTrials) для spreadsensbyls функция приведет к более точным результатам за счет более длительных времен выполнения.

displayComparison('Finite Difference', 'Monte Carlo', PriceFD, PriceMC, DeltaFD, DeltaMC, GammaFD, GammaMC)

Comparison of prices:

Finite Difference:    8.546285
Monte Carlo      :    8.499894

Comparison of delta:

Finite Difference:    0.630606     -0.577686
Monte Carlo      :    0.632549     -0.593106

Comparison of gamma:

Finite Difference:    0.023273      0.025852
Monte Carlo      :   -0.087340      0.039120

Сравнение результатов для области значений цен исполнения опциона

Как обсуждено ранее, приближение Кирка стремится к опциям распространения завышенной цены, когда забастовка еще дальше от нуля. Чтобы подтвердить это, опция распространения оценена с теми же атрибутами как прежде, но для области значений цен исполнения опциона.

% Specify outputs
OutSpec = {'Price', 'Delta'};

% Range of strike prices
Strike = [-25; -15; -5; 0; 5; 15; 25];

Результаты приближения Кирка и модели Bjerksund и Stensland сравнены с числовым приближением из метода конечной разности. Начиная с spreadsensbyfd может только оценить одну опцию за один раз, она называется в цикле для каждого значения забастовки. Симуляция Монте-Карло (spreadsensbyls) с большим количеством испытательных путей может также использоваться в качестве сравнительного теста, но конечная разность используется в этом примере.

% Kirk's approximation
[PriceKirk, DeltaKirk] = ...
    spreadsensbykirk(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec);

% Bjerksund and Stensland model
[PriceBJS, DeltaBJS] = ...
    spreadsensbybjs(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec);

% Finite difference
PriceFD = zeros(numel(Strike), 1);
DeltaFD = zeros(numel(Strike), 2);
for i = 1:numel(Strike)
    [PriceFD(i), DeltaFD(i,:)] = ...
    spreadsensbyfd(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike(i), Corr, 'OutSpec', OutSpec, ...    
    'PriceGridSize', [500 500], 'TimeGridSize', 100, ...
    'AssetPriceMin', [0 0], 'AssetPriceMax', [2000 2000]);
end

displayComparisonPrices(PriceKirk, PriceBJS, PriceFD, Strike)

Prices for range of strikes:

Kirk     	BJS      	FD    
32.707787	32.672353	32.676040
23.605307	23.577099	23.580307
15.236908	15.228510	15.230919
11.560332	11.560332	11.562023
8.363641	8.366158	8.367212
3.689909	3.678862	3.680493
1.243753	1.219079	1.221866

Различие в ценах между закрытой формой и методом конечной разности построено ниже. Ясно, что, когда забастовка перемещается еще дальше от 0, различие между приближением Кирка и конечной разностью (красная линия) увеличения, в то время как различие между моделью Bjerksund и Stensland и конечной разностью (синяя линия) остается на том же уровне. Как утверждено в [3], приближение Кирка является назначением завышенной цены опция распространения, когда забастовка далеко от 0.

% Plot of difference in price against the benchmark
figure;
plot(PriceKirk-PriceFD, 'Color', 'red');
hold on;
plot(PriceBJS-PriceFD, 'Color', 'blue');
hold off;
title('Difference in Price Against Finite Difference');
legend('Kirk', 'BJS', 'Location', 'EastOutside');
xlabel('Strike');
ax = gca;
ax.XTickLabel = Strike;
ylabel('Difference in Price');

Затем различие в дельте между закрытыми моделями формы и конечной разностью построено. Главный график показывает различие в дельте для первого актива, и нижний график показывает различие в дельте для второго актива. Как замечено по маленькому шагу в оси Y порядка 10e-3, это видно, что все три модели (Кирк, BJS, конечная разность) производят подобные значения для дельты.

% Plot of difference in delta of first asset against the benchmark
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(DeltaKirk(:,1)-DeltaFD(:,1), 'Color', 'red');
hold on;
plot(DeltaBJS(:,1)-DeltaFD(:,1), 'Color', 'blue');
hold off;
title('Difference in Delta (Asset 1) Against FD');
legend('Kirk', 'BJS', 'Location', 'EastOutside');
xlabel('Strike');
ax = gca;
ax.XTickLabel = Strike;
ylabel('Difference in Delta');

% Plot of difference in delta of second asset against the benchmark
subplot(2, 1, 2);
plot(DeltaKirk(:,2)-DeltaFD(:,2), 'Color', 'red');
hold on;
plot(DeltaBJS(:,2)-DeltaFD(:,2), 'Color', 'blue');
hold off;
title('Difference in Delta (Asset 2) Against FD');
legend('Kirk', 'BJS', 'Location', 'EastOutside');
xlabel('Strike');
ax = gca;
ax.XTickLabel = Strike;
ylabel('Difference in Delta');

Анализ цен и Веги на разных уровнях энергозависимости

Чтобы далее показать тип анализа, который может быть проведен с помощью этих моделей, вышеупомянутая опция распространения оценена на разных уровнях энергозависимости для первого актива. Цена и vega сравнены на трех уровнях энергозависимости для первого актива: 0.1, 0.3, и 0.5. Модель Bjerksund и Stensland используется в этом анализе.

% Strike
Strike = 5;

% Specify output
OutSpec = {'Price', 'Vega'};

% Different levels of volatility for asset 1
Vol1 = [0.1, 0.3, 0.5];

StockSpec1 = stockspec(Vol1, Price1, 'Continuous', Div1);

% Bjerksund and Stensland model
[PriceBJS, VegaBJS] = ...
    spreadsensbybjs(RateSpec, StockSpec1, StockSpec2, Settle, ...
    Maturity, OptSpec, Strike, Corr, 'OutSpec', OutSpec);

displaySummary(Vol1, PriceBJS, VegaBJS)

Prices for different vol levels in asset 1:

8.366158
14.209112
21.795746

Asset 1 vega for different vol levels in asset 1:

15.534849
36.212192
38.794348

Asset 2 vega for different vol levels in asset 1:

29.437036
7.133657
-0.557852

Изменение в цене и vega относительно энергозависимости первого актива построено ниже. Можно заметить, что, когда энергозависимость первого актива увеличивается, цена опции распространения также увеличивается. Кроме того, изменения в vega указывают, что цена опции распространения становится более чувствительной к энергозависимости первого актива и менее чувствительной к энергозависимости второго актива.

figure;

% Plot price for BJS model
subplot(2, 1, 1);
plot(PriceBJS, 'Color', 'red');
title('Price (BJS)');
legend('Price', 'Location', 'EastOutside');
xlabel('Vol of Asset 1');
ax = gca;
ax.XTick = 1:3;
ax.XTickLabel = Vol1;
ylabel('Price');

% Plot of vega for BJS model
subplot(2, 1, 2);
plot(VegaBJS(:,1), 'Color', 'red');
hold on;
plot(VegaBJS(:,2), 'Color', 'blue');
hold off;
title('Vega (BJS)');
legend('Asset 1', 'Asset 2', 'Location', 'EastOutside');
xlabel('Vol of Asset 1');
ax = gca;
ax.XTick = 1:3;
ax.XTickLabel = Vol1;
ax.YLim = [-1 40];
ylabel('Vega');

Сводные данные

В этом примере европейские и американские опции распространения оценены и анализировали использующие различные методы. Financial Instruments Toolbox™ обеспечивает функции для двух типов закрытых решений для формы (Кирк, BJS), метод конечной разности и метод симуляции Монте-Карло. Закрытые решения для формы хорошо подходят для оценки и вычисления чувствительности европейских опций распространения, потому что они быстры. Однако они не могут оценить американские опции распространения. Метод конечной разности и Метод Монте-Карло могут оценить и европейские и американские опции. Однако они не так быстры в оценке европейских опций распространения по сравнению с закрытыми решениями для формы.

Ссылки

[1] Кармона, Рене, Деррлмен, Valdo. "Оценивая и Страхуя Опции Распространения". Анализ SIAM. Издание 45, № 4, 2003, стр 627-685.

[2] Wilmott, Пол, Dewynne, Джефф, Хоуисон, Сэм. Оценка опции. Оксфорд финансовое нажатие, 1993.

[3] Bjerksund, Питер, Stensland, Ганнэр. "Закрытая форма распространила оценку опции". Отдел Финансов, NHH, 2006.

[4] Longstaff, Фрэнсис А, Шварц, Эдуардо С. "Оценка американских опций симуляцией: простой подход наименьших квадратов". Аспирантура Андерсона управления, UC Лос-Анджелес, 2001.

Служебные функции

function displayComparison(model1, model2, price1, price2, delta1, delta2, gamma1, gamma2)
% Pad the model name with additional spaces
additionalSpaces = numel(model1) - numel(model2);
if additionalSpaces > 0
    model2 = [model2 repmat(' ', 1, additionalSpaces)];
else
    model1 = [model1 repmat(' ', 1, abs(additionalSpaces))];
end
    
% Comparison of calculated prices
fprintf('Comparison of prices:\n');
fprintf('\n');
fprintf('%s:   % f\n', model1, price1);
fprintf('%s:   % f\n', model2, price2);
fprintf('\n');

% Comparison of Delta
fprintf('Comparison of delta:\n');
fprintf('\n');
fprintf('%s:   % f     % f\n', model1, delta1(1), delta1(2));
fprintf('%s:   % f     % f\n', model2, delta2(1), delta2(2));
fprintf('\n');

% Comparison of Gamma
fprintf('Comparison of gamma:\n');
fprintf('\n');
fprintf('%s:   % f     % f\n', model1, gamma1(1), gamma1(2));
fprintf('%s:   % f     % f\n', model2, gamma2(1), gamma2(2));
fprintf('\n');
end

function displayComparisonPrices(PriceKirk, PriceBJS, PriceFD, Strike)
% Comparison of calculated prices
fprintf('Prices for range of strikes:\n');
fprintf('\n')
fprintf('Kirk     \tBJS      \tFD    \n');
for i = 1:numel(Strike)
    fprintf('%f\t%f\t%f\n', PriceKirk(i), PriceBJS(i), PriceFD(i));
end
end

function displaySummary(Vol1, PriceBJS, VegaBJS)
% Display price
fprintf('Prices for different vol levels in asset 1:\n');
fprintf('\n');
for i = 1:numel(Vol1)
    fprintf('%f\n', PriceBJS(i));
end
fprintf('\n');

% Display vega for first asset
fprintf('Asset 1 vega for different vol levels in asset 1:\n');
fprintf('\n');
for i = 1:numel(Vol1)
    fprintf('%f\n', VegaBJS(i,1));
end
fprintf('\n');

% Display vega for second asset
fprintf('Asset 2 vega for different vol levels in asset 1:\n');
fprintf('\n');
for i = 1:numel(Vol1)
    fprintf('%f\n', VegaBJS(i,2));
end
end