Exponenta Banner
exponenta event banner

numeric::singularvalues

Числовые сингулярные значения матрицы

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::singularvalues(A, <Hard | HardwareFloats | Soft | SoftwareFloats>)

Описание

numeric::singularvalues(A) возвращает числовые сингулярные значения матричного A.

Сингулярными значениями m ×n матричный A является p = min (m, n) действительные неотрицательные квадратные корни из собственных значений A H  A (для p = n) или A  AH (для p = m). Эрмитовы транспонируют A, H является сопряженным комплексным числом транспонирования A.

numeric::singularvalues возвращает список действительных сингулярных значений [d 1, …, d p] отсортированный по numeric::sort, т.е. d 1 ≥ … ≥ d p ≥ 0.0.

Все записи A должно быть числовым. Числовые выражения такой как и т.д. приняты и преобразованы в плавания. Нечисловые символьные записи приводят к ошибке.

Cat::Matrix объекты, т.е. матрицы A из матричной области, такой как Dom::Matrix(…) или Dom::SquareMatrix(…) внутренне преобразованы в массивы по выражениям через expr(A).

Примечание

Сингулярные значения аппроксимированы абсолютной точностью того, где r является самым большим сингулярным значением A. Следовательно, большие сингулярные значения должны быть вычислены правильно к DIGITS десятичные разряды. Числовые приближения маленьких сингулярных значений менее точны.

Сингулярные значения могут также быть вычислены через map ( numeric::eigenvalues( A   AH), sqrt ) или map ( numeric::eigenvalues( AH  A ), sqrt ), соответственно. Использование numeric::singularvalues избегает затрат на умножение матриц. Далее, стандартная программа собственного значения требует о вдвое больше DIGITS вычислить маленькие сингулярные значения с той же точностью как numeric::singularvalues. См. пример 2.

Взаимодействия среды

Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Примеры

Пример 1

Сингулярные значения A и A H совпадают:

A := array(1..3, 1..2, [[1, 2*I], [2, 3],[3, sqrt(2)]]):
numeric::singularvalues(A)

Эрмитовы транспонируют B = A H:

B := array(1..2, 1..3, [[1, 2, 3], [-2*I, 3, sqrt(2)]]):
numeric::singularvalues(B)

delete A, B:

Пример 2

Мы используем numeric::eigenvalues вычислить сингулярные значения:

A := matrix([[1/15, 2/15*I],
            [PI, 314159265358980/50000000000000*I],
            [2, 4*I]]):

Эрмитовы транспонируют B = A, H может быть вычислен методами conjugate и transpose из матричной области:

B := A::dom::conjugate(A::dom::transpose(A)):

Обратите внимание на то, что A H  A положителен полуопределенный и не может иметь отрицательных собственных значений. Однако вычисление маленьких собственных значений численно плохо обусловлено, и маленькая отрицательная величина происходит должная округлить:

numeric::eigenvalues(B*A)

Следовательно, (неправильное) мнимое сингулярное значение вычисляется:

map(%, sqrt)

Мы должны увеличить DIGITS для того, чтобы вычислить это значение более точно:

DIGITS := 22: 
map(numeric::eigenvalues(B*A), sqrt)

С numeric::singularvalues, стандартная точность достаточна:

DIGITS := 10: 
numeric::singularvalues(A, SoftwareFloats)

numeric::singularvalues(A, HardwareFloats)

delete A, B:

Пример 3

Мы демонстрируем использование аппаратных плаваний. Гильбертовы матрицы известно плохо обусловлены: расчет маленьких сингулярных значений подвергается серьезным эффектам округления. В следующих результатах, обоих с HardwareFloats а также с SoftwareFloats, маленькие сингулярные значения во власти числового округления. Следовательно, результаты с HardwareFloats не согласитесь от тех с с SoftwareFloats:

numeric::singularvalues(linalg::hilbert(13))

A := linalg::hilbert(15):
numeric::singularvalues(A, HardwareFloats);
numeric::singularvalues(A, SoftwareFloats)

delete A:

Параметры

A

Числовая матрица доменный тип DOM_ARRAY, DOM_HFARRAY, или категории Cat::Matrix

Опции

Hard, HardwareFloats, Soft, SoftwareFloats

С Hard (или HardwareFloats), расчеты сделаны с помощью быстрой аппаратной плавающей арифметики из сеанса MuPAD®. Hard и HardwareFloats эквивалентны. При использовании этой опции входные данные преобразованы в аппаратные плавания и обработаны скомпилированным кодом С. Результат повторно преобразован в плавания MuPAD и возвращен в сеанс MuPAD.

С Soft (или SoftwareFloats) расчеты являются плавающей арифметикой программного обеспечения использования купола, обеспеченной ядром MuPAD. Soft и SoftwareFloats эквивалентны. SoftwareFloats используется по умолчанию если текущее значение DIGITS больше, чем 15 и входная матрица A не имеет доменного типа DOM_HFARRAY.

По сравнению с SoftwareFloats используемый ядром MuPAD, расчетом с HardwareFloats может быть много раз быстрее. Обратите внимание, однако, что точность аппаратной арифметики ограничивается приблизительно 15 цифрами. Далее, размер чисел с плавающей запятой не может быть больше, чем приблизительно 10 308 и не меньшим, чем приблизительно 10 - 308.

Если никакой HardwareFloats или SoftwareFloats требуются явным образом, следующая стратегия используется: Если текущее значение DIGITS меньше, чем 16 или если матричный A аппаратный плавающий массив доменного типа DOM_HFARRAY, затем аппаратную арифметику пробуют. Если это успешно, результат возвращен.

Если результат не может быть вычислен с аппаратными плаваниями, арифметику программного обеспечения ядром MuPAD пробуют.

Если текущее значение DIGITS больше, чем 15 и входная матрица A не имеет доменного типа DOM_HFARRAY, или если одна из опций Soft, SoftwareFloats или Symbolic задан, MuPAD вычисляет результат со своей арифметикой программного обеспечения, не пытаясь использовать аппаратные плавания сначала.

Может быть несколько причин аппаратной арифметики, чтобы перестать работать:

  • Текущее значение DIGITS больше, чем 15.

  • Данные содержат символьные объекты.

  • Данные содержат числа, больше, чем 10 308 или меньший, чем 10 - 308, который не может быть представлен аппаратными плаваниями.

Если никакой HardwareFloats ни SoftwareFloats задан, пользователю не сообщают, используются ли аппаратные плавания или плавания программного обеспечения.

Если HardwareFloats заданы, но перестали работать из-за одной из причин выше, предупреждение выдано, что (намного более медленное) программное обеспечение арифметика с плавающей точкой ядра MuPAD используется.

Обратите внимание на то, что HardwareFloats может только использоваться, если все входные данные могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой.

Запаздывающие цифры в результатах с плавающей точкой вычисляются с HardwareFloats и SoftwareFloats может отличаться.

Примечание

Для плохо обусловленных матриц результат подвергается ошибкам округления. Результаты возвращены с HardwareFloats и SoftwareFloats может отличаться! Смотрите Пример 3.

Возвращаемые значения

Упорядоченный список действительных значений с плавающей точкой.

Алгоритмы

Код реализует стандартные числовые алгоритмы из Руководства Автоматического Расчета Уилкинсоном и Рейншем.

Смотрите также

Функции MuPAD

Темы

Документация Symbolic Math Toolbox
Поддержка