numeric::singularvectors

Числовое сингулярное разложение матрицы

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::singularvectors(A, options)

Описание

numeric::singularvectors(A) и эквивалентный вызов numeric::svd(A) возвратите числовые сингулярные значения и сингулярные векторы матричного A.

Все записи A должно быть числовым. Числовые выражения такой как и т.д. приняты и преобразованы в плавания. Нечисловые символьные записи приводят к ошибке.

Cat::Matrix объекты, т.е. матрицы A из матричной области, такой как Dom::Matrix(…) или Dom::SquareMatrix(…) внутренне преобразованы в массивы по выражениям через expr(A).

Список [U, d, V, resU, resV] возвращенный numeric::singularvectors соответствует сингулярным данным m ×n матричный A, аналогичный описанному ниже.

Позвольте V, H обозначает, что Эрмитовы транспонируют матричного V, т.е. сопряженного комплексного числа транспонирования. Сингулярное разложение m ×n матричный A является факторизацией A = U  D VH. D является m ×n “диагональная” матрица с действительными неотрицательными записями D ii = d i, i = 1, …, p где p = min (m, n):

или

,

соответственно. Список d = [d 1, …, d p] возвращенный numeric::singularvectors “сингулярные значения” A. Они сортируются по numeric::sort, т.е. d 1 ≥ …d p ≥ 0.0.

U является унитарный m ×m матрица. Его i-th столбец является собственным вектором A  AH, сопоставленный с собственным значением d i 2 (d i = 0 для i> p). Это “левые сингулярные векторы” A. Они возвращены numeric::singularvectors как матрица чисел с плавающей запятой.

V является унитарный n ×n матрица. Его i-th столбец является собственным вектором A HA сопоставленный с собственным значением d i 2 (d i = 0 для i> p). Это “правильные сингулярные векторы” A. Они возвращены numeric::singularvectors как массив чисел с плавающей запятой. Матричный V нормирован таким образом, что в каждом столбце первая запись абсолютного размера, больше, чем, действительна и положительна.

Если никакие не возвращаются, тип задан с помощью опции ReturnType = t, доменный тип сингулярных векторов U и V зависит от типа входной матрицы A:

  • Сингулярные векторы массива возвращены как массивы.

  • Сингулярные векторы hfarray возвращены как hfarrays.

  • Сингулярные векторы плотной матрицы типа Dom::DenseMatrix() возвращены как плотные матрицы типа Dom::DenseMatrix() по звонку выражений MuPAD®.

  • Для всех других матриц категории Cat::Matrix, сингулярные векторы возвращены как матрицы типа Dom::Matrix() по звонку выражений MuPAD. Это включает входные матрицы A из типа Dom::Matrix(…), Dom::SquareMatrix(…), Dom::MatrixGroup(…) и т.д.

res U = [resU 1, …, resU m] является списком остатков плавающих, сопоставленных с левыми сингулярными векторами:

.

Здесь, u i является (нормированный) i-th столбец U, обычное комплексное Евклидово скалярное произведение и d i = 0 для p <im.

res V = [resV 1, …, resV n] является списком остатков плавающих, сопоставленных с правильными сингулярными векторами:

.

Здесь, v i является (нормированный) i-th столбец V, d i = 0 для p <in.

Остатки res U, res V исчезает для точных сингулярных данных U, d, V. Их размеры указывают на качество числовых данных U, d, V.

Примечание

Сингулярные значения аппроксимированы абсолютной точностью, где r является самым большим сингулярным значением A. Следовательно, большие сингулярные значения должны быть вычислены правильно к DIGITS десятичные разряды. Числовые приближения маленьких сингулярных значений менее точны.

Сингулярные данные могут также быть вычислены через [d2, U, resU] := numeric::eigenvectors(A*A^H) или [d2, V, resV] := numeric::eigenvectors(A^H*A), соответственно. Список d2 связан с сингулярными значениями

.

Использование numeric::singularvectors избегает затрат на умножение матриц. Далее, стандартная программа собственного вектора требует о вдвое больше DIGITS вычислить данные, сопоставленные с маленькими сингулярными значениями с той же точностью как numeric::singularvectors. Также обратите внимание что нормализация U и V может отличаться.

Взаимодействия среды

Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Примеры

Пример 1

Числовые выражения преобразованы в плавания:

DIGITS := 5:
A := array(1..3, 1..2, [[1, PI], [2, 3], [3, exp(sqrt(2))]]):
[U, d, V, resU, resV] := numeric::singularvectors(A):

Сингулярные данные:

U, d, V

Маленькие остатки указывают, что эти результаты сильно не затронуты округлением:

resU, resV

delete DIGITS, A, U, d, V, resU, resV:

Пример 2

Мы демонстрируем, как восстановить матрицу из ее сингулярных данных. С заданным ReturnType, сингулярные векторы возвращены как матрицы типа Dom::Matrix() и может быть обработан с перегруженной арифметикой:

DIGITS := 3:
A := array(1..2, 1..3, [[1.0, I, PI], [2, 3, I]]):
[U, d, V, resU, resV] := numeric::singularvectors(A, NoResidues, 
     ReturnType = Dom::Matrix())

“Диагональная” матрица создается из сингулярных значений:

d := matrix(2, 3, d, Diagonal)

Мы используем методы conjugate и transpose из матричной области, чтобы вычислить Эрмитово транспонируют V и восстановите A. Числовое округление устраняется через numeric::complexRound:

VH := V::dom::conjugate(V::dom::transpose(V)):
map(U*d*VH, numeric::complexRound)

delete DIGITS, A, U, d, V, resU, resV, VH:

Пример 3

Мы демонстрируем использование аппаратных плаваний. Следующий матричный A является вырожденным: это имеет ранг 1. Для двойного собственного значения 0 из матричного A HA, различные основные векторы соответствующего eigenspace возвращены с HardwareFloats и SoftwareFloats, соответственно:

A := array(1..2, 1..3, [[1, 2, 3], [30, 60, 90]]):
[U1, d1, V1, resU1, resV1] := 
      numeric::singularvectors(A, HardwareFloats):
[U2, d2, V2, resU2, resV2] := 
      numeric::singularvectors(A, SoftwareFloats):
V1, V2

delete A, U1, d1, V1, resU1, resV1, U2, d2, V2, resU2, resV2:

Параметры

A

Числовая матрица доменный тип DOM_ARRAY, DOM_HFARRAY, или категории Cat::Matrix.

Опции

Hard, HardwareFloats, Soft, SoftwareFloats

С Hard (или HardwareFloats), расчеты сделаны с помощью быстрой аппаратной плавающей арифметики из сеанса MuPAD. Hard и HardwareFloats эквивалентны. При использовании этой опции входные данные преобразованы в аппаратные плавания и обработаны скомпилированным кодом С. Результат повторно преобразован в плавания MuPAD и возвращен в сеанс MuPAD.

С Soft (или SoftwareFloats) расчеты являются плавающей арифметикой программного обеспечения использования купола, обеспеченной ядром MuPAD. Soft и SoftwareFloats эквивалентны. SoftwareFloats используется по умолчанию если текущее значение DIGITS больше, чем 15 и входная матрица A не имеет доменного типа DOM_HFARRAY.

По сравнению с SoftwareFloats используемый ядром MuPAD, расчетом с HardwareFloats может быть много раз быстрее. Обратите внимание, однако, что точность аппаратной арифметики ограничивается приблизительно 15 цифрами. Далее, размер чисел с плавающей запятой не может быть больше, чем приблизительно 10 308 и не меньшим, чем приблизительно 10 - 308.

Если никакой HardwareFloats или SoftwareFloats требуются явным образом, следующая стратегия используется: Если текущее значение DIGITS меньше, чем 16 или если матричный A аппаратный плавающий массив доменного типа DOM_HFARRAY, затем аппаратную арифметику пробуют. Если это успешно, результат возвращен.

Если результат не может быть вычислен с аппаратными плаваниями, арифметику программного обеспечения ядром MuPAD пробуют.

Если текущее значение DIGITS больше, чем 15 и входная матрица A не имеет доменного типа DOM_HFARRAY, или если одна из опций Soft, SoftwareFloats или Symbolic задан, MuPAD вычисляет результат со своей арифметикой программного обеспечения, не пытаясь использовать аппаратные плавания сначала.

Может быть несколько причин аппаратной арифметики, чтобы перестать работать:

  • Текущее значение DIGITS больше, чем 15.

  • Данные содержат символьные объекты.

  • Данные содержат числа, больше, чем 10 308 или меньший, чем 10 - 308, который не может быть представлен аппаратными плаваниями.

Если никакой HardwareFloats ни SoftwareFloats задан, пользователю не сообщают, используются ли аппаратные плавания или плавания программного обеспечения.

Если HardwareFloats заданы, но перестали работать из-за одной из причин выше, предупреждение выдано, что (намного более медленное) программное обеспечение арифметика с плавающей точкой ядра MuPAD используется.

Обратите внимание на то, что HardwareFloats может только использоваться, если все входные данные могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой.

Запаздывающие цифры в результатах с плавающей точкой вычисляются с HardwareFloats и SoftwareFloats может отличаться.

Примечание

Для плохо обусловленных матриц результат подвергается ошибкам округления. Результаты возвращены с HardwareFloats и SoftwareFloats может отличаться! Смотрите Пример 3.

NoLeftVectors

Подавляет расчет левых сингулярных векторов

Если только правильные сингулярные векторы требуются, эта опция может использоваться, чтобы подавить расчет U и соответствующие остатки resU. Возвращаемыми значениями для этих данных является NIL.

В зависимости от размера U, эта опция может значительно ускорить расчет.

NoRightVectors

Подавляет расчет правильных сингулярных векторов

Если только левые сингулярные векторы требуются, эта опция может использоваться, чтобы подавить расчет V и соответствующие остатки resV. Возвращаемыми значениями для этих данных является NIL.

В зависимости от размера V, эта опция может значительно ускорить расчет.

NoResidues

Подавляет расчет ошибочных оценок

Если никакие ошибочные оценки не требуются, эта опция может использоваться, чтобы подавить расчет остатков resU и resV. Возвращаемыми значениями для этих данных является NIL.

Альтернативная опция называет NoErrors используемый в предыдущих версиях MuPAD все еще доступно.

ReturnType

Опция, заданная как ReturnType = t

Возвратите левые и правые сингулярные векторы как матрицы доменного типа t. Следующее возвращает типы, t доступен: DOM_ARRAY, или DOM_HFARRAY, или Dom::Matrix(), или Dom::DenseMatrix().

Эта опция определяет доменный тип матриц, содержащих сингулярные векторы.

NoWarning

Отключает предупреждения

Возвращаемые значения

Перечислите [U, d, V, resU, resV]U унитарная квадратная матрица плавающая, столбцам которой оставляют сингулярные векторы. Список d содержит сингулярные значения. V унитарная квадратная матрица плавающая, столбцы которой являются правильными сингулярными векторами. Списки остатков плавающих resU и resV обеспечьте ошибочные оценки для числовых данных.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте