Симулируйте многомерные стохастические дифференциальные уравнения (SDEs)
[ симулирует Paths,Times,Z] = simulate(MDL)NTrials демонстрационные пути NVars коррелированые переменные состояния, управляемые NBrowns Источники броуновского движения риска по NPeriods последовательные периоды наблюдения, аппроксимируя стохастические процессы непрерывного времени.
simulate принимает любой список переменных длин входных параметров что метод симуляции или функция, на которую ссылается SDE.Simulation параметр требует или принимает. Это передает этот список входов непосредственно соответствующему методу симуляции SDE или пользовательской функции симуляции.
Рассмотрите европейский up-in колл-опцион на одном базовом запасе. Эволюцией цены этого запаса управляет модель Geometric Brownian Motion (GBM) постоянными параметрами:
Примите следующие характеристики:
Запас в настоящее время стоит в 105.
Запас не выплачивает дивидендов.
Энергозависимость запаса составляет 30% в год.
Цена исполнения опциона опции равняется 100.
Опция истекает за три месяца.
Барьер опции равняется 120.
Безрисковый уровень является постоянным в 5% в год.
Цель состоит в том, чтобы симулировать различные пути ежедневных курсов акций и вычислить цену барьерного опциона как нейтральное к риску демонстрационное среднее значение обесцененной терминальной выплаты опции. Поскольку это - барьерный опцион, необходимо также определить, если и когда барьер пересечен.
Этот пример выполняет прямо противоположную выборку путем явной установки Antithetic отметьте к true, и затем задает функцию обработки конца периода, чтобы записать максимальные и терминальные курсы акций на базисе пути путем.
Создайте модель GBM с помощью gbm.
barrier = 120; % barrier strike = 100; % exercise price rate = 0.05; % annualized risk-free rate sigma = 0.3; % annualized volatility nPeriods = 63; % 63 trading days dt = 1 / 252; % time increment = 252 days T = nPeriods * dt; % expiration time = 0.25 years obj = gbm(rate, sigma, 'StartState', 105);
Выполните небольшую симуляцию, которая явным образом возвращает два симулированных пути.
rng('default') % make output reproducible [X, T] = obj.simBySolution(nPeriods, 'DeltaTime', dt, ... 'nTrials', 2, 'Antithetic', true);
Выполните прямо противоположную выборку таким образом, что все первичные и прямо противоположные пути симулированы и сохранены в последовательных парах соответствия. Нечетные пути (1,3,5...) соответствуют первичным Гауссовым путям. Даже пути (2,4,6...) являются соответствующими прямо противоположными путями каждой пары, выведенной путем отрицания Гауссовых привлекательных сторон соответствующего первичного (нечетного) пути. Проверьте это путем исследования соответствующих путей первичной/прямо противоположной пары.
plot(T, X(:,:,1), 'blue', T, X(:,:,2), 'red') xlabel('Time (Years)'), ylabel('Stock Price'), ... title('Antithetic Sampling') legend({'Primary Path' 'Antithetic Path'}, ... 'Location', 'Best')
Чтобы оценить европейский барьерный опцион, задайте функцию обработки конца периода, чтобы записать максимальные и терминальные курсы акций. Эта функция обработки доступна ко времени и состоянию, и реализована как вложенная функция с доступом к общей информации, которая позволяет цене опции и соответствующей стандартной погрешности быть вычисленной. Для получения дополнительной информации об использовании функции обработки конца периода см. Опции Акции Оценки.
Симулируйте 200 путей с помощью метода функции обработки.
rng('default') % make output reproducible barrier = 120; % barrier strike = 100; % exercise price rate = 0.05; % annualized risk-free rate sigma = 0.3; % annualized volatility nPeriods = 63; % 63 trading days dt = 1 / 252; % time increment = 252 days T = nPeriods * dt; % expiration time = 0.25 years obj = gbm(rate, sigma, 'StartState', 105); nPaths = 200; % # of paths = 100 sets of pairs f = Example_BarrierOption(nPeriods, nPaths); simulate(obj, nPeriods, 'DeltaTime' , dt, ... 'nTrials', nPaths, 'Antithetic', true, ... 'Processes', f.SaveMaxLast);
Аппроксимируйте цену опции 95%-м доверительным интервалом.
optionPrice = f.OptionPrice(strike, rate, barrier);
standardError = f.StandardError(strike, rate, barrier,...
true);
lowerBound = optionPrice - 1.96 * standardError;
upperBound = optionPrice + 1.96 * standardError;
displaySummary(optionPrice, standardError, lowerBound, upperBound); Up-and-In Barrier Option Price: 6.6572
Standard Error of Price: 0.7292
Confidence Interval Lower Bound: 5.2280
Confidence Interval Upper Bound: 8.0864
Служебная функция
function displaySummary(optionPrice, standardError, lowerBound, upperBound) fprintf(' Up-and-In Barrier Option Price: %8.4f\n', ... optionPrice); fprintf(' Standard Error of Price: %8.4f\n', ... standardError); fprintf(' Confidence Interval Lower Bound: %8.4f\n', ... lowerBound); fprintf(' Confidence Interval Upper Bound: %8.4f\n', ... upperBound); end
Эта функция симулирует любой SDE с векторным знаком формы:
| (1) |
X является NVars-by-1 вектор состояния переменных процесса (например, короткие уровни или цены акции), чтобы симулировать.
W является NBrowns-by-1 Вектор броуновского движения.
F является NVars-by-1 функция уровня дрейфа с векторным знаком.
G является NVars-by-NBrowns функция уровня диффузии с матричным знаком.
[1] Островок-Sahalia, Y. “Тестируя Модели Непрерывного времени Точечной Процентной ставки”. Анализ Финансовых Исследований, Spring 1996, Издания 9, № 2, стр 385–426.
[2] Островок-Sahalia, Y. “Плотность перехода для процентной ставки и другой нелинейной диффузии”. Журнал финансов, издания 54, № 4, август 1999.
[3] Глассермен, P. Методы Монте-Карло в финансовой разработке. Нью-Йорк, Springer-Verlag, 2004.
[4] Оболочка, J. C. Опции, фьючерсы и Другие Производные, 5-й редактор Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2002.
[5] Джонсон, N. L. С. Коц и Н. Бэлэкришнэн. Непрерывные Одномерные распределения. Издание 2, 2-й редактор Нью-Йорк, John Wiley & Sons, 1995.
[6] Shreve, S. E. Стохастическое исчисление для финансов II: модели непрерывного времени. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004.
bates | bm | cev | cir | gbm | heston | hwv | merton | sde | sdeddo | sdeld | sdemrd | simByEuler | simBySolution | simBySolution