Вычислить ограниченный MLE

Получение ограниченного MLE путем подгонки модели AR (1) (с распределением гауссовых инноваций) к данным. Предположим, что у вас есть предварительные наблюдения $${(}_{\mathrm{}}$$y-1, $${}_{\mathrm{}}$$y0) = (9,6249,9,6396).

Y = [10.1591; 10.1675; 10.1957; 10.6558; 10.2243; 10.4429;
     10.5965; 10.3848; 10.3972;  9.9478;  9.6402;  9.7761;
     10.0357; 10.8202; 10.3668; 10.3980; 10.2892;  9.6310;
      9.6318;  9.1378;  9.6318;  9.1378];
Y0 = [9.6249; 9.6396];

Mdl = arima(1,0,0);
EstMdl = estimate(Mdl,Y,'Y0',Y0);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value     StandardError    TStatistic     PValue  
                _______    _____________    __________    _________

    Constant     3.2999        2.4606         1.3411        0.17988
    AR{1}       0.67097       0.24635         2.7237      0.0064564
    Variance    0.12506      0.043015         2.9074      0.0036441

При проведении LM-теста необходимо подогнать только ограниченную модель.

Вычислить матрицу градиента

Оценка матрицы дисперсии-ковариации для неограниченной модели AR (2) с использованием метода внешнего произведения градиентов (OPG ).

Для модели AR (2) с гауссовыми инновациями вклад в функцию логарифмирования в момент $$$$t определяется

, где $${}_{}^{\mathrm{\alpha 2}}$$ - дисперсия распределения инноваций.

Вклад в градиент в момент времени $$t$$ равен

где

Вычислите матрицу градиента $$G$$в ограниченных MLE (с использованием $${\underset{}{\overset{}{}}}_{\mathrm{}}\mathrm{\varphi ˆ2=0}$$).

c = EstMdl.Constant;
phi1 = EstMdl.AR{1};
phi2 = 0;
sig2 = EstMdl.Variance;

Yt = Y;
Yt1 = [9.6396; Y(1:end-1)];
Yt2 = [9.6249; Yt1(1:end-1)];

N = length(Y);
G = zeros(N,4);
G(:,1) = (Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,2) = Yt1.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,3) = Yt2.*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2)/sig2;
G(:,4) = -0.5/sig2 + 0.5*(Yt-c-phi1*Yt1-phi2*Yt2).^2/sig2^2;

Матрица вариации-ковариации оценки

Вычислите оценку матрицы дисперсии-ковариации OPG.

V = inv(G'*G)

V = 4×4

    6.1431   -0.6966    0.0827    0.0367
   -0.6966    0.1535   -0.0846   -0.0061
    0.0827   -0.0846    0.0771    0.0024
    0.0367   -0.0061    0.0024    0.0019

Численные неточности могут возникать из-за точности компьютера. Чтобы сделать дисперсионно-ковариационную матрицу симметричной, объедините половину ее значения с половиной ее транспонирования.

V = V/2 + V'/2;

Вычислить функцию оценки

Оцените функцию оценки (сумму отдельных вкладов в градиент).

score = sum(G);

Проведение теста множителя Лагранжа

Выполните тест множителя Лагранжа для сравнения модели ограниченного AR (1) с моделью неограниченного AR (2). Число ограничений (степень свободы) равно единице.

[h,p,LMstat,crit] = lmtest(score,V,1)

h = logical
   0

p = 0.5787

LMstat = 0.3084

crit = 3.8415

Ограниченная модель AR (1) не отклоняется в пользу модели AR (2) (h = 0).