Сравнение спецификаций модели AR для моделируемой серии ответов с использованием lmtest.

Рассмотрим модель AR (3):

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - гауссов со средним значением 0 и дисперсией 1. Укажите эту модель с помощью arima.

Mdl = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',{0.9,-0.5,0.4});

Mdl является полностью указанной моделью AR (3).

Смоделировать предварительную выборку и эффективные примеры ответов из Mdl.

T = 100;
rng(1);               % For reproducibility
n = max(Mdl.P,Mdl.Q); % Number of presample observations
y = simulate(Mdl,T + n);

y является случайным путем из Mdl включает в себя предварительные наблюдения.

Укажите ограниченную модель:

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - гауссов со средним 0 и дисперсией $${}^{\mathrm{start2}}$$.

Mdl0 = arima(3,0,0);
Mdl0.AR{3} = 0;

Структура Mdl0 является таким же, как Mdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением того, что $${}_{\mathrm{}}\mathrm{\varphi 3=0}$$. Это ограничение равенства во время оценки.

Оцените ограниченную модель, используя смоделированные данные (y).

[EstMdl0,EstParamCov] = estimate(Mdl0,y((n+1):end),...
    'Y0',y(1:n),'display','off');
phi10 = EstMdl0.AR{1};
phi20 = EstMdl0.AR{2};
phi30 = 0;
c0 = EstMdl0.Constant;
phi0 = [c0;phi10;phi20;phi30];
v0 = EstMdl0.Variance;

EstMdl0 содержит оценки параметров модели с ограниченным доступом.

lmtest требуется неограниченный балл модели, оцениваемый в ограниченных оценках модели. Неограниченный градиент модели:

MatY = lagmatrix(y,1:3);
LagY = MatY(all(~isnan(MatY),2),:);
cGrad = (y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0)/v0;
phi1Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,1))/v0;
phi2Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,2))/v0;
phi3Grad = ((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).*LagY(:,3))/v0;
vGrad = -1/(2*v0)+((y((n+1):end)-[ones(T,1),LagY]*phi0).^2)/(2*v0^2);
Grad = [cGrad,phi1Grad,phi2Grad,phi3Grad,vGrad]; % Gradient matrix

score = sum(Grad)'; % Score under the restricted model

Оцените неограниченный параметр оценки ковариации, используя ограниченные MLE и метод внешнего произведения градиентов (OPG).

EstParamCov0 = inv(Grad'*Grad);
dof = 1; % Number of model restrictions

Проверьте нулевую гипотезу о том, что $${}_{\mathrm{\delta \; 3}}\mathrm{=}$$ 0 на уровне значимости 1%, используяlmtest.

[h,pValue] = lmtest(score,EstParamCov0,dof,0.1)

h = logical
   1

pValue = 2.2524e-09

pValue близок к 0, что говорит о наличии убедительных доказательств отклонения модели ограниченного AR (2) в пользу модели неограниченного AR (3).

Сравните две спецификации модели для смоделированных данных об образовании и доходах. Неограниченная модель имеет следующие логики:

где

То есть, доход человека k, учитывая количество оценок, которые человек k завершил, является Гамма, распределенной с формой $$\mathrm{startи}$$ скоростью $${}_{\mathrm{\beta i}}$$. Ограниченная модель устанавливает («$$\mathrm{set}\mathrm{=}$$1»), что подразумевает, что доход человека k, учитывая число оценок, которые человек k завершил, экспоненциально распределяется со $$\mathrm{средним}{\mathrm{значением\; \beta }}_{}$$+ xi.

Ограниченная модель - $${}_{\mathrm{H0}}:start=\mathrm{}$$1. Для сравнения этой модели с неограниченной моделью необходимо выполнить следующие действия.

Загрузите данные.

load Data_Income1
x = DataTable.EDU;
y = DataTable.INC;

Оцените ограниченные параметры модели, максимизировав $$l(start,$$β) по отношению $$к$$ β, подчиняясь $$\mathrm{ограничению}\mathrm{start=}$$1. Градиент $$l$$(start, β) равен

где $$\mathrm{Start(}start$$) - дигамма-функция .

rho0 = 1; % Restricted rho
dof = 1;  % Number of restrictions
dLBeta = @(beta) sum(y./((beta + x).^2) - rho0./(beta + x));...
    % Anonymous gradient function

[betaHat0,fVal,exitFlag] = fzero(dLBeta,0)

betaHat0 = 15.6027

fVal = 2.7756e-17

exitFlag = 1

beta = [0:0.1:50];
plot(beta,arrayfun(dLBeta,beta))
hold on
plot([beta(1);beta(end)],zeros(2,1),'k:')
plot(betaHat0,fVal,'ro','MarkerSize',10)
xlabel('{\beta}')
ylabel('Loglikelihood Gradient')
title('{\bf Loglikelihood Gradient with Respect to \beta}')
hold off

Градиент по отношению к $$\beta$$ (dLBeta) уменьшается, что говорит о наличии локального максимума в его корне. Поэтому betaHat0 является MLE для модели с ограниченным доступом. fVal указывает, что значение градиента очень близко к 0 при betaHat0. Флаг выхода (exitFlag) равно 1, что означает, что fzero без проблем обнаружил корень градиента.

Оцените ковариацию параметра в ограниченной модели, используя внешнее произведение градиентов (OPG).

rGradient = [-rho0./(betaHat0+x)+y.*(betaHat0+x).^(-2),...
      log(y./(betaHat0+x))-psi(rho0)];    % Gradient per unit
rScore = sum(rGradient)';                 % Score function
rEstParamCov = inv(rGradient'*rGradient); % Parameter covariance estimate

Протестируйте неограниченную модель по сравнению с ограниченной моделью с помощью теста множителя Лагранжа.

[h,pValue] = lmtest(rScore,rEstParamCov,dof)

h = logical
   1

pValue = 7.4744e-05

pValue близок к 0, что указывает на наличие убедительных доказательств того, что неограниченная модель подходит для данных лучше, чем ограниченная модель.

Проверка наличия значительных эффектов ARCH в моделируемой серии ответов с использованием lmtest. Значения параметров в этом примере являются произвольными.

Укажите модель AR (1) с дисперсией ARCH (1):

где

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl является полностью заданной моделью AR (1) с дисперсией ARCH (1).

Смоделировать предварительную выборку и эффективные примеры ответов из Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the gradient
[y,ep,v] = simulate(Mdl,T + n);

ep - случайный путь инноваций из VarMdl. Фильтры программного обеспечения ep через Mdl для получения случайного пути отклика y.

Укажите ограниченную модель и предположим, что константа модели AR равна 0:

где $${}_{\mathrm{ht}}{=}_{\mathrm{}}{\mathrm{\alpha 0}}_{\mathrm{}}{+}_{\mathrm{}}^{\mathrm{}}$$α1αt-12.

VarMdl0 = garch(0,1);
VarMdl0.ARCH{1} = 0;
Mdl0 = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',VarMdl0);

Структура Mdl0 является таким же, как Mdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением ограничения $${}_{\mathrm{\alpha 1}}\mathrm{=}$$0. Это ограничения равенства во время оценки. Вы можете интерпретироватьMdl0 как модель AR (1) с гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянную дисперсию.

Оцените ограниченную модель, используя смоделированные данные (y).

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

[EstMdl0,EstParamCov] = estimate(Mdl0,y(esI),...
    'Y0',y(psI),'E0',ep(psI),'V0',v(psI),'display','off');
phi10 = EstMdl0.AR{1};
alpha00 = EstMdl0.Variance.Constant;

EstMdl0 содержит оценки параметров модели с ограниченным доступом.

lmtest требуется неограниченный балл модели, оцениваемый в ограниченных оценках модели. Неограниченная модельная функция «loglikeability»:

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}{=}_{}{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$$yt-δ 1yt-1. Неограниченный градиент:

где $${}_{\mathrm{zt}}=\mathrm{}[1_{,\mathrm{}}^{\mathrm{}}$$αt-12] $${}_{и}\frac{{}_{\mathrm{ft}}^{\mathrm{}}}{{=}_{}}\mathrm{}$$αt2ht-1. Информационная матрица:

Под нулевой ограниченной моделью $${}_{}{}_{\mathrm{}}{\underset{}{\overset{}{}}}_{\mathrm{ht=h0=\alpha ˆ0}}$$ для всех t, где $${\underset{}{\overset{}{}}}_{\mathrm{\alpha ˆ0}}$$ - оценка из анализа ограниченной модели.

Оцените градиент и информационную матрицу в модели с ограниченным доступом. Оцените ковариацию параметра путем инвертирования информационной матрицы.

e = y - phi10*lagmatrix(y,1);
eLag1Sq = lagmatrix(e,1).^2;
h0 = alpha00;
ft = (e(esI).^2/h0 - 1);
zt = [ones(T,1),eLag1Sq(esI)]';

score0 = 1/(2*h0)*zt*ft;        % Score function
InfoMat0 = (1/(2*h0^2))*(zt*zt');
EstParamCov0 = inv(InfoMat0);   % Estimated parameter covariance
dof = 1;                        % Number of model restrictions

Проверьте нулевую гипотезу, что $${}_{\mathrm{\alpha 1}}\mathrm{=}$$ 0 на уровне значимости 5%, используяlmtest.

[h,pValue] = lmtest(score0,EstParamCov0,dof)

h = logical
   1

pValue = 4.0443e-06

pValue близок к 0, что говорит о наличии доказательств отклонения модели ограниченного AR (1) в пользу модели неограниченного AR (1) с дисперсией ARCH (1).