Модели ARIMAX и регрессионные модели с ошибками ARIMA тесно связаны между собой, и выбор того, что использовать, как правило, диктуется вашими целями для анализа. Если цель состоит в том, чтобы подогнать разборчивую модель к данным и ответам прогноза, то разница между этими двумя моделями очень мала.
Если вы больше заинтересованы в сохранении обычной интерпретации коэффициента регрессии как меры чувствительности, то есть влияния единичного изменения переменной предиктора на отклик, то используйте регрессионную модель с ошибками ARIMA. Коэффициенты регрессии в моделях ARIMAX не обладают такой интерпретацией из-за динамической зависимости от ответа [1].
Предположим, что имеются оценки параметров из регрессионной модели с ошибками ARIMA, и нужно увидеть, как структура модели сравнивается с моделью ARIMAX. Или, предположим, вы хотите получить некоторое представление об основных отношениях между двумя моделями.
Модель ARIMAX (t = 1,..., T):
| (1) |
yt - одномерный ряд ответов.
Xt - строка t из X, которая является матрицей конкатенированных рядов предикторов. То есть Xt - это наблюдение t каждой серии предикторов.
β - коэффициент регрессии.
c - перехват регрессионной модели.
η1L − η2L2 −... - это многочлен оператора градусного P-запаздывания, который фиксирует комбинированный эффект сезонного и несезонного авторегрессивных многочленов, а также сезонного и несезонного полиномов интегрирования. Дополнительные сведения о нотации см. в разделе Мультипликативная модель ARIMA.
+ νQLQ, который является степенью Q, изолирует полиномиал оператора, который захватывает совместное воздействие сезонных и несезонных полиномиалов скользящего среднего значения.
δ t - это инновационный процесс белого шума.
Регрессионная модель с ошибками ARIMA - (t = 1,...,T)
| = B (L) αt, | (2) |
ut - процесс безусловных нарушений.
...−aPLP, который является степенью, P изолируют полиномиал оператора, который захватывает совместное воздействие сезонных и несезонных авторегрессивных полиномиалов и сезонных и несезонных полиномиалов интеграции.
b2L2 +... + bQLQ, который является полиномом оператора задержки степени Q, который фиксирует комбинированный эффект сезонного и несезонного многочленов скользящего среднего.
Значения переменных, определенных в уравнении 2, не обязательно эквивалентны значениям переменных в уравнении 1, даже если обозначение может быть аналогичным.
Рассмотрим уравнение 2, регрессионную модель с ошибками ARIMA. Используйте следующие операции для преобразования регрессионной модели с ошибками ARIMA в соответствующую модель ARIMAX.
Решить для ut.
L) A (L)
Подставить ut в уравнение регрессии.
+ A (L) Xtβ + B (L) αt.
Решить для yt.
| c+ZtΓ+∑k=1Pakyt−k+B (L) αt. | (3) |
A (L) c = (1 - a1 - a2 -... - aP) c. То есть константа в модели ARIMAX является пересечением в регрессионной модели с ошибками ARIMA с нелинейным ограничением. Хотя приложения, такие какsimulate, обработайте это ограничение, estimate не может включать такое ограничение. В последнем случае модели эквивалентны при фиксации пересечения и константы 0.
В термине A (L) Xtβ полином оператора запаздывания A (L) фильтрует вектор T-by-1 Xtβ, который является линейной комбинацией предикторов, взвешенных коэффициентами регрессии. Этот процесс фильтрации требует P предварительных наблюдений серии предикторов.
arima конструирует матрицу Zt следующим образом:
Каждый столбец Zt соответствует каждому члену в A (L).
Первым столбцом Zt является вектор Xtβ.
Второй столбец Zt представляет собой последовательность d2
NaNs (d2 - степень второго члена в A (L)), за которым следует продукт LdjXtβ. То есть программное обеспечение присоединяет d2
NaNs в начале столбца T-by-1, прикрепляет Xtβ после NaNs, но усекает конец этого произведения наблюдениями d2.
J-й столбец Zt представляет собой последовательность dj
NaNs (dj - степень j-го члена в A (L)), за которым следует продукт LdjXtβ. То есть программное обеспечение присоединяет dj
NaNs в начале столбца T-by-1, прикрепляет Xtβ после NaNs, но усекает конец этого продукта наблюдениями dj.
.
Γ = [1 -a1 -a2... -aP] '.
arima преобразователь удаляет все нулевые авторегрессионные коэффициенты дифференциального уравнения. Впоследствии, arima преобразователь не связывает нулевые авторегрессивные коэффициенты со столбцами в Zt и не включает соответствующие нулевые коэффициенты в Γ.
Переписать уравнение 3,
c+Xtβ−∑k=1PakXt−kβ+∑k=1Pakyt−k+εt+∑k=1Qεt−k.
Например, рассмотрим следующую регрессионную модель с ошибками ARMA (2,1):
| ut = (1 + 0 .3L) αt. | (4) |
0,8 yt − 1 − 0,4 yt − 2 + (1 + 0,3L) αt,
или
+ (1 + 0 .3L) αt,
где Γ = [1 -0,8 0,4] 'и
Эта модель не интегрирована, поскольку все собственные значения, связанные с полиномом AR, находятся в пределах единичной окружности, но предикторы могут повлиять на в противном случае стабильный процесс. Кроме того, необходимы предварительные данные предиктора, возвращающиеся, по крайней мере, на 2 периода назад, чтобы, например, привести модель в соответствие с данными.
Далее это можно проиллюстрировать с помощью моделирования и оценки.
Укажите регрессионную модель с ошибками ARIMA в уравнении 4.
MdlregARIMA0 = regARIMA('Intercept',0.2,'AR',{0.8 -0.4},... 'MA',0.3,'Beta',[0.3 -0.2],'Variance',0.2);
Создание предварительных наблюдений и данных предиктора.
rng(1); % For reproducibility T = 100; maxPQ = max(MdlregARIMA0.P,MdlregARIMA0.Q); numObs = T + maxPQ;... % Adjust number of observations to account for presample XregARIMA = randn(numObs,2); % Simulate predictor data u0 = randn(maxPQ,1); % Presample unconditional disturbances u(t) e0 = randn(maxPQ,1); % Presample innovations e(t)
Моделирование данных из Mdl1.
Новообращенный Mdl1 в модель ARIMAX.
[MdlARIMAX0,XARIMAX] = arima(MdlregARIMA0,'X',XregARIMA);
MdlARIMAX0MdlARIMAX0 =
arima with properties:
Description: "ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution)"
Distribution: Name = "Gaussian"
P: 2
D: 0
Q: 1
Constant: 0.12
AR: {0.8 -0.4} at lags [1 2]
SAR: {}
MA: {0.3} at lag [1]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1 -0.8 0.4]
Variance: 0.2
Создание предварительных ответов для модели ARIMAX для обеспечения согласованности с Mdl1. Моделирование данных из Mdl2.
y0 = MdlregARIMA0.Intercept + XregARIMA(1:maxPQ,:)*MdlregARIMA0.Beta' + u0; rng(100) y2 = simulate(MdlARIMAX0,T,'Y0',y0,'E0',e0,'X',XARIMAX); figure plot(y1,'LineWidth',3) hold on plot(y2,'r:','LineWidth',2.5) hold off title('{\bf Simulated Paths}') legend('regARIMA Model','ARIMAX Model','Location','Best')
Моделируемые пути эквивалентны, поскольку arima преобразователь применяет нелинейное ограничение, когда преобразует пересечение регрессионной модели в константу модели ARIMAX.
Подгонка регрессионной модели с ошибками ARIMA к моделируемым данным.
MdlregARIMA = regARIMA('ARLags',[1 2],'MALags',1); EstMdlregARIMA = estimate(MdlregARIMA,y1,'E0',e0,'U0',u0,'X',XregARIMA);
Regression with ARMA(2,1) Error Model (Gaussian Distribution):
Value StandardError TStatistic PValue
________ _____________ __________ __________
Intercept 0.14074 0.1014 1.3879 0.16518
AR{1} 0.83061 0.1375 6.0407 1.5349e-09
AR{2} -0.45402 0.1164 -3.9007 9.5927e-05
MA{1} 0.42803 0.15145 2.8262 0.0047109
Beta(1) 0.29552 0.022938 12.883 5.597e-38
Beta(2) -0.17601 0.030607 -5.7506 8.8941e-09
Variance 0.18231 0.027765 6.5663 5.1569e-11
Подгонка модели ARIMAX к моделируемым данным.
MdlARIMAX = arima('ARLags',[1 2],'MALags',1); EstMdlARIMAX = estimate(MdlARIMAX,y2,'E0',e0,'Y0',... y0,'X',XARIMAX);
ARIMAX(2,0,1) Model (Gaussian Distribution):
Value StandardError TStatistic PValue
________ _____________ __________ __________
Constant 0.084996 0.064217 1.3236 0.18564
AR{1} 0.83136 0.13634 6.0975 1.0775e-09
AR{2} -0.45599 0.11788 -3.8683 0.0001096
MA{1} 0.426 0.15753 2.7043 0.0068446
Beta(1) 1.053 0.13685 7.6949 1.4166e-14
Beta(2) -0.6904 0.19262 -3.5843 0.00033796
Beta(3) 0.45399 0.15352 2.9572 0.0031047
Variance 0.18112 0.028836 6.281 3.3634e-10
Новообращенный EstMdl1 в модель ARIMAX.
Расчетная константа модели ARIMAX не эквивалентна константе модели ARIMAX, преобразованной из регрессионной модели с ошибками ARIMA. Другими словами, EstMdl2.Constant = 0.0849961 и ConvertedMdl2.Constant = 0.087737. Это потому, что estimate не применяет нелинейное ограничение, arima преобразователь принудительно. В результате другие оценки также не эквивалентны, хотя и близки.
[1] Хайндман, Р. Дж. (2010, октябрь). «Путаница моделей ARIMAX». Роб Дж. Хайндман. Получено 4 мая 2017 г. из https://robjhyndman.com/hyndsight/arimax/.