Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите данные NASDAQ, включенные в Econometrics Toolbox™. Преобразуйте серию ежедневного закрытого составного индекса в серию возврата. Для стабильности числовых значений преобразуйте возвращаемые значения в процент возвращаемых значений.

load Data_EquityIdx
nasdaq = DataTable.NASDAQ;
r = 100*price2ret(nasdaq);
T = length(r);

Создание шаблона модели

Создание композитной модели AR (1) и GARCH (1,1) с формой

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}{=}_{}{}_{}$$starttzt $${и}_{}$$zt является стандартизированным гауссовым процессом iid.

VarMdl = garch(1,1)

VarMdl = 
  garch with properties:

     Description: "GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN} at lag [1]
            ARCH: {NaN} at lag [1]
          Offset: 0

Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',VarMdl)

Mdl = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               D: 0
               Q: 0
        Constant: NaN
              AR: {NaN} at lag [1]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1×0]
        Variance: [GARCH(1,1) Model]

Mdl является arima шаблон модели для оценки. NaN-значимые свойства Mdl и VarMdl соответствуют неизвестным, оцениваемым коэффициентам и параметрам дисперсии составной модели.

Параметры модели оценки

Подгонка модели к серии возврата r с помощью estimate.

EstMdl = estimate(Mdl,r);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.072632      0.018047         4.0245      5.7087e-05
    AR{1}        0.13816      0.019893          6.945      3.7847e-12

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.022377      0.0033201        6.7399      1.5851e-11
    GARCH{1}     0.87312      0.0091019        95.927               0
    ARCH{1}      0.11865       0.008717        13.611       3.434e-42

EstMdl является полностью указанным arima модель.

Дисплей оценки показывает пять оцененных параметров и соответствующие им стандартные ошибки (модель условного среднего AR (1) имеет два параметра, а модель условной дисперсии GARCH (1,1) имеет три параметра ).

Подогнанная модель (EstMdlявляется

Все $\mathit{}$t статистики больше 2, что говорит о том, что все параметры статистически значимы.

Динамические модели требуют предварительных наблюдений, с помощью которых можно инициализировать модель. Если не указаны предварительные измерения, estimate создает их по умолчанию.

Определение условных отклонений и остатков

Выведите и постройте график условных отклонений и стандартизированных остатков. Выведите значение целевой функции loglikeability.

[res,v,logL] = infer(EstMdl,r);

figure
subplot(2,1,1)
plot(v)
xlim([0,T])
title('Conditional Variances')

subplot(2,1,2)
plot(res./sqrt(v))
xlim([0,T])
title('Standardized Residuals')

Условные отклонения возрастают после наблюдения 2000 года. Этот результат соответствует повышенной волатильности, наблюдаемой в исходной серии возврата.

Стандартизированные остатки имеют более большие значения (более 2 или 3 в абсолютном значении), чем ожидалось при стандартном нормальном распределении. Этот результат говорит о том, что $\mathit{}$распределение Стьюдента может быть более подходящим для распространения инноваций.

Подгонка модели с распространением инноваций

Создание шаблона модели из Mdlи указать, что его инновации имеют $\mathit{}$распределение Student's.

MdlT = Mdl;
MdlT.Distribution = 't';

MdlT имеет одну дополнительную оценку параметра: $\mathit{}$t степеней свободы распределения.

Поместите новую модель в серию возврата NASDAQ. Укажите начальное значение для члена константы модели расхождения.

Variance0 = {'Constant0',0.001};
EstMdlT = estimate(MdlT,r,'Variance0',Variance0);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.093488      0.016694         5.6002      2.1413e-08
    AR{1}        0.13911      0.018857         7.3771      1.6175e-13
    DoF           7.4775       0.88261          8.472      2.4126e-17

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.011246      0.0036305        3.0976       0.0019511
    GARCH{1}     0.90766       0.010516        86.315               0
    ARCH{1}     0.089897       0.010835        8.2966      1.0712e-16
    DoF           7.4775        0.88261         8.472      2.4126e-17

Оценка коэффициента между EstMdl и EstMdlT немного отличаются. Оценка степеней свободы относительно невелика (около 8), что указывает на значительный отход от нормальности.

Сравнение посадок модели

Обобщите предполагаемые модели. Из резюме получить количество оцененных параметров и значение целевой функции loglikeability из второй аппроксимации.

Summary = summarize(EstMdl);
SummaryT = summarize(EstMdlT);

numparams = Summary.NumEstimatedParameters;
numparamsT = SummaryT.NumEstimatedParameters;
logLT = SummaryT.LogLikelihood;

Сравните два модельных критерия (Gaussian и $\mathit{t}$ innovation distribution) с использованием информационного критерия Акайке (AIC) и байесовского информационного критерия (BIC).

[numparams numparamsT]

ans = 1×2

     5     6

[aic,bic] = aicbic([logL logLT],[numparams numparamsT],T)

aic = 1×2
103 ×

    9.4929    9.3807

bic = 1×2
103 ×

    9.5230    9.4168

Первая модель имеет шесть подгоняемых параметров, в то время как вторая модель имеет шесть (поскольку она содержит $\mathit{}$t степеней свободы распределения). Несмотря на это различие, оба информационных критерия благоприятствуют модели с $\mathit{}$распределением инноваций Student, потому что она дает меньшие значения AIC и BIC, чем модель с гауссовыми инновациями.