Можно выразить все стационарные стохастические процессы в общем линейном виде [2]
Инновационный процесс является некоррелированным - но не обязательно независимым - средним нулевым процессом с известным распределением.
В Econometrics Toolbox™ общей формой для инновационного процесса является starttzt. Здесь zt является независимым и идентично распределенным (iid) рядом со средним 0 и дисперсией 1, startt2 является дисперсией инновационного процесса в момент времени T. Таким образомαt является некоррелированным рядом со средним 0 и startt2.
arima объекты модели имеют два свойства для хранения информации об инновационном процессе:
Variance хранит в себе форму
Distribution сохраняет параметрическую форму распределения zt
Если startα2 для всех времен t, δ t - это независимый процесс с постоянной дисперсиейstartα2 .
Значение по умолчанию для Variance является NaN, что означает постоянную дисперсию с неизвестным значением. Можно также присвоить Variance любое положительное скалярное значение или оценить его с помощью estimate.
Временной ряд может демонстрировать кластеризацию волатильности, что означает тенденцию больших изменений следовать за большими изменениями, а небольших изменений - за небольшими изменениями. Смоделировать такое поведение можно с помощью модели условной дисперсии - динамической модели, описывающей эволюцию дисперсии процесса, startt2, обусловленной прошлыми нововведениями и дисперсиями.
Набор Variance равен одному из трех объектов модели условной дисперсии, доступных в Econometrics Toolbox (garch, egarch, или gjr). Это создает составное условное среднее и переменную модели дисперсии.
Доступные дистрибутивы для zt:
Стандартизированный гауссов
Стандартизированный Стьюдент t с 2 степенями свободы,
2νTν,
где следует за t распределением Студента с ν> 2 степени свободы.
Распределение t полезно для моделирования временных рядов с более экстремальными значениями, чем ожидалось при распределении по Гауссу. Говорят, что ряды с большими значениями, чем ожидалось при нормальности, имеют избыточный куртоз.
Совет
Рекомендуется оценить распределительные свойства остатков модели, чтобы определить, подходит ли для данных распределение инноваций по Гауссу (распределение по умолчанию).
Собственность Distribution в модели сохраняет имя распределения (и степени свободы для распределения t). Тип данных Distribution является struct массив. Для гауссовского инновационного распределения структура данных имеет только одно поле: Name. Для распределения Стьюдента структура данных должна иметь два поля:
Name, со значением 't'
DoF, со скалярным значением больше двух (NaN является значением по умолчанию)
Если инновационное распределение является гауссовым, нет необходимости присваивать значение Distribution. arima создает требуемую структуру данных.
Для иллюстрации рассмотрим определение модели MA (2) с iid гауссовым инновационным процессом:
Mdl = arima(0,0,2)
Mdl =
arima with properties:
Description: "ARIMA(0,0,2) Model (Gaussian Distribution)"
Distribution: Name = "Gaussian"
P: 0
D: 0
Q: 2
Constant: NaN
AR: {}
SAR: {}
MA: {NaN NaN} at lags [1 2]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1×0]
Variance: NaN
Выходные данные модели показывают, что Distribution является struct массив с одним полем, Name, со значением 'Gaussian'.
При определении инновационного распределения Стьюдента можно указать распределение с неизвестными или известными степенями свободы. Если степени свободы неизвестны, можно просто назначить Distribution стоимость 't'. По умолчанию свойство Distribution имеет структуру данных с полем Name равно 't', и поле DoF равно NaN. При вводе модели в estimateстепени свободы оцениваются вместе с любыми другими неизвестными параметрами модели.
Например, укажите модель MA (2) с распределением инноваций iid Student's с неизвестными степенями свободы:
Mdl = arima('MALags',1:2,'Distribution','t')
Mdl =
arima with properties:
Description: "ARIMA(0,0,2) Model (t Distribution)"
Distribution: Name = "t", DoF = NaN
P: 0
D: 0
Q: 2
Constant: NaN
AR: {}
SAR: {}
MA: {NaN NaN} at lags [1 2]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1×0]
Variance: NaN
Выходные данные показывают, что Distribution - структура данных с двумя полями. Область Name имеет значение 't', и поле DoF имеет значение NaN.
Если степени свободы известны и требуется задать ограничение равенства, назначьте struct массив в Distribution с полями Name и DoF. В этом случае, если модель вводится в estimate, степени свободы не будут оцениваться (ограничение равенства поддерживается).
Укажите модель MA (2) с инновационным процессом iid Student's с восемью степенями свободы:
Mdl = arima('MALags',1:2,'Distribution',struct('Name','t','DoF',8))
Mdl =
arima with properties:
Description: "ARIMA(0,0,2) Model (t Distribution)"
Distribution: Name = "t", DoF = 8
P: 0
D: 0
Q: 2
Constant: NaN
AR: {}
SAR: {}
MA: {NaN NaN} at lags [1 2]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1×0]
Variance: NaN
Выходные данные показывают указанное распределение инноваций.
После того как модель существует в рабочей области, ее можно изменить Distribution с использованием точечной нотации. Нельзя изменять поля Distribution непосредственно структура данных. Например, Mdl.Distribution.DoF = 8 не является допустимым назначением. Однако можно получить отдельные поля.
Начните с модели MA (2):
Mdl = arima(0,0,2);
Чтобы изменить распределение инновационного процесса в существующей модели на распределение Стьюдента с неизвестными степенями свободы, введите:
Mdl.Distribution = 't'Mdl =
arima with properties:
Description: "ARIMA(0,0,2) Model (t Distribution)"
Distribution: Name = "t", DoF = NaN
P: 0
D: 0
Q: 2
Constant: NaN
AR: {}
SAR: {}
MA: {NaN NaN} at lags [1 2]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1×0]
Variance: NaN
Чтобы изменить распределение на распределение t с известными степенями свободы, используйте структуру данных:
Mdl.Distribution = struct('Name','t','DoF',8)
Mdl =
arima with properties:
Description: "ARIMA(0,0,2) Model (t Distribution)"
Distribution: Name = "t", DoF = 8
P: 0
D: 0
Q: 2
Constant: NaN
AR: {}
SAR: {}
MA: {NaN NaN} at lags [1 2]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1×0]
Variance: NaN
Вы можете получить индивидуальный Distribution поля:
DistributionDoF = Mdl.Distribution.DoF
DistributionDoF = 8
Чтобы изменить распределение инноваций со Стьюдента на гауссово распределение, введите:
Mdl.Distribution = 'Gaussian'Mdl =
arima with properties:
Description: "ARIMA(0,0,2) Model (Gaussian Distribution)"
Distribution: Name = "Gaussian"
P: 0
D: 0
Q: 2
Constant: NaN
AR: {}
SAR: {}
MA: {NaN NaN} at lags [1 2]
SMA: {}
Seasonality: 0
Beta: [1×0]
Variance: NaN
Name поле обновляется до 'Gaussian', и больше нет DoF поле.
[1] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.
[2] Wold, H. Исследование в анализе стационарных временных рядов. Уппсала, Швеция: Альмквист и Викселл, 1938.