Загрузите набор данных о валютном курсе Deutschmark/British pound.

load Data_MarkPound

Преобразуйте цены в возвраты.

returns = price2ret(Data);

Вычислите отклонения возвращаемого ряда.

res = returns - mean(returns);

Проверьте гипотезу о том, что остаточный ряд не является автокоррелированным, используя количество лагов по умолчанию.

h1 = lbqtest(res)

h1 = logical
   0

h1 = 0 указывает, что недостаточно доказательств для отклонения нулевой гипотезы о том, что остатки возвратов не автокоррелированы.

Проверьте гипотезу о наличии значительных эффектов ARCH, используя количество лагов по умолчанию [3].

h2 = lbqtest(res.^2)

h2 = logical
   1

h2 = 1 указывает на наличие значительных эффектов ARCH в остатках результатов.

Тест на остаточную гетероскедастичность с использованием archtest и количество лагов по умолчанию.

h3 = archtest(res)

h3 = logical
   1

h3 = 1 указывает, что нулевая гипотеза об отсутствии остаточной гетероскедастичности должна быть отвергнута в пользу модели ARCH (1). Этот результат соответствует h2.

Выполните несколько Q-тестов Ljung-Box для автокорреляции, включив различные задержки в статистику теста. Набор данных представляет собой временные ряды из 57 последовательных дней перегрузок из подземного бензинового резервуара в Колорадо [2]. То есть текущее превышение ($${}_{\mathrm{yt}}$$) представляет точность измерения количества топлива:

Загрузите набор данных.

load('Data_Overshort')
y = Data;
T = length(y); % Sample size

figure
plot(y)
title('Overshorts for 57 Consecutive Days')

lbqtest подходит для ряда с постоянным средним значением. Так как ряд, по-видимому, колеблется вокруг постоянного среднего, нет необходимости преобразовывать данные.

Вычислите остатки.

res = y - mean(y);

Оцените, являются ли остатки автокоррелированными. Включите в расчет статистики теста 5, 10 и 15 лагов.

[h,pValue] = lbqtest(res,'lags',[5,10,15])

h = 1x3 logical array

   1   1   1

pValue = 1×3

    0.0016    0.0007    0.0013

h и pValue - векторы, содержащие три элемента, соответствующих тестам на каждом из трех лагов. Первый элемент каждого выходного сигнала соответствует испытанию на запаздывании 5, второй элемент соответствует испытанию на запаздывании 10, а третий элемент соответствует испытанию на запаздывании 15.

h = 1 указывает на отклонение нулевой гипотезы о том, что остатки не являются автокоррелированными. pValue указывает силу, при которой тест отклоняет нулевую гипотезу. Поскольку все три $$\mathrm{p-значения}$$ меньше 0,01, существуют убедительные доказательства того, что отрицается нулевая гипотеза о том, что остатки не являются автокоррелированными.

Выведите остатки из оценочной модели ARIMA и оцените, проявляют ли остатки автокорреляцию, используя lbqtest.

Загрузка набора данных австралийского индекса потребительских цен (ИПЦ). Временной ряд (cpi) представляет собой журнал квартальных ИПЦ с 1972 по 1991 год. Удалите тренд в серии, взяв первую разницу.

load Data_JAustralian
cpi = DataTable.PAU;
T = length(cpi);
dCPI = diff(cpi);

figure
plot(dates(2:T),dCPI)
title('Differenced Australian CPI')
xlabel('Year')
ylabel('CPI growth rate')
datetick
axis tight

Разностный ряд выглядит неподвижным.

Поместите модель AR (1) в ряд, а затем выведите остатки из расчетной модели.

Mdl = arima(1,0,0);
EstMdl = estimate(Mdl,dCPI);

 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                  Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                _________    _____________    __________    __________

    Constant     0.015564      0.0028766        5.4106      6.2808e-08
    AR{1}         0.29646        0.11048        2.6834       0.0072876
    Variance    0.0001038     1.1932e-05        8.6994      3.3362e-18

res = infer(EstMdl,dCPI);
stdRes = res/sqrt(EstMdl.Variance); % Standardized residuals

Оцените, являются ли остатки автокоррелированными, проводя Q-тест Ljung-Box. Стандартизированные остатки происходят из оценочной модели (EstMdl), содержащий параметры. При использовании таких остатков рекомендуется делать следующее:

lags = 10;         
dof  = lags - 1; % One autoregressive parameter

[h,pValue] = lbqtest(stdRes,'Lags',lags,'DOF',dof)

h = logical
   1

pValue = 0.0119

pValue = 0.0130 предполагает, что существует значительная автокорреляция в остатках на уровне 5%.