Тренд - стационарные и различия - стационарные процессы

Нестационарные процессы

Стационарный стохастический процесс является строительным блоком многих эконометрических моделей временных рядов. Однако многие наблюдаемые временные ряды имеют эмпирические особенности, которые несовместимы с допущениями стационарности. Например, на следующем графике показан квартальный ВВП США, измеренный с 1947 по 2005 год. В этой серии прослеживается весьма очевидная тенденция к росту, которую следует включить в любую модель процесса.

load Data_GDP
plot(Data)
xlim([0,234])
title('Quarterly U.S. GDP, 1947-2005')

Figure contains an axes. The axes with title Quarterly U.S. GDP, 1947-2005 contains an object of type line.

Трендовое среднее - распространенное нарушение стационарности. Есть две популярные модели для нестационарных серий со средним трендовым значением.

Тренд стационарный: средний тренд детерминирован. Как только тренд оценивается и удаляется из данных, остаточный ряд представляет собой стационарный стохастический процесс.
Разница стационарная: средняя тенденция является стохастической. Дифференцирование времени серии D дает стационарный стохастический процесс.

Различие между детерминированной и стохастической тенденцией имеет важные последствия для долгосрочного поведения процесса:

Временные ряды с детерминированным трендом всегда возвращаются к тренду в долгосрочной перспективе (последствия шоков в конечном итоге устраняются). Интервалы прогноза имеют постоянную ширину.
Временные ряды со стохастическим трендом никогда не восстанавливаются после потрясений в системе (последствия потрясений являются постоянными). Интервалы прогноза со временем увеличиваются.

К сожалению, для любого конечного объема данных существует детерминированная и стохастическая тенденция, которая одинаково хорошо подходит к данным (Hamilton, 1994). Модульные корневые тесты являются инструментом для оценки наличия стохастической тенденции в наблюдаемой серии.

Тренд стационарный

Вы можете написать тренд-стационарный процесс, _yt, как

$_{yt} =_{} {мкт}_{} +$ αт,

где:

$_{мкт}$ - детерминированный средний тренд.
$_{δ t}$ - стационарный стохастический процесс со средним нулем.

В некоторых случаях эта тенденция представляет основной интерес. Методы разложения временных рядов сосредоточены на разложении $_{мкт}$ на различные источники тренда (например, компонент светского тренда и сезонный компонент). Можно разложить ряды непараметрически с помощью фильтров (скользящие средние) или параметрически с помощью методов регрессии.

Учитывая оценку ${\overset{}{λ}}_{^}$ t, можно исследовать остаточный $_{} {\overset{}{seriesyt}}_{-}$ λ ^ t для автокорреляции и при необходимости смоделировать его с помощью стационарной стохастической модели процесса.

Разница стационарная

В подходе моделирования Бокса-Дженкинса [2] нестационарные временные ряды различаются до достижения стационарности. Вы можете написать разностно-стационарный процесс, _yt, как

$^{}_{ΔDyt} =_{}$

где:

$^{ΔD} {= (1}^{-}$ L) D - дифференциальный оператор Dth-степени.
$start(L) = (_{1} +_{}^{ψ1L} +$ ψ2L2 +...) - многочлен оператора запаздывания бесконечной степени с абсолютно суммируемыми коэффициентами и всеми корнями, лежащими вне единичной окружности.
$_{δ t}$ - это некоррелированный инновационный процесс со средним нулем.

Временные ряды, которые можно сделать неподвижными путем дифференцирования, называются интегрированными процессами. В частности, когда D-различия требуются для того, чтобы сделать ряд неподвижным, этот ряд, как говорят, интегрирован с порядком D, обозначенным I (D). Часто говорят, что процессы с D ≥ 1 имеют единичный корень.

Ссылки

[1] Гамильтон, Дж. Д. Анализ временных рядов. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 1994.

[2] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.

Документация