Маколей и измененная продолжительность измеряют чувствительность цены облигации к изменениям уровня процентных ставок. Выпуклость измеряет изменение длительности для небольших сдвигов кривой доходности и, таким образом, измеряет чувствительность облигации к цене второго порядка. Обе эти меры позволяют оценить уязвимость стоимости облигационного портфеля к изменению уровня процентных ставок.
В качестве альтернативы аналитики могут использовать длительность и выпуклость для построения портфеля облигаций, который частично хеджируется от небольших сдвигов в структуре терминов. Если объединить облигации в портфеле, срок действия которого равен нулю, портфель в некоторой степени изолируется от изменения процентной ставки. Если выпуклость портфеля также равна нулю, эта изоляция еще лучше. Однако, поскольку хеджирование стоит денег или снижает ожидаемую доходность, необходимо знать, насколько защита является результатом только продолжительности хеджирования по сравнению с хеджированием как продолжительности, так и выпуклости.
В этом примере демонстрируется способ анализа относительной важности продолжительности и выпуклости портфеля облигаций с использованием некоторых из совместимых с SIA функций облигаций в программном обеспечении Financial Toolbox™. Используя длительность, он строит аппроксимацию первого порядка изменения цены портфеля на уровень сдвига процентных ставок. Затем, используя выпуклость, вычисляет аппроксимацию второго порядка. Наконец, в нем сравниваются две аппроксимации с истинным изменением цены в результате изменения кривой доходности.
Определите три облигации, используя значения для даты расчета, даты погашения, номинальной стоимости и ставки купона. Для простоты примите значения по умолчанию для периодичности купонных выплат (полугодовой), правила оплаты на конец месяца (правило действует) и базы подсчета дней (факт/факт). Кроме того, синхронизируйте структуру купонных выплат со сроком погашения (без нечетных дат первого или последнего купона). Любые входные данные, для которых принимаются значения по умолчанию, устанавливаются в пустые матрицы ([]) в качестве местозаполнителей, где это уместно.
Settle = '19-Aug-1999'; Maturity = ['17-Jun-2010'; '09-Jun-2015'; '14-May-2025']; Face = [100; 100; 1000]; CouponRate = [0.07; 0.06; 0.045];
Также укажите информацию кривой доходности.
Yields = [0.05; 0.06; 0.065];
Используйте функции Financial Toolbox для расчета цены, измененной продолжительности в годах и выпуклости в годах каждой облигации.
Истинная цена (чистая) цена плюс начисленные проценты.
[CleanPrice, AccruedInterest] = bndprice(Yields, CouponRate,... Settle, Maturity, 2, 0, [], [], [], [], [], Face); Durations = bnddury(Yields, CouponRate, Settle, Maturity, 2, 0,... [], [], [], [], [], Face); Convexities = bndconvy(Yields, CouponRate, Settle, Maturity, 2, 0,... [], [], [], [], [], Face); Prices = CleanPrice + AccruedInterest;
Выберите гипотетическую сумму для сдвига кривой доходности (здесь 0,2 процентного пункта или 20 базисных пунктов).
dY = 0.002;
Взвешивайте три облигации поровну и рассчитайте фактическое количество каждой облигации в портфеле, общая стоимость которой составляет 100 000 долл. США.
PortfolioPrice = 100000; PortfolioWeights = ones(3,1)/3; PortfolioAmounts = PortfolioPrice * PortfolioWeights ./ Prices;
Рассчитайте измененную продолжительность и выпуклость портфеля. Длительность или выпуклость портфеля - это средневзвешенное значение длительности или выпуклости отдельных облигаций. Вычислите приближение процентного изменения цены к первому и второму порядку как функцию изменения уровня процентных ставок.
PortfolioDuration = PortfolioWeights' * Durations;
PortfolioConvexity = PortfolioWeights' * Convexities;
PercentApprox1 = -PortfolioDuration * dY * 100;
PercentApprox2 = PercentApprox1 + ...
PortfolioConvexity*dY^2*100/2.0;
Оцените новую цену портфеля с использованием двух оценок изменения цены в процентах.
PriceApprox1 = PortfolioPrice + ... PercentApprox1 * PortfolioPrice/100; PriceApprox2 = PortfolioPrice + ... PercentApprox2 * PortfolioPrice/100;
Вычислите истинную новую цену портфеля путем изменения кривой доходности.
[CleanPrice, AccruedInterest] = bndprice(Yields + dY,... CouponRate, Settle, Maturity, 2, 0, [], [], [], [], [],... Face); NewPrice = PortfolioAmounts' * (CleanPrice + AccruedInterest);
Сравните результаты. Результаты анализа следующие:
Первоначальная цена портфеля составляла 100 000 долларов.
Кривая доходности сдвинулась вверх на 0,2 процентного пункта или 20 базисных пунктов.
Длительность и выпуклость портфеля составляют 10,3181 и 157,6346 соответственно. Они необходимы для портфеля облигаций для продолжительности хеджирования и выпуклости.
Аппроксимация первого порядка, основанная на измененной продолжительности, предсказывает новую цену портфеля (PriceApprox1), что составляет 97 936,37 долл. США.
Аппроксимация второго порядка, основанная на продолжительности и выпуклости, предсказывает новую цену портфеля (PriceApprox2), что составляет 97 967,90 долл. США.
Истинная новая цена портфеля (NewPrice) для этого сдвига кривой доходности составляет 97 967,51 долл. США.
Оценка с использованием длительности и выпуклости является хорошей (по крайней мере, для этого довольно небольшого сдвига кривой доходности), но лишь немного лучше, чем оценка с использованием только длительности. Важность выпуклости возрастает по мере увеличения величины сдвига кривой доходности. Попробуйте увеличить сдвиг (dY), чтобы увидеть этот эффект.
Формулы аппроксимации в этом примере учитывают только параллельные сдвиги в структуре членов, потому что обе формулы являются функциями dY, изменение урожайности. Формулы не являются хорошо определенными, если каждый выход не изменяется на одну и ту же величину. На фактических финансовых рынках изменения уровня кривой доходности обычно объясняют значительную часть движения цен облигаций. Однако другие изменения кривой текучести, такие как наклон, также могут быть важными и здесь не фиксируются. Кроме того, обе формулы дают локальные приближения, точность которых ухудшается как dY увеличение размеров. Вы можете продемонстрировать это, запустив программу с большими значениями dY.
blsdelta | blsgamma | blsprice | blsvega | bndconvy | bnddury | bndkrdur | bndprice | zbtprice | zero2disc | zero2fwd