Модель ценообразования на капитальные активы (CAPM) является маститым, но часто ошибочным инструментом для характеристики противоречий между ценами на активы и рыночными ценами. Хотя в реализации и интерпретации CAPM возникает много проблем, одной из проблем, с которой сталкиваются практики, является оценка коэффициентов CAPM с неполными данными о цене акций.
В этом примере показано, как использовать отсутствующие функции регрессии данных для оценки коэффициентов CAPM. Можно запустить пример непосредственно с помощью CAPMdemo.m расположен по адресу matlabroot/toolbox/finance/findemos.
Учитывая множество предположений, которые можно найти в ссылках (см. Sharpe [11], Lintner [6], Jarrow [5] и Sharpe, et. al. [12]), CAPM заключает, что доходность активов имеет линейную связь с доходностью рынка. В частности, учитывая возврат всех акций, которые составляют рынок, обозначенный как M, и возврат безрискового актива, обозначенного как C, CAPM заявляет, что возврат каждого актива Ri на рынке имеет ожидаемую форму
(E [M] − C)
для активов i = 1,..., n, где βi - параметр, определяющий степень соответствия между данным активом и базовым рынком. Другими словами, ожидаемая доходность каждого актива равна доходности безрискового актива плюс скорректированная на риск ожидаемая рыночная доходность за вычетом безрисковой доходности актива. Совокупность параметров β1,. .., βn называется asset betas.
Бета-версия актива имеет вид
var (M),
которое представляет собой отношение ковариации между доходностью активов и рыночной доходностью, деленное на дисперсию рыночной доходности. Бета - волатильность цен финансового инструмента относительно волатильности цен рынка или индекса в целом. Бета-версия обычно используется в отношении акций. Инструмент с высоким уровнем бета-тестирования более рискованный, чем инструмент с низким уровнем бета-тестирования. Если актив имеет бета = 1, считается, что актив перемещается вместе с рынком; если актив имеет бета > 1, считается, что актив является более волатильным, чем рынок. И наоборот, если актив имеет бета-версию < 1, считается, что он менее волатилен, чем рынок.
Стандартная модель CAPM представляет собой линейную модель с дополнительными параметрами для каждого актива для характеристики остаточных ошибок. Для каждого из n активов с m выборок наблюдаемой доходности активов Rk, i, рыночной доходности Mk и безрисковой доходности активов Ck модель оценки имеет вид
− Ck) + Vk, i
для выборок k = 1,..., m и активов i = 1,..., n, где αi - параметр, задающий несистематический возврат актива, βi - бета актива, а Vk, i - остаточная ошибка для каждого актива со связанной случайной переменной Vi.
Совокупность параметров α1, ..., αn называется alphas актива. Строгая форма CAPM указывает, что alphas должны быть равны нулю и что отклонения от нуля являются результатом временного дисбаланса. Однако на практике активы могут иметь ненулевые альфасы, где значительная часть активного управления инвестициями посвящена поиску активов с эксплуатируемыми ненулевыми альфасами.
Для обеспечения возможности ненулевых alphas модель оценки обычно стремится оценить alphas и выполнить тесты для определения, являются ли alphas статистически равными нулю.
Предполагается, что остаточные ошибки Vi имеют моменты
= 0
и
Sij
для активов i, j = 1 ,..., n, где параметры S11, ..., Snn называются остаточными или несистематическими дисперсиями/ковариациями.
Квадратный корень остаточной дисперсии каждого актива, например, sqrt (Sii) для i = 1 ,..., n, считается остаточным или несистематическим риском актива, поскольку он характеризует остаточное изменение цен актива, которое не объясняется изменениями рыночных цен.
Хотя betas можно оценить для компаний с достаточно длинной историей доходности активов, трудно оценить betas для недавних IPO. Однако, если существует совокупность достаточно наблюдаемых компаний, которые, как можно ожидать, будут иметь некоторую степень корреляции с движениями цен акций новой компании, то есть компаний в той же отрасли, что и новая компания, можно получить вмененные оценки для новых бетов компании с помощью процедур регрессии отсутствующих данных.
Чтобы проиллюстрировать, как использовать процедуры регрессии отсутствующих данных, оцените betas для 12 технологических акций, где один запас (GOOG) является IPO.
Загрузка дат, итоговых возвращений и символов бегущей строки для 12 запасов из MAT-файла CAPMuniverse.
load CAPMuniverse whos Assets Data Dates
Name Size Bytes Class Attributes Assets 1x14 1568 cell Data 1471x14 164752 double Dates 1471x1 11768 double
Активы в модели имеют следующие символы, где последние две серии являются прокси для рынка и безрискового актива:
Assets(1:7) Assets(8:14)
ans = 'AAPL' 'AMZN' 'CSCO' 'DELL' 'EBAY' 'GOOG' 'HPQ' ans = 'IBM' 'INTC' 'MSFT' 'ORCL' 'YHOO' 'MARKET' 'CASH'
Данные охватывают период с 1 января 2000 года по 7 ноября 2005 года с ежедневной общей доходностью. Две акции в этой вселенной имеют отсутствующие значения, которые представлены NaN. Одна из двух акций имела IPO в течение этого периода и, таким образом, имеет значительно меньше данных, чем другие акции.
Вычислите отдельные регрессии для каждого запаса, где запасы с отсутствующими данными имеют оценки, которые отражают их уменьшенную наблюдаемость.
[NumSamples, NumSeries] = size(Data); NumAssets = NumSeries - 2; StartDate = Dates(1); EndDate = Dates(end); fprintf(1,'Separate regressions with '); fprintf(1,'daily total return data from %s to %s ...\n', ... datestr(StartDate,1),datestr(EndDate,1)); fprintf(1,' %4s %-20s %-20s %-20s\n','','Alpha','Beta','Sigma'); fprintf(1,' ---- -------------------- '); fprintf(1,'-------------------- --------------------\n'); for i = 1:NumAssets % Set up separate asset data and design matrices TestData = zeros(NumSamples,1); TestDesign = zeros(NumSamples,2); TestData(:) = Data(:,i) - Data(:,14); TestDesign(:,1) = 1.0; TestDesign(:,2) = Data(:,13) - Data(:,14); % Estimate CAPM for each asset separately [Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign); % Estimate ideal standard errors for covariance parameters [StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, ... Covar, 'fisher'); % Estimate sample standard errors for model parameters StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar, 'hessian'); % Set up results for output Alpha = Param(1); Beta = Param(2); Sigma = sqrt(Covar); StdAlpha = StdParam(1); StdBeta = StdParam(2); StdSigma = sqrt(StdCovar); % Display estimates fprintf(' %4s %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f)\n', ... Assets{i},Alpha(1),abs(Alpha(1)/StdAlpha(1)), ... Beta(1),abs(Beta(1)/StdBeta(1)),Sigma(1),StdSigma(1)); end
Этот фрагмент кода создает следующую таблицу.
Separate regressions with daily total return data from 03-Jan-2000
to 07-Nov-2005 ...
Alpha Beta Sigma
-------------------- -------------------- --------------------
AAPL 0.0012 ( 1.3882) 1.2294 ( 17.1839) 0.0322 ( 0.0062)
AMZN 0.0006 ( 0.5326) 1.3661 ( 13.6579) 0.0449 ( 0.0086)
CSCO -0.0002 ( 0.2878) 1.5653 ( 23.6085) 0.0298 ( 0.0057)
DELL -0.0000 ( 0.0368) 1.2594 ( 22.2164) 0.0255 ( 0.0049)
EBAY 0.0014 ( 1.4326) 1.3441 ( 16.0732) 0.0376 ( 0.0072)
GOOG 0.0046 ( 3.2107) 0.3742 ( 1.7328) 0.0252 ( 0.0071)
HPQ 0.0001 ( 0.1747) 1.3745 ( 24.2390) 0.0255 ( 0.0049)
IBM -0.0000 ( 0.0312) 1.0807 ( 28.7576) 0.0169 ( 0.0032)
INTC 0.0001 ( 0.1608) 1.6002 ( 27.3684) 0.0263 ( 0.0050)
MSFT -0.0002 ( 0.4871) 1.1765 ( 27.4554) 0.0193 ( 0.0037)
ORCL 0.0000 ( 0.0389) 1.5010 ( 21.1855) 0.0319 ( 0.0061)
YHOO 0.0001 ( 0.1282) 1.6543 ( 19.3838) 0.0384 ( 0.0074)
Alpha содержит альфа-оценки для каждого запаса, которые близки к нулю, как и ожидалось. Кроме того, t-статистика (которая заключена в скобки) обычно отвергает гипотезу о том, что альфасы ненулевые на уровне значимости 99,5%.
Beta столбец содержит бета-оценки для каждого запаса, которые также содержат t-статистику в скобках. Для всех акций, кроме GOOG, гипотеза о том, что беты ненулевые, принимается на уровне значимости 99,5%. Однако, похоже, что GOOG не имеет достаточно данных для получения значимой оценки для бета-версии, поскольку его t-статистика подразумевает отказ от гипотезы ненулевой бета-версии.
Sigma столбец содержит остаточные стандартные отклонения, то есть оценки несистематических рисков. Вместо t-статистики связанные стандартные ошибки для остаточных стандартных отклонений заключены в круглые скобки.
Чтобы оценить акции для всех 12 акций, создайте модель совместной регрессии, которая сгруппирует все 12 акций в рамках одной конструкции. (Поскольку каждая заготовка имеет одинаковую матрицу конструкции, эта модель на самом деле является примером, казалось бы, несвязанной регрессии.) Процедура оценки параметров модели: ecmmvnrmle, и подпрограмма для оценки стандартных ошибок ecmmvnrstd.
Поскольку GOOG имеет значительное количество отсутствующих значений, прямое использование отсутствующей подпрограммы данных ecmmvnrmle для схождения требуется 482 итерации. Расчет может занять много времени. Для краткости оценки параметров и ковариаций после первых 480 итераций содержатся в MAT-файле и используются в качестве начальных оценок для вычисления betas запаса.
load CAPMgroupparam whos Param0 Covar0
Name Size Bytes Class Attributes Covar0 12x12 1152 double Param0 24x1 192 double
Теперь оцените параметры сбора 12 акций.
fprintf(1,'\n'); fprintf(1,'Grouped regression with '); fprintf(1,'daily total return data from %s to %s ...\n', ... datestr(StartDate,1),datestr(EndDate,1)); fprintf(1,' %4s %-20s %-20s %-20s\n','','Alpha','Beta','Sigma'); fprintf(1,' ---- -------------------- '); fprintf(1,'-------------------- --------------------\n'); NumParams = 2 * NumAssets; % Set up grouped asset data and design matrices TestData = zeros(NumSamples, NumAssets); TestDesign = cell(NumSamples, 1); Design = zeros(NumAssets, NumParams); for k = 1:NumSamples for i = 1:NumAssets TestData(k,i) = Data(k,i) - Data(k,14); Design(i,2*i - 1) = 1.0; Design(i,2*i) = Data(k,13) - Data(k,14); end TestDesign{k} = Design; end % Estimate CAPM for all assets together with initial parameter % estimates [Param, Covar] = ecmmvnrmle(TestData, TestDesign, [], [], [],... Param0, Covar0); % Estimate ideal standard errors for covariance parameters [StdParam, StdCovar] = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar,... 'fisher'); % Estimate sample standard errors for model parameters StdParam = ecmmvnrstd(TestData, TestDesign, Covar, 'hessian'); % Set up results for output Alpha = Param(1:2:end-1); Beta = Param(2:2:end); Sigma = sqrt(diag(Covar)); StdAlpha = StdParam(1:2:end-1); StdBeta = StdParam(2:2:end); StdSigma = sqrt(diag(StdCovar)); % Display estimates for i = 1:NumAssets fprintf(' %4s %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f) %9.4f (%8.4f)\n', ... Assets{i},Alpha(i),abs(Alpha(i)/StdAlpha(i)), ... Beta(i),abs(Beta(i)/StdBeta(i)),Sigma(i),StdSigma(i)); end
Этот фрагмент кода создает следующую таблицу.
Grouped regression with daily total return data from 03-Jan-2000
to 07-Nov-2005 ...
Alpha Beta Sigma
---------------------- ----------------------------------------
AAPL 0.0012 ( 1.3882) 1.2294 ( 17.1839) 0.0322 ( 0.0062)
AMZN 0.0007 ( 0.6086) 1.3673 ( 13.6427) 0.0450 ( 0.0086)
CSCO -0.0002 ( 0.2878) 1.5653 ( 23.6085) 0.0298 ( 0.0057)
DELL -0.0000 ( 0.0368) 1.2594 ( 22.2164) 0.0255 ( 0.0049)
EBAY 0.0014 ( 1.4326) 1.3441 ( 16.0732) 0.0376 ( 0.0072)
GOOG 0.0041 ( 2.8907) 0.6173 ( 3.1100) 0.0337 ( 0.0065)
HPQ 0.0001 ( 0.1747) 1.3745 ( 24.2390) 0.0255 ( 0.0049)
IBM -0.0000 ( 0.0312) 1.0807 ( 28.7576) 0.0169 ( 0.0032)
INTC 0.0001 ( 0.1608) 1.6002 ( 27.3684) 0.0263 ( 0.0050)
MSFT -0.0002 ( 0.4871) 1.1765 ( 27.4554) 0.0193 ( 0.0037)
ORCL 0.0000 ( 0.0389) 1.5010 ( 21.1855) 0.0319 ( 0.0061)
YHOO 0.0001 ( 0.1282) 1.6543 ( 19.3838) 0.0384 ( 0.0074)
Хотя результаты для запасов полных данных одинаковы, бета-оценки для AMZN и GOOG (два запаса с отсутствующими значениями) отличаются от оценок, полученных для каждого запаса отдельно. Поскольку AMZN имеет мало отсутствующих значений, различия в оценках невелики. Однако с GOOG различия более выражены.
T-статистика для бета-оценки GOOG в настоящее время значима на уровне 99,5% значимости. Однако t-статистика для бета-оценок основана на стандартных ошибках из выборки Гессена, которая, в отличие от информационной матрицы Фишера, объясняет повышенную неопределенность в оценке из-за отсутствующих значений. Если t-статистика получена из более оптимистичной информационной матрицы Фишера, t-статистика для GOOG равна 8.25. Таким образом, несмотря на увеличение неопределенности из-за отсутствия данных, GOOG, тем не менее, имеет статистически значимую оценку для бета.
Наконец, обратите внимание, что бета-оценка для GOOG 0.62 - значение, которое может потребовать некоторого объяснения. Хотя рынок был волатильным в течение этого периода с боковыми изменениями цен, GOOG неуклонно рос в стоимости. Таким образом, она менее тесно связана с рынком, подразумевая, что она менее волатильна, чем рынок (бета < 1).
[1] Кейнс, Питер Э. Линейные стохастические системы. John Wiley & Sons, Inc., 1988.
[2] Крамер, Харальд. Математические методы статистики. Princeton University Press, 1946.
[3] Демпстер, А.П., Н.М. Лэрд и окружной прокурор Рубин. Журнал Королевского статистического общества, серия B. Vol. 39, № 1, 1977, стр. 1-37 .
[4] Грин, Уильям Х. Эконометрический анализ. 5-е изд., Pearson Education, Inc., 2003.
[5] Джарроу, Р.А. Теория финансов. Prentice-Hall, Inc., 1988.
[6] Линтнер, Дж. «Оценка рисковых активов и выбор рискованных инвестиций в акции». Обзор экономики и статистики. т. 14, 1965, стр. 13-37.
[7] Литтл, Родерик Дж. А и Дональд Б. Рубин. Статистический анализ с отсутствующими данными. 2-е изд., John Wiley & Sons, Inc., 2002.
[8] Мэн, Сяо-Ли и Дональд Б. Рубин. «Оценка максимального правдоподобия с помощью алгоритма ECM». Биометрика. т. 80, № 2, 1993, стр. 267-278.
[9] Секстон, Джо и Андерс Райг Свенсен. «Алгоритмы ECM, сходящиеся со скоростью EM». Биометрика. т. 87, № 3, 2000, стр. 651-662.
[10] Шафер, Дж. Л. Анализ неполных многомерных данных. Chapman & Hall/CRC, 1997.
[11] Шарп, В. Ф. «Цены на капитальные активы: теория рыночного равновесия в условиях риска». Финансовый журнал. Том 19, 1964, стр. 425-442.
[12] Шарп, У. Ф., Г. Дж. Александер и Дж. В. Бейли. Инвестиции. 6-е изд., Прентис-Холл, Инк., 1999.
convert2sur | ecmlsrmle | ecmlsrobj | ecmmvnrfish | ecmmvnrfish | ecmmvnrmle | ecmmvnrobj | ecmmvnrstd | ecmmvnrstd | ecmnfish | ecmnhess | ecmninit | ecmnmle | ecmnobj | ecmnstd | mvnrfish | mvnrmle | mvnrobj | mvnrstd