Система решения нелинейных уравнений
Решатель нелинейной системы
Решает проблему, указанную в
F (x) = 0
для x, где F (x) - функция, возвращающая значение вектора.
x - вектор или матрица; см. Аргументы матрицы.
x = fsolve(fun,x0,options)options. Использовать optimoptions для установки этих параметров.
В этом примере показано, как решить два нелинейных уравнения в двух переменных. Уравнения:
Преобразуйте уравнения в форму.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохранить этот код как файл с именем root2d.m на пути MATLAB ®.
Решить систему уравнений, начиная с точки [0,0].
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0)
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
x =
0.3532 0.6061
Проверьте процесс решения для нелинейной системы.
Задайте для опций отсутствие отображения и функции графика, отображающей оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0 при итерации алгоритма.
options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);
Уравнения в нелинейной системе:
Преобразуйте уравнения в форму.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохранить этот код как файл с именем root2d.m на пути MATLAB ®.
Решение нелинейной системы начиная с точки [0,0] и наблюдать за процессом решения.
fun = @root2d; x0 = [0,0]; x = fsolve(fun,x0,options)
x =
0.3532 0.6061
Создание структуры проблем для fsolve и решить проблему.
Решите ту же задачу, что и в решении с опциями Nondefault, но сформулируйте задачу с помощью структуры проблемы.
Задайте опции для задачи, чтобы не было отображения и функции графика, которая отображает оптимальность первого порядка, которая должна сходиться к 0 по мере итерации алгоритма.
problem.options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);
Уравнения в нелинейной системе:
Преобразуйте уравнения в форму.
Запишите функцию, которая вычисляет левую сторону этих двух уравнений.
function F = root2d(x)
F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;
Сохранить этот код как файл с именем root2d.m на пути MATLAB ®.
Создайте оставшиеся поля в структуре проблемы.
problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = 'fsolve';
Решите проблему.
x = fsolve(problem)
x =
0.3532 0.6061
Этот пример возвращает итеративное отображение, показывающее процесс решения для системы двух уравнений и двух неизвестных
e-x2.
Перепишите уравнения в виде 0:
2x2-e-x2 = 0.
Начните поиск решения по адресу x0 = [-5 -5].
Сначала запишите функцию, которая вычисляет F, значения уравнений при x.
F = @(x) [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];Создание начальной точки x0.
x0 = [-5;-5];
Задайте параметры для возврата итеративного отображения.
options = optimoptions('fsolve','Display','iter');
Решите уравнения.
[x,fval] = fsolve(F,x0,options)
Norm of First-order Trust-region
Iteration Func-count f(x) step optimality radius
0 3 47071.2 2.29e+04 1
1 6 12003.4 1 5.75e+03 1
2 9 3147.02 1 1.47e+03 1
3 12 854.452 1 388 1
4 15 239.527 1 107 1
5 18 67.0412 1 30.8 1
6 21 16.7042 1 9.05 1
7 24 2.42788 1 2.26 1
8 27 0.032658 0.759511 0.206 2.5
9 30 7.03149e-06 0.111927 0.00294 2.5
10 33 3.29525e-13 0.00169132 6.36e-07 2.5
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
x = 2×1
0.5671
0.5671
fval = 2×1
10-6 ×
-0.4059
-0.4059
Итеративный дисплей показывает f(x), который является квадратом нормы функции F(x). По мере выполнения итераций это значение уменьшается почти до нуля. Измерение оптимальности первого порядка также уменьшается почти до нуля по мере выполнения итераций. Эти записи показывают сходимость итераций к решению. Значения других записей см. в разделе Итерационное отображение.
fval выходные данные дают значение функции F(x), которая должна быть равна нулю при решении (в пределах FunctionTolerance допуск).
Найти матрицу , удовлетворяющую требованиям
[1234],
начиная с точки x0 = [1,1;1,1]. Создание анонимной функции, которая вычисляет матричное уравнение и создает точку x0.
fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4]; x0 = ones(2);
Установите параметры без отображения.
options = optimoptions('fsolve','Display','off');
Осмотрите fsolve результаты для просмотра качества решения и процесса.
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(fun,x0,options)
x = 2×2
-0.1291 0.8602
1.2903 1.1612
fval = 2×2
10-9 ×
-0.1618 0.0778
0.1160 -0.0474
exitflag = 1
output = struct with fields:
iterations: 6
funcCount: 35
algorithm: 'trust-region-dogleg'
firstorderopt: 2.4095e-10
message: '...'
Значение флага выхода 1 указывает, что решение является надежным. Чтобы проверить это вручную, вычислите остаток (сумму квадратов fval), чтобы увидеть, насколько он близок к нулю.
sum(sum(fval.*fval))
ans = 4.7957e-20
Этот небольшой остаток подтверждает, что x является решением.
Вы можете видеть в output структурировать, сколько итераций и оценок функций fsolve выполняется для поиска решения.
Решаемая функция должна быть непрерывной.
При успешном выполнении, fsolve дает только один корень.
Метод trust-region dogleg по умолчанию может использоваться только в том случае, если система уравнений квадратная, т.е. число уравнений равно числу неизвестных. Для метода Левенберга - Марквардта система уравнений не обязательно должна быть квадратной.
Для больших проблем, т.е. проблем с тысячами переменных или более, сохраните память (и, возможно, сэкономьте время), установив Algorithm опция для 'trust-region' и SubproblemAlgorithm опция для 'cg'.
Методы Левенберга-Марквардта и области доверия основаны на нелинейных алгоритмах наименьших квадратов, также используемых в lsqnonlin. Используйте один из этих методов, если система может не иметь нуля. Алгоритм по-прежнему возвращает точку, где остаток мал. Однако, если якобиан системы является единственным, алгоритм может сходиться к точке, которая не является решением системы уравнений (см. Ограничения).
По умолчанию fsolve выбирает алгоритм dogleg области доверия. Алгоритм является вариантом метода доглега Пауэлла, описанного в [8]. По своей природе он аналогичен алгоритму, реализованному в [7]. См. раздел Алгоритм Trust-Region-Dogleg.
Алгоритм области доверия является методом области доверия подпространства и основан на способе Ньютона с внутренним отражением, описанном в [1] и [2]. Каждая итерация включает в себя приблизительное решение большой линейной системы методом предварительно кондиционированных сопряженных градиентов (PCG). См. раздел Алгоритм области доверия.
Метод Левенберга-Марквардта описан в ссылках [4], [5] и [6]. См. Метод Левенберга-Марквардта.
Задача «Оптимизировать интерактивный редактор» обеспечивает визуальный интерфейс для fsolve.
[1] Коулман, Т.Ф. и Ю.Ли, «Интерьерный, доверительный региональный подход для нелинейной минимизации, подверженной ограничениям», SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, pp. 418-445, 1996.
[2] Коулман, Т.Ф. и Ю.Ли, «О конвергенции отражательных методов Ньютона для крупномасштабной нелинейной минимизации, подверженной ограничениям», Математическое программирование, том 67, номер 2, стр. 189-224, 1994.
[3] Деннис, Дж. Э. младший, «Нелинейные наименьшие квадраты», The State of the Art in Numerical Analysis, ред. Д. Джейкобс, Academic Press, pp. 269-312.
[4] Левенберг, К., «Метод решения некоторых проблем в наименьших квадратах», Ежеквартальная прикладная математика 2, стр. 164-168, 1944.
[5] Марквардт, Д., «Алгоритм оценки нелинейных параметров методом наименьших квадратов», SIAM Journal Applied Mathematics, Vol. 11, pp. 431-441, 1963.
[6] Море, Дж. Дж., «Алгоритм Левенберга-Марквардта: реализация и теория», Численный анализ, ред. Г. А. Ватсон, Лекционные записки по математике 630, Спрингер Верлаг, стр. 105-116, 1977.
[7] Море, Дж. Дж., Б. С. Гарбоу и К. Э. Хиллстрем, Руководство пользователя MINPACK 1, Аргоннская национальная лаборатория, Rept. ANL-80-74, 1980.
[8] Пауэлл, М. Дж. Д., «Подпрограмма Фортрана для решения систем нелинейных алгебраических уравнений», Численные методы нелинейных алгебраических уравнений, П. Рабиновиц, изд., Ch.7, 1970.
fzero | lsqcurvefit | lsqnonlin | Оптимизировать | optimoptions